材料力学(I),2019年10月14日,中国地质大学工程学院力学课部,第五章 梁弯曲时的位移,§5.1 梁的位移——挠度及转角,§5.2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分,§5.3 按叠加原理计算梁的挠度和转角,*§5.4 梁挠曲线的初参数方程,§5.5 梁的刚度校核.提高梁的刚度的措施,§5.6 梁内的弯曲应变能,过大变形的危害,例2：高层建筑上部变形过大，会使其中的居民产生不安全感例1：车床主轴变形过大，影响其加工精度梁的强度:,梁的刚度:,保证梁具有足够抵抗破坏的能力,保证梁不发生过大的变形,,,§5.1 梁的位移——挠度及转角,挠曲线: 梁变形后的轴线，称为挠曲线,横截面的挠度w与横截面位置x有关，即w=f(x)为挠曲线方程是一条位于载荷平面内的光滑连续曲线,挠度和转角是度量梁弯曲变形的两个基本量,横截面的形心在垂直于轴线（x轴）方向的线位移，称为挠度，用y表示,横截面在xy平面的角位移，称为转角，用θ表示横截面的转角 也就是挠曲线在该相应点的切线与x轴之间的夹角,转角方程,在图示坐标系中，挠度w向下为正，向上为负；顺时针转向的转角为正，逆时针转向的转角为负图示两根梁，如果它们的材料和尺寸相同，所受的外力偶之矩Me也相等，显然它们的变形程度(也就是挠曲线的曲率大小)相同，但两根梁相应截面的挠度和转角则明显不同。
I、梁的(近似)挠曲线二阶微分方程,,小变形条件：,§5.2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分,等直梁弹性范围内纯弯曲情况下中性层的曲率,式中，等号右边有正负号是因为曲率1/ρ为度量平面曲线(挠曲线)弯曲变形程度的非负值的量，而w“是θ = w' 沿x方向的变化率，是有正负的注意到在图示坐标系中，负弯矩对应于正值w“ ，正弯矩对应于负值的w“ ，故得挠曲线近似微分方程,梁的挠曲线二阶微分方程的适用性和近似性是什么？,Ⅱ、挠曲线近似微分方程的积分及边界条件,求等直梁的挠曲线方程时可将上式改写为,后进行积分，再利用边界条件(boundary condition)确定积分常数边界条件包括支座处的约束条件(constraint condition)和相邻两段梁在交界处的连续条件(continuity condition),梁的约束条件(constraint condition),梁的连续条件(continuity condition),相邻梁段的交接处，相邻两截面应具有相同的挠度与转角，即满足连续、光滑条件,位移的连续条件,在梁的各部分挠曲线y连续，挠度y连续一阶导数连续（光滑）,积分法求梁的变形,对于等刚度梁，梁挠曲线的二阶微分方程可写为,对此方程连续积分两次，可得,利用边界条件确定上面二式中的积分常数C1、C2，即可得梁的挠度方程和转角方程,积分法求解梁位移的思路：,① 建立合适的坐标系；,② 求弯矩方程M(x) ；,③ 建立近似微分方程：,⑤ 用约束条件或连续条件，确定积分常数；,⑥ 一般求极值可用数学方法，也可由挠曲线直接判别。
根据本书的规定坐标系，取负号进行分析例 求图所示受载的悬臂梁的挠曲线方程及转角方程，并求自由端B的挠度和转角梁内弯矩方程:,连续积分两次得,利用两个边界条件:,解：,自由端的挠度和转角最大,求得c1、c2都为零将其代入挠曲线方程和转角方程:,,,例 图示抗弯刚度为EIz的简支梁受集中力P作用试求此梁的挠曲线方程和转角方程，并确定最大挠度和最大转角A,P,B,,,,,,,L,C,,,,,y,x,b,a,,,,解：利用平衡方程易求得两个支反力,显然，AC段与CB段弯矩方程的表达式不一样分别列出AC、CB段弯矩方程并积分,AC段,CB段,边界条件：,,支承条件, 连续条件, 光滑条件,,,,,A,P,B,,,,,,,L,C,,,,,y,x,b,a,,,,利用边界条件解得,,,最大转角，显然在支座处,从AB， 中间必经过0,,,,,A,P,B,,,,,,,L,C,,,,,y,x,b,a,,,,最大挠度,,,,,A,P,B,,,,,,,L,C,,,,,y,x,b,a,,,,当P力作用在跨中央时，ymax发生在梁中央当P力无限接近端点B时，即b0时,简支梁无论P作用在何处用,例：利用积分法求图示弯曲刚度为EI的梁B点的挠度 以及B点左右两截面的相对转角。
