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1、Ch3 CRLB Chapter 3 Cramer-Rao Lower Bound (c)应用举例,lecture 5 第五讲,雷斌 13809194497 QQ：25016434 leibin gropemind,Signal Detection and Estimation 信号检测与估值,信息与通信工程专业 研究生学位课程,2019/10/14,SDE_05 (C),2,对于所有的 ,定理3.1 标量情况下的CRLB Theorem 3.1 CRLB for Scalar Parameter,假设 PDF p(X; ) 满足“正则”条件，既,Assume “regularity” con
2、dition is met:,则有 Then,其中 while,Fisher信息 Fisher Information,3.4 Cramer-Rao Lower Bound,信息越多，估计的方差越小，估计越准,1.非负的； 2.对于独立观测，具有可加性。,进一步,2019/10/14,SDE_05 (C),3,Example 3.3 CRLB for DC in AWGN,xn = A + wn, n=0,1,2,N-1,wn= WGN N(0,2),单独观测的概率密度函数 PDF of an individual data sample:,无关的高斯随机变量是统计独立的 Uncorrelat
3、ed G- RVs are Independent 联合概率密度函数是各自PDF相乘 Joint PDF= product of the individual PDFs:,通过多次观测降低估计噪声,2019/10/14,SDE_05 (C),4,未知参量与信号的依赖程度:Signal in AWGN,AWGN,信号对参数变化很敏感，则CRLB较小，估计很准 If signal is very sensitive to parameter change. then CRLB is small . can get very accurate estimate!,xn = sn; + wn, 似然函
4、数 likelihood function:,未知参量与信号的依赖程度,2019/10/14,SDE_05 (C),5,3.6 参数的变换 Transformation of Parameters,已知 的CRLB，但实际关心的 ，它是 的函数,Example: Speed of Vehicle From Elapsed Time,Test T, want to measure speed V = d/T,线性变换,非线性变换 幅度估计A 功率估计 A2,则有,Is this an efficient estimator of ?,an efficient estimator,破坏了估计的有效
5、性,渐近有效 Asymptotic Efficiency,参数变换估计的有效性,2019/10/14,SDE_05 (C),6,Example: Speed of Vehicle From Elapsed Time,Test T, But. really want to measure speed V = d/T,2019/10/14,SDE_05 (C),7,3.7 CRLB 矢量情况,假设 PDF p(X; ) 满足“正则”条件，既,其中数学期望是对p( X; )求出的。 那么，任何无偏估计 的协方差矩阵满足,Fisher信息矩阵,半正定矩阵 positive semi-definite,
6、引申到得到MVU估计,Vector Parameter: = 1 2 . p T,对于所有的,标量参数我们看其方差 For a scalar parameter we looked at its variance. 矢量参数我们看其协方差阵 for a vector parameter we look at its covariance matrix:,2019/10/14,SDE_05 (C),8,Ex.3.6:高斯白噪声中的DC电平,A 2 均未知；参数矢量 = A 2 T,2019/10/14,SDE_05 (C),9,Ex.3.7:直线拟合的引申,2019/10/14,SDE_05 (
7、C),10,3.8 Vector Transformations 矢量参数变换的CRLB,将前述标量变换的结论推广到矢量，则当,可以证明：,其中,雅克比 矩阵 Jacobian Matrix,半正定矩阵 positive semi-definite,2019/10/14,SDE_05 (C),11,参数的变换 Transformation of Parameters,其中A是rxp阶矩阵，B是rx1矢量,已知 的CRLB，但实际关心的 ，它是 的函数,对于非线性变换，有效性只有当N趋近无穷大时保持 因为那时， 的估计集中在真值附近 统计线性,2019/10/14,SDE_05 (C),12,E
8、xample 3.8：DCinWGN 信噪比的估计,Example 3.8,2019/10/14,SDE_05 (C),13,Example2 通过方位和距离估计XY坐标,Example2 : Usually can estimate Range (R) and Bearing () directly, But might really want emitter (x, y) 在基于雷达和光电经纬仪的弹道测试系统中，通过方位和距离估计XY坐标,2019/10/14,SDE_05 (C),14,3.9 CRLB for General Gaussian Case一般高斯情况的CRLB,推广到以下
