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1、高中数学专题训练（教师版）表面积和体积一、选择题1一个长方体其一个顶点的三个面的面积分别是，这个长方体的对角线是()A2B3 C6 D.答案D 解析设长方体共一顶点的三棱长分别为a、b、c，则ab，bc，ac，解得：a，b1，c，故对角线长l.2圆柱的侧面展开图是边长为6和4的矩形，则圆柱的全面积为()A6(43)B8(31)C6(43)或8(31)D6(41)或8)(32)答案C 解析分清哪个为母线，哪个为底面圆周长，应分类讨论3已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于()A2 B. C. D.答案D解析由题意知VR3，R2，外接球直径为4，即正方体的体对角线，设棱长为a，则体对角线l
2、a4，a.4(2010新课标全国卷)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()Aa2 B.a2 C. a2 D5a2 答案B解析如图，O1，O分别为上、下底面的中心，D为O1O的中点，则DB为球的半径，有rDB，S表4r24a2.5将棱长为3的正四面体的各顶点截去四个棱长为1的小正四面体(使截面平行于底面)，所得几何体的表面积为()A7 B6 C3 D9答案A解析原正四面体的表面积为49，每截去一个小正四面体，表面减小三个小正三角形，增加一个小正三角形，故表面积减少422，故所得几何体的表面积为7.故选A. 6.水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后
3、面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是()A0 B8 C奥 D运答案B7.(2010北京卷，理)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，动点E，F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上若EF1，A1Ex，DQy，DPz(x，y，z大于零)，则四面体PEFQ的体积()A与x，y，z都有关B与x有关，与y，z无关C与y有关，与x，z无关D与z有关，与x，y无关答案D 解析由于点Q到直线A1B1的距离为2，EF1，故EFQ的面积为定值，所以这个三角形的面积与x，y无关，由于点P到平面EFQ的距离等于点P到平面A
4、1B1CD的距离，这个距离等于点P到直线A1D的距离，等于z，故四面体PEFQ的体积为12zz，故四面体PEFQ的体积只与z有关，与x，y无关8半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为()A.6 B.2C2 D512答案B解析方法一：作过正方体对角面的截面，如图，设半球的半径为R，正方体的棱长为a，那么CCa，OCa.在RtCCO中，由勾股定理得CC2OC2OC2，即a2(a)2R2，Ra，V半球R3(a)3a3，V正方体a3.因此V半球V正方体a3a32.方法二：将半球补成整个球，同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体，构成的长方体刚好是球的内接长方体，那么这个长
5、方体的对角线便是它的外接球的直径，设原正方体棱长为a，球的半径是R，则根据长方体的对角线性质，得(2R)2a2a2(2a)2，即4R26a2，Ra.从而V半球R3(a)3a3，V正方体a3.因此V半球V正方体a3a32.二、填空题9.如图所示，在长方体ABCDABCD中，用截面截下一个棱锥CADD，求棱锥CADD的体积与剩余部分的体积之比为_解析方法一设ABa，ADb，DDc，则长方体ABCDABCD的体积Vabc.又SADDbc，且三棱锥CADD的高为CDa.V三棱锥CADDSADDCDabc.则剩余部分的几何体积V剩abcabcabc.故V棱锥CADDV剩abcabc15.方法二已知长方体
6、可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱ADDABCCB，设它的底面ADDA面积为S，高为h，则它的体积为VSh.而棱锥CADD的底面面积为S，高是h，因此，棱锥CADD的体积VCADDShSh.余下的体积是ShShSh.所以棱锥CADD的体积与剩余部分的体积之比为ShSh15.10已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为_答案解析因为扇形弧长为2，所以圆锥母线长为3，高为2，所求体积V122.11已知A(0,0)，B(1,0)，C(2,1)，D(0,3)，四边形ABCD绕y轴旋转210，则所得几何体的体积为_答案解析如图，V圆锥(2)22.V圆台1(2
7、22112).四边形ABCD绕y轴旋转360所得几何体的体积为5.绕y轴旋转210所得几何体的体积为5.12一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，那么这个球的体积为_答案三、解答题13(2010全国卷，理)已知正四棱锥SABCD中，SA2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为多少？解析设正四棱锥SABCD的底边长为2x，则ACBD2x，高h，所以体积V4x2.V2x4(122x2)，(V2)x3x5，由(V2)0，得x2.14已知六棱锥PABCDEF，其中底面为正六边形，点P在底面上的投影为正六边形中心，底面边长为2cm
