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1、2.2平面波导中的模间色散和波导色散A.波导色散图和群速度一个平板波导中存在的传输模式是由波导条件确定的。从0导最大值的每一个m对应于一个不同的解和一个可能的传播常数m。可以看到，即使是单色光波入射，每种模式都以一个不同的传播常数传播。图2.7的实验给人们留下的印象是，轴线光波的反射次数最少，因此到达端面的速度更快（更短）于高阶模式光波。高阶模式光波沿着波导方向z字形曲折传播，传播路径更长。然而，这种观点有两个严重的误解。第一，波导中最重要的是能量或者信息传播的群速度vg。第二，高阶模式渗透进入包层较多，包层折射率较低，因此光波传播较快。从第一章可以知道，群速度vg由d/d决定，其中是频率，是
2、传播常数。对每一个模式m，模式角可以明显由式（2.1.3）的波导条件求取，即取决于光波波长（也是频率）和波导特性（n1,n2,a）。因此，m=m（），m=k1sinm=m（）是关于的函数，给定模式的群速度是关于光的频率和波导性能的函数。可以看到，即使折射率为常数（与频率或波长无关），一个给定的模式群速度vg仍然依赖于与波导结构的波导特性参数相关的频率。根据式（2.1.3）的波导条件，在给定折射率（n1和n2）和波导尺寸（a）的条件下，可以计算出每个m和的m值，并可以得到波导的与m的关系图，即色散图，如图2.10所示。在任何频率处的切线d/dm就是群速度vg。所有允许的传输模式都被包含在斜率c/
3、n1和c/n2的两条线之间。截止频率cutoff对应于当V=/2时的截止条件（=c）。当cutoff时，波导中不只存在一个模式。从图2.10的实验可以直接看出两点：首先，相同频率的不同模式的群速度不同；其次，一个给定模式的群速度随着光波波长而变化。因此，群速度不仅与频率有关，还与波导特性参数有关。其实，可以把V值和群速度联系起来，下面会讨论。可以用斜率d/d作为的一个函数来计算三个不同模式的群速度vg，如图2.11所示。注意，当模式尚未被激发时，vg刚开始很大，数值接近于c/n2（包层中的相速度）；当模式被激发时，vg降低并小于c/n1（纤芯层相速度），并最终在更高的频率下到达c/n1。图2.
4、10平板波导中不同Tem模式的相对于的色散示意图。cutoff对应于V=/2。在任何频率处的群速度vg等于相对于的曲线在该频率点的斜率图2.11平面介质波导中三个模式的群速度vg与角频率的关系图。该平面介质波导中，n1=1.455,n2=1.440,a=10m。m=0对应着TE0模式等。B.模间色散多模传播过程中，即光波频率大于cutoff，在最低模式（m=0时）具有最慢的群速度，接近c/n1，而在最高模式具有最快的群速度。其原因是，高阶模的一部分电场在折射率较小的包层中传播。最低模式基本上包含在纤芯层内。因此，各模式在整个光纤中传输的时间不同，这种现象被称为模态色散或模间色散。模间色散的一个
5、直接后果就是：如果一个短持续时间的光脉冲信号被耦合到电介质波导中，该脉冲将激发分解为各种模式并沿波导传输。这些模式将以不同的群速度传输。在接收端对不同模式的光脉冲的重构将导致脉冲信号展宽，如图2.7所示。很显然，只允许一种模式（m=0的模式）传播的单模波导中不存在模间色散。为了评估沿着波导传播信号的模间色散，需要考虑信号通过波导的最短时间和最长时间，这无异于识别波导中由群速度决定的最低和最高模式。如果表示最高与最低模式通过距离L的传播时间差值，则模间色散定义为=Lvgmin-Lvgmax（模间色散）（2.2.1）式中，vgmin是最低模式对应的最慢群速度，vgmax是最高模式对应的最快群速度。