9、的情况 Now generalize to the case where: 数据仍然是高斯分布的 Data is still Gaussian, but 均值不一定为0 Parameter-Dependence not restricted to Mean 噪声非白 Noise not restricted to White 协方差不一定为对角阵 Cov not necessarily diagonal,In Sect. 3.5 we saw the CRLB for “signal + AWGN”,确定信号Deterministic Signal w/ 标量确定参数 Scalar Deter
10、ministic Parameter,One way to get this case: “signal + AGN”,Random GaussianSignal w/ VectorDeterministic Parameter,Non-WhiteNoise,均值和方差均与待估参量有关, X=A+W N(0,2),一般高斯情况,X N(A,2I), X=S()+W N(0,2),X N(S(),2I),2019/10/14,SDE_05 (C),15,3.9 CRLB for General Gaussian Case 一般高斯情况的CRLB con.,信号加噪声的统一描述： 确定性信号：协方
11、差部分仅为噪声协方差 信号随机： 期望和方差均与待估参量有关,噪声相关的情况 噪声电压等于电子随机运动的积累 前一时刻的电压+这一时段的电子迁移 噪声通过带宽受限的信道 低通滤波积分电路,2019/10/14,SDE_05 (C),16,Gen. Gauss. Ex.: Time-Difference-of-Arrival 一般高斯情况举例：到达时间差异,考察这两部分,2019/10/14,SDE_05 (C),17,Est. Cov. uses average over only noise,Variability of Cov w.r.t. parameters,Variability o
12、f Mean w.r.t. parameters,Fisher信息,This shows the impact of signal model assumptions 信号模式假设的影响 deterministic signal + AGN 确定性信号加平稳高斯噪声 random Gaussian signal + AGN 随机高斯信号加平稳高斯噪声,Est. Cov. uses average over signal & noise,方阵 的迹对角线元素之和,附录3C中有证明,2019/10/14,SDE_05 (C),18,协方差矩阵与 无关，即下式0,Example3.9 WSN中信号参
13、数,Signal Model: xn = sn; + wn, n = 0, 1, 2, . , N-1,例中，wn独立同分布，,与 无关,2019/10/14,SDE_05 (C),19,Example3.10 噪声参数,待估参量,与例3.6的结果一致,2019/10/14,SDE_05 (C),20,待估参量,Example3.11 WSN中的随机DC电平,A为高斯随机变量，与wn独立,所以，CRLB是,注意即使当N趋近无穷大，CRLB也不会降低到 之下,2019/10/14,SDE_05 (C),21,ACF 自相关函数,3.10 广义平稳(WSS)高斯随机过程的渐近CRLB,如果数据记录
14、长度比过程的相关时间大很多,解析计算很难，且严格说来仅N趋近于无穷大时才有效,相关函数不为 0 的最大步长k，即相关时间,是过程的PSD 功率谱密度,其中,Fisher信息 的元素（ N - 时）近似为,2019/10/14,SDE_05 (C),22,3.11 CRLB Examples,1：距离估计Range Estimation 声纳、雷达、机器人学、发射区定位 sonar, radar, robotics, emitter location 2：正弦参数估计 Sinusoidal Parameter Estimation 幅度 频率 相位 (Amp., Frequency, Phase
15、) 声纳、雷达、计量经济学、光谱测定 sonar, radar, communication receivers (recall DSB Example), etc 3：方位估计Bearing Estimation 声纳、雷达、源定位 sonar, radar, emitter location 4：自回归参数AR估计Autoregressive Parameter Estimation 语音处理、计量经济学 speech processing, econometrics,这里仅研究CRLB，及可能直接产生的估计方法,2019/10/14,SDE_05 (C),23,Ex. 3.13距离估计 Range Estimation Problem,发送脉冲Transmit Pulse: s(t) nonzero over t0,Ts 非0区间 接收信号Receive Reflection: s(t .o) 测量延时Measure Time Delay: o,声纳、雷达、机器人学、发射区定位 sonar, radar, robotics, emitter location,连续信号模型C-T Signal Model,从发射机到目标再返回的双程延迟o声纳与距离R有关，即o 2R/c,带通滤波器,放大器,非定频信号,2019/10
