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1、 唯思达唯有思索才能通达！ 教师讲义小学五年级奥数 第 1 页 共 6 页专题二 二进制问题23234234234234 典例评析例 1 将 139（10） 化成二进制【 分析 】 要将十进制数化为二进制数，只要连续除以 2.因为139=692+1，即有 69 个 “2”及 1 个 “1”，故应向第二位上进 “69”，个位则有 1 个 1；而 69=342+1，即第二位 69 又要向第三位进 “34”，而本位数字为 “1”。但 34=172，即第三位上的 34 还应向第四位进“17”，且本位数字为 “0”；接下去 17=82+1，即第四位为1； 8=42，即第五位为 0； 4=22，即第六位为
2、 0； 2=21，即第七位为 0，第八位为 1；所以 139（ 10） =10001011（ 2） 。这个过程也可以简算以 “短除法 ”求得。解 因为说明 十进制数 139（10） 的下标 10，是为了与其它进位制区别开来，同理 10001011（2） 的下标 2 是表示的二进制，有时十进制的下标可以省略，但其余的进制，则下标不可省。特别提出的是，在用“短除法”求得数时，要将每次除以 2 所得的余数写在被除数的后面，一直得到商是 1 为止。例 2 将 101101（2） 改成十进制数。 唯思达唯有思索才能通达！ 教师讲义小学五年级奥数 第 2 页 共 6 页【 分析 】 我们可以思考一下二进制
3、数 101101（ 2） 上各个数位上的 1 是怎么进上来的，从右往左数第 6 位是 1，是从第 5 位上满 2 才进上去是，这个数可以看做21101，第 5 位上是 2，是因为第 4 位上满 2 个 2 才进过来的，可以看作 5101，同理第 4 位上 5，是因为第 3 位上满 5 个 2 才进过来的，应是（ 11,01） ，同理得出（ 22,1） ， （ 22,1）得 45。对于一个十进制数，如果是 7385，可以写成7385=7103+3102+8101+5100。同理二进制也可以写成这种形式，只不过要将上述形式中的数字换成 2 的次方数与 0 或 1 的乘积，就没必要像上述改写那样麻烦
4、了。解 101101（ 2） =125+024+123+122+021+1=25+23+22+1=32+8+4+1=45 说明 对于任意一个二进制数 amam-1am-2a2a1(2)改写成十进制数，都有如下的方法：a mam-1am-2a2a1(2)=am2m-1+am-12m-2+a221+a120。例 3 计算：10110 （2） +1010（2） 。【 分析 】 二进制数的加减可以用竖式来计算解 10110（ 2）+ 1010（ 2）100000（ 2）10110（ 2） +1010（ 2） =100000（ 2）说明 在将相同数位上的数相加时，与十进制加法有所不同，十进制加法中满十进
5、一，而二进制加法中是满二进一，本题中从右往左第 2 位开始，便连续出现了 4 次“满二进一” 。例 4 计算 1101101（2）-1011110（2） ，并要求验算。【 分析 】 二进制的减法也可以用竖式来计算，并且可以用加法来检验结果是否正确。 。 唯思达唯有思索才能通达！ 教师讲义小学五年级奥数 第 3 页 共 6 页解 1101101（ 2） 1011110（ 2）-1011110（ 2） 验算 + 1111（ 2）1111（ 2） 1101101（ 2）说明 在计算二进制数的减法时，与十进制的减法也是有所区别的，十进制减法计算中，本位不够减时，是向前一位借一当十，而在二进制数减法当中
6、，出现不够减时时借一当二。如在本题中，从右往左第 2 位不够减时向前一位借一当二，得 2-1=1，其余数位上则依次类推。为了计算的正确，用减法的逆运算作适当检验。例 5 计算：11101 （2） 11（2）【 分析 】 二进制数的乘法计算，同整数乘法一样，也可以列竖式计算，在计算过程当中要注意两点：（ 1） 1 乘任何数仍得原数；（ 2） 0 乘任何数都得零。 。解 11101（ 2） 11（ 2） =1010111（ 2）11101（ 2） 11（ 2）11101（ 2）11101（ 2）1010111（ 2）说明 通过两次乘法得出乘积后，用加法求出结果时，要按照二进制数加法的方法计算出结果。例 6 计算：1001011 （2） 1111（2） 。【 分析 】 二进制数的除法同十进制数的除法一样，也可以用竖式计算，但在除的过程当中，要综合运用二进制数的加、减、乘法的计算方法辅助除法计算。解 1001011（ 2） 1111（ 2） =101（ 2） )2()2()2()2(1001 唯思达唯有思索才能通达！ 教师讲义小学五年级奥数 第 4 页 共 6 页巩固练习