6、从图2.10和图2.11可以明显看出，当cutoff时，最低模式（m=0）的群速度为vgmin=c/n1。最快的传输对应着最高模式，它的群速度大约为c/n2。因此，近似有/Ln1-n2c（2.2.2）仅考虑两种极端的模式（最低模式和最高模式），而没有考虑是否存在某些中间模式的群速度超出c/n1c/n2范围之外。另外，式子中也没有考虑不同模式的光能量如何分布。取n1=1.480（纤芯层）和n2=1.460（包层），可以发现/L6.710-11sm-1或者6.7ns.km-1。一般情况下，由于“模间耦合”，即不同传播模式能量交换，模间色散没有预计的那么高。式子（2.2.2中展宽）分布是指展宽输出光
7、脉冲两个极值的时间差值。在光电子学中，通常对小于全宽度的半高强度点的分布1/2感兴趣。1/2的大小取决于输出光脉冲的瞬间形状。但当存在许多模式时，可以取一阶近似，有1/2。C.模内色散图2.10和图2.11显示了最低模式（m=0）时的群速度取决于频率或波长。因此，即使在波导处于单模工作的情况下，只需要激发源具有有限的光谱，光波就含有不同的频率（即事实上没有完美的单色光波源）。由图2.11可以明显看出，这些频率光波以不同的群速度传播，其到达波导输出端面的时间不同。光波波长越大（频率越低），电场渗入包层越多，如图2.12所示。因此，光波的相速度越大，其渗入包层的能量越多。即便对于相同模式，光波波长
8、越大，传播越快。这种现象称为波导色散，这是因为它来源于介电结构的波导特性，而和与折射率相关的频率（或者光波波长）无关。由于光波波长增大时，V值减小是波导的一个特性，故色散也可以描述为是光波波长对V值的依赖关系。由于需要结合输入光谱并由图2.10所示的色散图来计算群色散，因此没有计算波导色散的简便方法。图2.12当波长增加时，更多TE0模式的电场扩展进入包层。由于包层又更多的模场，因此群速度得到增大。波导材料的折射率也与光波波长相关，因此要对图2.10中相对于m的曲线稍作修改。由于折射率b随波长变化，给定模式的群速度的变化将导致传输脉冲的展宽，这称为材料色散。因此，波导色散和材料色散共同作用，使
9、得一个给定模式传播的光脉冲发生展宽，这两种色散合称为模内色散。2.3阶跃折射率分布光纤A.原理和允许的模式对平面介质波导中光波导传播的总的思路作出某些修正后，可以很容易地扩展到如图2.13所示的阶跃折射率光纤。该光纤本质上是一个圆柱形介质波导，并且纤芯层的电解质折射率n1大于外介质层包层的折射率n2。在实际中，光纤刚拉伸完以后，就会在包层上涂上保护聚合物涂层，这在理解基本光纤工作原理中并不需要提及。归一化折射率差定义为=n1-n2n1（归一化折射率差）（2.3.1）对于所有应用于光通信领域的实际光纤，n1和n2的区别非常小，通常小于百分之几，因此1。图2.13阶跃折射率光纤。中央区域纤芯层的折
10、射率大于外侧区域包层的折射率。光纤胃圆柱形对称结构。坐标可用于表示在光纤中的任意一点P。包层通常比图示要厚得多平面波导只在一维有边界，因此光波反射只发生在图2.4中的y方向。光波的想长干涉要求导致波导中存在几种不同的模式，用m来标志。如图2.13所示为y轴成任意角度的任意径向的平面上。由于任意径向可以用轴和y轴表示，轴和y轴方向上的光波反射都涉及光波的相长干涉，因此需要考虑用两个整数来表述，如平面波导中的m，但是二维驻波需要两个整数。在平面波导的情况下，形象地认为波导中传播的光波在波动中以z字形曲线传播，并且所有光线都需要通过波导的轴线平面。此外，波导中的光波要么是TE（横向电场）光波，要么是
11、TM（横向磁场）光波。相比于平面波导，阶跃折射率光纤的最大不同特性在于，光纤Z字形曲线传播的光线不一定通过光纤的轴线，即所谓的斜光线。进入光纤的子午光线通过光纤轴线，因此在光纤Z字形曲线传播过程中每次反射通过光纤轴线。该光线在包含光纤轴线的一个平面内传播，如图2.14（a）所示。另一方面，斜光线进入光纤后，偏离光纤的轴线，并且在光纤Z字形曲线传播过程中不通过轴线。当对着光纤端面看过去时（即光纤在垂直光纤轴线平面上的投影），斜光线的轨迹是围绕光纤轴线的多边形，如图2.14（b）所示。因此，斜光线的行进轨迹是围绕光纤轴的螺旋路径。在阶跃折射率光纤中子午光线和斜光线产生的导模（允许传播的波）都沿光纤
