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1、概率论与数理统计教案 第二章 随机事件及其概率分布 23第二章 随机变量及其概率分布【授课对象】理工类本科三年级【授课时数】10 学时【授课方法】课堂讲授与提问相结合【基本要求】1、了解随机变量的概念；2、理解离散型随机变量的概念及其分布律的概念和性质；3、理解连续型随机变量的概念及其概率密度函数的概念和性质；4、理解分布函数的概念，并知道其性质；5、会利用分布律、概率密度函数及分布函数计算有关事件的概率；6、会求简单的随机变量函数的概率分布；7、了解二维随机变量的概念，知道二维随机变量的边缘（边际）分布、联合分布函数等概念；8、了解二维连续型随机变量的联合概率密度函数的概念及性质，进一步掌握
2、其边缘分布与联合分布的关系，并会计算有关事件的概率；了解二维连续型随机变量独立性的概念。【本章重点】随机变量的概念；连续型（离散型）随机变量的密度函数（分布律）的概念和性质以及它们的分布函数的概念和性质；二维随机变量的边缘分布、联合分布函数等概念；随机变量函数的概率分布以及二维随机变量独立性的概念。【本章难点】随机变量的概念及性质；连续型随机变量的概率密度函数及分布函数的性质与相关计算；二维连续型随机变量的边缘分布与联合分布的关系以及独立性的概念。【授课内容及学时分配】2.1 随机变量的概念在第一章里，我们主要研究了随即事件及其概率，同学们可能会注意到在某些例子中，随即事件和实数之间存在着某种
3、客观的联系。例如，在产品检验问题中，我们关心的是抽样中出现的废品数；在车间供电问题中，我们关心的是某时期在工概率论与数理统计教案 第二章 随机事件及其概率分布24作的车床数；在电话问题中关心的是某一段时间内的话务量等。对于这类随机现象，其试验结果显然可以用数值来描述，并且随着试验的结果不同而取不同的数值。然而，有些初看起来与数值无关的随机现象，也常常能联系数值来描述。比如，在投硬币问题中，每次实验出现的结果为正面或反面，与数值没有联系，但我们可以通过指定数“1”代表正面， “0”代表反面，为了计算 n 次投掷中出现的正面就只须计算其中“1”出现的次数了，从而使这一随机试验的结果与数值发生联系。
4、这就说明了，不管随机试验的结果是否具有数量的性质，我们都可以建立一个样本空间和实数空间的对应关系。一般地，如果 为某个随机事件，则一定可以通过如下示性函数使它与数值发A生联系： 不 发 生发 生01Eg1： 随机试验 E1：从一个装有编号为 0，1，2， ，9 的球的袋中任意摸一球。则其样本空间 = ， ， ，其中 “摸到编号为 的球” ， =0,1,9.019iii定义变量 ： ，即 ( )= ， =0，1，9。这就是ii和整数集0，1，2， ，9 的一个对应关系，此时 表示摸到球的号码。从上例中，我们不难体会到：对应关系 的取值是随机的，也就是说，在试验之前， 取什么值不能确定， 而是由随
5、机试验的可能结果定的，但 的所有可能取值是事先可以预言的。 是定义在 上而取值在 R 上的函数。同时在上例中，我们可以用集合 ： ( ) 5或 ： ( ) 5表示随机iiii事件。因而可以计算其概率。习惯上我们称定义在样本空间 上的单值实函数 为随机变量。这就有了如下定义：Df： 设 = ( )， 是定义在 上的单值实函数。若对任一实数 ，集合x： ( ) x是随机事件，则称 = ( )为随机变量（R andom Variable） 。定义表明随机变量 = ( )是样本点 的函数，它的定义不涉及概率的概念，概率论与数理统计教案 第二章 随机事件及其概率分布 25常写为 ，而集合 ： ( ) x
6、简记为 x。如在上例中，摸到不大于 5 号球的事件可表示为 5，则其概率为 P 5=3/5。2.2 随机变量的概率分布一、随机变量的分布函数（Function）由前可知，若 是随机变量，则对 x R， x是随机事件，所以 P x有意义。当实数 a0） axBAxF1)/arcsin()(求 A，B 。解：由 BAaxBAaFx BAaax 2)/rcsin()(lim1 2)1rcsin(/illi)(0 2/,/BA二、随机变量的分类 一一一三、离散型随机变量及其分布律Df：设 是 上的随机变量，若 的全部可能取值为有限个或可列个（即 的 全部可能取值可一一列举出来） ，则称 为离散型随机变
7、量。若 的取值记为 则把事件 的概率记为 ，),21(,ixix,21ipxPi则称 为 的分布列。 ,21ipx【注】：由定义可知，若样本空间 是离散的，则定义在 上的任何单值实函数都是离散型随机变量。Th1： 离散型随机变量 的分布列满足下列性质：（1）非负性： 0ip概率论与数理统计教案 第二章 随机事件及其概率分布28（2）规范性： 1ipProof： 是概率，即 ，故iiixP0ip由于 是 的一切可能取值，故有 ，注意到对任意的 ,21nx1iix，有 ，jiji由概率的可列可加性知： 111 1 iiiii pxPxP反之，任意一个满足以上二性质的数列 ，都可以作为某离散型ip随