解：坐标系如图，分AB、BC两段分析：,AB段：,则：,积分可得：,BC段：,则：,积分可得：,确定C1 、D1 、C2、D2四个常数：,（1）约束条件：,由此可得：,则：,则：,b) 处，,处，,故：,（2）连续条件：,最后可得：,（向下）,挠曲线形状如下图所示：,B点左右两截面的相对转角为：,小变性条件（几何线性） 材料遵循胡克定律（物理线性）,适用条件,,,小变性条件：计算P2的作用时，忽略P1的作用对几何尺寸的影响§5.3 按叠加原理计算梁的挠度和转角,当梁的变形微小，且梁的材料弹性范围内工作时，梁的挠度和转角均与梁上的荷载成线性关系在此情况下，当梁上有若干荷载或若干种荷载作用时，梁的某个截面处的挠度和转角就等于每个荷载或每种荷载单独作用下该截面的挠度和转角的代数和这就是计算梁的位移时的叠加原理(principle of superposition)例题 试按叠加原理求图a所示等直梁的跨中截面挠度 wC 和两支座截面的转角θA 及 θBa),解：此梁 wC 及θA，θB 实际上可不按叠加原理而直接利用本教材附录Ⅳ表中的公式得出作用在该简支梁左半跨上的均布荷载可视为与跨中截面C正对称和反对称荷载的叠加(图b)。
b),(a),查表：,,,C,C,,由对称性,将左半跨梁 AC 和右半跨梁 CB分别视为受集度为 q/2 的均布荷载作用而跨长为 l/2 的简支梁按叠加原理得,,,例题 试按叠加原理求图a所示等直外伸梁其截面B的转角θB，以及A端和BC段中点D的挠度wA和wD解：为利用本教材附录Ⅳ中简支梁和悬臂梁的挠度和转角资料，将图a所示外伸梁看作由悬臂梁(图b)和简支梁(图c)连接而成原来的外伸梁在支座B左侧截面上的剪力 和弯矩 应当作为外力和外力偶矩施加在悬臂梁和简支梁上，它们的指向和转向也应与 的正负相对应，如图b及图c中所示图c中所示简支梁BC的受力情况以及支座约束情况与原外伸梁BC段完全相同，因此再注意到简支梁B支座左侧的外力2qa将直接传递给支座B而不会引起弯曲后，便可知道按图d和图e所示情况由本教材附录Ⅳ中的资料求Bq， BM 和 wDq，wDM 并叠加后得到的就是原外伸梁的 B和wD图b所示悬臂梁AB的受力情况与原外伸梁AB段相同，但要注意原外伸梁的B支座截面是可以转动的，其转角就是上面求得的qB，由此引起的A端挠度w1=|qB|·a应叠加到图b所示悬臂梁的A端挠度w2上去才是原外伸梁的A端挠度wA：,这种分析方法叫做梁的逐段刚化法。
§5-4 梁挠曲线的初参数方程,Ⅰ. 初参数方程的基本形式,前已得到等直梁的挠曲线近似方程为,弯矩、剪力与分布荷载集度之间的微分关系为,后一个微分关系按q(x)向上为正导出为了使下面导出的挠曲线初参数方程(initial parametric equation)中除了包含与位移相关的初参数q0和w0以外，也包含与内力相关的初参数FS0和M0，先将二阶的挠曲线近似微分方程对x取二阶导数求得等直梁挠曲线的四阶微分方程,然后进行积分得,以x=0代入以上四式，并注意到以x为自变量时上列四式中的积分在坐标原点(x=0)处均为零，于是得,式中，FS0，M0，0和w0为坐标原点处横截面(初始截面)上的剪力、弯矩、转角和挠度，它们是初参数方程中的四个初参数将积分常数C1，C2，C3，C4代入上述表达式中的后二式即得转角和挠曲线初参数方程的基本形式：,初参数方程中的四个初参数可由梁的边界条件确定显然，如果梁上的分布荷载是满布的(分布荷载在全梁上连续)，而且除梁的两端外没有集中力和集中力偶，亦即荷载和内力在全梁范围内为连续函数，则可直接应用上述两个方程简支梁或悬臂梁受满布分布荷载作用时就属这种情况在此条件下，当分布荷载为向下的均布荷载时，q(x)=-q，从而有,例题 试利用初参数方程求图示等直梁的跨中挠度wC和支座B处截面的转角qB。