8、，侧棱长为3cm，求六棱锥PABCDEF的体积分析由已知条件可以判断六棱锥为正六棱锥，要求其体积，求出高即可解析如图，O为正六边形中心，则PO为六棱锥的高，G为CD中点，则PG为六棱锥的斜高，由已知得：CD2cm，则OG，CG1，在RtPCG中，PC3，CG1，则PG2.在RtPOG中，PG2，OG，则PO.VPABCDEFSABCDEFPO6222.15棱长为a的正四面体的四个顶点均在一个球面上，求此球的表面积解析以正四面体的每条棱作为一个正方体的面的一条对角线构造如图所示的正方体，则该正四面体的外接球也就是正方体的外接球由图知正方体的棱长为a，正方体的对角线长为a，设正四面体的外接球的半径
9、为R，则2Ra，Ra，于是球的表面积S4(a)2a2.1正六棱锥PABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥DGAC与三棱锥PGAC体积之比为()A11 B12C21 D32答案C解析如图，设棱锥的高为h，VDGACVGDACSADCh，VPGACVPABCVGABCSABC.又SADCSABC21，故VDGACVPGAC21.2要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使体积最大，则高应为_答案解析设圆锥底面半径为r，高为h，则h2r2202，r，圆锥体积Vr2h(400h2)h(400hh3)，令V(4003h2)0得h，当h0；当h时，V0，h时，体积最大3.(2010上海春季高考)在右图
10、所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40 cm，母线长最短50 cm、最长为80 cm，则斜截圆柱侧面面积S_cm2.答案26004把一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则所有小正方体的表面积为_答案18a21如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为a，高为2a，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这时水面恰好为中截面，则图1中容器内水面的高度是_图1图2答案a解析如图1中容器内液面的高度为h，液体的体积为V，则VSABCh，又如题图2中液体组成了一个直四棱柱，其底面积为SABC，高度为2a，则VSABC2a，ha，故填a.2如图所示，已知正方体ABCDA1B1C1D
11、1的棱长为3，长度为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动，另一端点N在底面ABCD上运动，则MN的中点P的轨迹(曲面)与共一顶点D的三个面所围成的几何体的体积为_答案解析由于ABCDA1B1C1D1是正方体，所以DD1DN，故三角形DMN是直角三角形，斜边MN2，又因为P为MN中点，所以DP1，即P点到定点D的距离等于常数1，因此P点的轨迹是一个以D为球心，1为半径的球面被正方体所截得的部分，所以所求几何体的体积V13.3(09陕西)若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为()A. B.C. D.答案B解析由正方体的对称性可知，任意两个面的中心的连线长度相等，故所得
12、凸多面体为两个共底的特殊正四棱锥，且其棱长均为1，如图，在正四棱锥PO1O2O3O4中，底面O1O2O3O4为正方形，易得其面积为1，在三角形PO2O4中，易求得其高为，故VPO1O2O3O41，从而所求凸多面体的体积为2VPO1O2O3O4，选B.4.如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且ADE、BCF均为正三角形，EFAB，EF2，则该多面体的体积为_答案解析过A、B两点分别作AM、BN垂直于EF，垂足分别为M、N，连结DM、CN，可证得DMEF、CNEF，多面体ABCDEF分为三部分，多面体的体积为VABCDEFVAMDBNCVEAMDVFBNC，NF，B
13、F1，BN.作NH垂直于BC于上H，则H为BC的中点，则NH.SBNCBCNH1.VFBNCSBNCNF，VEAMDVFBNC，VAMDBNCSBNCMN.VABCDEF.空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积一、选择题1.（2012江西高考文科7）若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）(A) (B)5 (C) (D)4【解题指南】由三视图想象出几何体的直观图，由直观图求得体积.【解析】选D.由三视图可判断该几何体为直六棱柱，其底面积为4,高为1,所以体积为4.2.（2012新课标全国高考文科7）与（2012新课标全国高考理科7）相同如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）(A)6 (B
