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1、第一章 度量空间 西安电子科技大学 数学与统计学院杨有龙教授 - 8 - 1.2 度量空间的拓扑性质与连续性 1.2.1 度量空间的拓扑性质 定义 1.2.1 邻域 设 (,)X d 是度量空间，0x X ， 0 ，称集合0(,)Ox 0| (, ) , x dxx x X= ，取*01(, ) )2dxx = ，即*02(,)dxx+= ，则*(, )yOx ，有 *00(, ) (, ) (,) 2 (,)dyx dxx dyx dyx =+ 可见0( ,)CyOx ，即*(, )Ox 0( ,)COx ，从而0( ,)COx 为开集，故0(,)Ox 为闭集 例 1.2.3 设0(, )
2、X d 是离散度量空间， A 是 X 的任意非空子集， 证明 A 既是开集又是闭集 证明 0x A，取 12 = ，则 000 011(,) | (,) ,22Ox xd xx x X x A= ，令 00 00(,)| (,) , 33UOx xdxx xX= ， 0 ，当1x X 且10(, )dxx ， 0，1,x yX，当1(, )dxy ,存在 0 ， 当10(, )dxx ， 0，使得 00(,) (),)fOx Ofx 根据假设0nx x 得，对于此 0 ,存在 N ,当 nN 时，0(,)nxOx .即0() (),)nfx Ofx ，于是20( ),( )ndfx fx ，使
3、0( ),)Ofx G 由于 f 连续，所以对 0 ，有 0 ,使得00( ,) ( ),)fOx Ofx G 即10(,) ()Ox f G 说明0x 是1()fG的内点， 故1()fG是开集 充分性 ：任取0x X ，对任意的 0 ，取开集0( ),)GOfx= ，则10(),x fG 由假设1()fG是开集，因而存在 0 ，使10(,) ()Ox f G ,故00( ,) ( ),)fOx G Ofx = ，即 f 在0x连续 注8： 由上述定理知 ， 在连续映射下，开集的原象是开集，那么开集的象一定是开集吗？不一定例如： () sin :fx xR R= 是连续映射， f 将 (0,2
4、 ) 映射为 1,1 例 1.2.4 设 (,)X d 是度量空间，*x X ，那么*() (, ):fx dxx X R=是度量空间 X 上的连续映射 证 任取0x X ，对于 x X 而言，由 *00(, ) ( , ) (, )dxx dx x dxx及*00(,) (,) (,)dx x dxx dxx 可得*00(, ) ( , ) ( ,)dxx dx x dx x 0，2= ,当0(, )2dxx=时，就有 *000() ( ) (, ) ( , ) (, )2fx fx dxx dxx dxx = = 泛函分析导论 西安电子科技大学 数学与统计学院杨有龙教授 - 13 -因此,*(, )dxx 是 X 上的连续映射