12、传播，每个导模都有一个沿z方向的传播常数。子午光线产生的导模类似于平面波导中的情况，是TE型或TM型。另一方面，斜光线产生的导模同时具有Ez和Bz（或Hz）两个分量，因此不是TE模式或TM模式的波，他们被称为HE模或EH模，因为电场和磁场都沿z方向的分量，它们也被称为混合模式。很明显，不同于平面波导中，在阶跃折射率光纤中的导模很难描述。1的阶跃折射率光纤被称为弱导光纤，该光纤中的导模通常被认为是行波，几乎为平面偏振光波。光纤中的传播光波具有横向电场和横向磁场（E和B相互垂直并垂直于z轴），这类似于平面光波的场方向，但是平面上的场强大小并非为常数。这种光波称为线偏振光波，具有横向电场和横向磁场特
13、性。沿着光纤的波导线偏振模式可以用沿着z轴传播的电场分布E（r,）表示。该电场分布（或者图样）是在垂直于光纤轴线的平面上，因此取决于r和的大小，而与z无关。此外，由于存在两个边界，电场分布由两个整数参数l和m来表征。因此， 线偏振模式的传播电场分布表示为Elm（r，），把该模式写为LPlm。因此，一个LPlm模式可以写成沿着z轴传播的行波ELP=Elm（r,）expj（t-lmZ）（2.3.2）式中，ELP是线偏振模式的电场，lm是沿着z方向的传播常数。很明显，对于给定的l和m，Elm（r，）表示在有效传播常数或者波矢量为lm的光纤上传播光波在点z处的特定电场图样。图2.14（a）子午光线及（
14、b）斜光线之间得差异示意图。数字代表光线得反射如图2.15（a）所示为阶跃折射率中基模。纤芯中央（或光纤轴线）上电场强度达到最大，并且伴随倏逝波，有一部分电场渗透包层中，渗透程度取决于光纤的V值（因此与光波波长相关）。模式的光强正比于E2，这意味着LP01模式中电场强度分布在光纤轴线上达到最大，如图2.15（b）所示，即中心位置最亮且亮度向包层方向逐渐降低。图2.15（c）和图2.15（d）也显示了在LP11和LP21模式的强度分布。LPlm模式中整数l和m与强度图样相关。从轴线开始，沿着r方向有m个最大值，而在圆周方向上有2l个最大值，如图2.15所示。l通常被称为径向模式数。在射线图中，l
15、代表螺旋传播的程度，或对模式有贡献的斜光线的数量。在基模中，l为0。另外，类似于平面波，m直接与光线的反射角相关。从上面的讨论中可以看到，沿着光纤传播的光波具有不同的传播模式，并且每种模式都有对应的传播常数lm和电场分布图样Elm（r，）。每种模式都有自己的群速度vg（l,m），群速度大小取决于与lm的色散曲线，。当光脉冲输入到光纤时光波在光纤中以不同的模式传播。不同模式的光束以不同的群速度传播，因此到达光纤端面的时间不相同，这意味着输出脉冲相对于输入脉冲已经展宽了。类似于平面波导中，光脉冲的展宽是一种模间色散现象。然而，可以设计出一种合适的光纤，从而只允许基模光波传播，这样就不存在模间色散了
16、。图2.15与光纤Z轴垂直得横向平面内基模的电场分布。基模的光强在光纤中心中达到最大。图出分别给出了LP01、LP11和LP21的光强分布在阶跃折射率光纤中，以类似平面波导的方式定义V值，或归一化的频率，即V=2a(n12-n22)12=2a(2n1n)12（V值的定义）（2.3.3）式中，a是光纤纤芯，是自由空间波长，n是芯与包层的平均折射率，即n=（n1+n2）2,是相对于折射率差，即=n1-n2n1n12-n222n12（相对折射率差）（2.3.4）当V2.405时，可以看出光纤中只有一种模式，如图2.15（a）和图2.15（b）所示的基模（LP01）可以在光纤纤芯中传播。减小纤芯尺寸而进一步降低V值时，光纤仍然可以支持LP01