解：1. 根据边界条件确定初参数,另一初参数q0需利用x=l 处挠度等于零的边界条件求出根据挠曲线的初参数方程有,由x=0处的边界条件得：,从而得,2. 列出挠曲线方程和转角方程，求所需挠度和转角,将已得到的四个初参数代入初参数方程得：,挠曲线方程,即,转角方程,即,Ⅱ. 一般情况的处理,这里所说的一般情况是指梁上分布荷载不连续，梁上除两端外其余部分也有集中力或集中力偶等作用的情况此时，外力(荷载和约束力)将梁分为数段，每段梁的挠曲线方程和转角方程各不相同，但相邻两段梁在交界处的挠度和转角仍连续现就几种常遇情况下的初参数方程加以讨论初参数：,q0≠0(其值未知)，w0=0,情况一,转角方程：,挠曲线方程：,CB段梁转角和挠曲线方程中带积分的项，是由于自x=a处开始有向下的均布荷载而在AC段梁延续过来的相应方程EIq1和EIw1中增加的项未知初参数q0可由 x=l 处 wB=w|x=l=0 的边界条件求得情况二,AC段梁 （0≤x≤b）,CB段梁 （b≤x≤l）,转角方程：,挠曲线方程：,,,,,CB段梁的转角和挠曲线方程中带积分的项，是由于考虑C截面(x=b)以右没有向下的均布荷载，而从由AC段梁延续过来的相应方程EIq1和EIw1中减去了的那部分在C截面以右的均布荷载产生的影响的相关项。
未知初参数q0可由 wB=w|x=l=0 的边界条件求得CA段梁(0≤x≤c),AB段梁(c≤x≤c+l),转角方程：,挠曲线方程：,,,,,AB段梁的转角和挠曲线方程中的第二项，是由于考虑在由CA段梁延续过来的相应方程EIq1和EIw1中，应将向上的约束力在A截面(x=c)偏右截面上产生的剪力的影响包含进去而增加的项未知初参数q0和w0 可由边界条件 wA=w|x=c=0 和 wB=w|x=l+c=0 求得AC段梁 (0≤x≤d),CB段梁 (d≤x≤l),转角方程：,挠曲线方程：,,,,,CB段梁的转角和挠曲线方程中第二项，是由于考虑在由AC段梁延续过来的相应方程EIq1和EIw1中，应将外力偶矩Me在C截面(x=d)偏右截面上对应的弯矩所产生的影响包含进去而增加的项在此例中，四个初参数都是已知的思考: 对于情况四中的等直梁，试检验由初参数方程所求得的wB ，wC ，qC 是否符合如下关系：,在工程设计中，除了要保证梁的强度条件外，还要保证其刚度条件，即梁的变形不能超过允许的限度即,此两式称为梁的刚度条件式中[y]、[q]分别为构件的许可挠度和许可转角，对不同构件有不同的要求，如：,吊车梁:[y]=(1/400~1/750)l，（l为跨长）； 机械中的一般轴，[y]=（0.0003～0.0005）l； 机械中的精密轴，[y]=（0.0001～0.0002）l； 轴上齿轮，[q]=（0.001～0.002）rad（弧度）。
§5.5 梁的刚度校核.提高梁的刚度的措施,,例 已知: q=10kN/m ，L=3m，,,试设计截面A,B,,L,q,,,,,,,,,h,b,,,,,,解：(1) 按强度条件设计,最大弯矩发生在A截面，A截面为危险截面,强度条件,,,,,,,A,B,,L,q,,,,,,,,,,,,,,h,b,代入强度条件：,(2) 按刚度条件设计,刚度条件为,,,,,,,A,B,,L,q,,,,,,,,,,,,,,h,b,代入刚度条件可得, 综合考虑强度和刚度条件，可取,例题 图a所示简支梁由两根槽钢组成(图b)，试选择既满足强度条件又满足刚度条件的槽钢型号已知[]=170 MPa，[]。