8、机变量的分布列。有了 的分布列以后，我们可以通过如下方式求 的分布函数 xiipPxF)(显然， 是一个右连续、单调非降的递阶函数，它在每个 处有跳跃，其跃度ix为 ，当然，由 也可以唯一确定 和 ；因此， 的分布列也完全刻划了离ip)(Fixip散型随机变量取值的规律。这样，对于离散型随机变量，只要知道它的一切可能取值和取这些值的概率，也就是说知道了它的分布列，也就掌握了这个离散型随机变量的统计规律。Eg7： 袋中装有 5 只同样大小的球，编号为 1，2，3，4，5，从中同时取出 3 只球，求最大号 的分布列及分布函数并画出其图形。解：先求 的分布列：由题知， 的取值为 3，4，5，则110
9、/6/534/35352 iiPCP的分布列为：/4概率论与数理统计教案 第二章 随机事件及其概率分布 29由 得xiiipPxF)(514/230)(xx常见得离散型分布有：1.退化分布（单点分布）： axF10)(2.贝努里分布（两点分布）： pq3.二项分布： nknkPpnkB,210),;( 4. 泊松（Poisson）分布： )(,!ek课后作业：1、仔细阅读 P30-33； 2、作业：P 61 1, 3, 6, 7；3、预习 P33-39四、连续性随机变量及概率密度函数1.Df： 设 是随机变量， 是它的分布函数，若存在一个非负可积函数 )(xF )(xp使得对任意的 ，有 ，则
10、称 为连续性随机变,(x xdtpP)(量， 称为 的概率密度函数或分布密度函数。)(p由定义显然可知， 连续。)(xF2. 的几何意义： 在几何上表示一条曲线称为分)(xFf布密度曲线，则 的几何意义是：以分布曲线 为顶，)(x )(xf以 X 轴为底，从 到 x 的一块变面积。3.密度函数具有如下性质：每个 R 上可积的实值函数 是某个连续性随机变量的密度函数)(xp 概率论与数理统计教案 第二章 随机事件及其概率分布30(1) （非负性）Rxp，0)(2) （规范性）1dProof：“ ”若 是连续型随机变量的密度函数，则由定义知对 ，有)(x Rx且 ，由分布函数的性质有： 0)(Px
11、FdtpF)(dtpx)(lim1“ ”由定义，只需证明存在一个分布函数 与 对应即可，为此定义：)(xFpxtF)()(R 且对0pxdtpF0)()( 21x有： 2121 )()()()( 1xxxxFdtptdt即上述定义的 具有单调非降性。 即 具有规范性。xx dtpF1)(lim)(li)(0)(x由于 可积，从而 连续，它自然右连续，因而 是分布函数。p )(xF若 在 x 处是连续的，则 （显然）)( )(xp（概率与密度函数之间的关系）设 a， b 是任意二实数，且 则babadpap)(事实上， baab xpdxxpF)()()()(从几何角度来看，它取值于区间 的概率
12、等于其密度函数在 一段曲线下方a, ,的面积。若 是连续型随机变量，则 取单点值的概率为 0事实上， 而连续型随机变量的分布函数是连续函数，)0()aFap从而 即)(0(FaP概率论与数理统计教案 第二章 随机事件及其概率分布 31从此可知：概率为 0 的事件不一定是不可能事件；同样概率为 1 的事件也不一定是必然事件。这样，对连续性随机变量 有： baapbapbapbap )(特别地， adx)(Eg2： 设随机变量 的密度函数为 其中常数 ，试其 它01)1xkp 0k确定 k 的值并求概率 和 的分布函数。3.0p解：由 11026/)()()(1 kdxkdxkdx6k3.013.
13、0784.)(6)(.pp由于密度函数为 其 它 1xx分布函数110)(6)(0xdttxFxEg3： （书 ） 设 求37P0)(3ef1.0),(PxF常见的连续型分布有：均匀分布： ,baU正态分布： )(2N指数分布： )0.(,0xexp课后作业：1、仔细阅读 P33-39； 2、作业：P62 8, 9, 10, 12；3、预习 P39-44概率论与数理统计教案 第二章 随机事件及其概率分布322.3 随机变量的函数及其分布设 是一随机变量， 是一个连续的实值函数，按照随机变量的定义，)(xgy也应是一随机变量。下面我们通过 的分布来研究随机变量 的分布。 )(g 关于该问题的一般
14、提法：已知 的分布，求 的分布。)(g一、离散型随机变量函数的分布已知 的分布列为 求 的分布列。,21px)(由于 是离散型随机变量，则 仍是离散型随机变量，所以分布列为g其中某些 相等，则把它们作适当合并，其分布列就变为,)(21pxg)(ix其中 为 的取值，,*21z kz)(g)(:)(kizxgkkk pzgPpEg1： 设 ，试求 的分布列。4.013.20212解：易知 的可能取值为 1，2，5，且可知4.05 3.021.22 PP则 .3.051二、连续型随机变量函数的分布已知 的密度函数为 ，求 的密度函数)(xpba)0()(yq的分布函数：ba概率论与数理统计教案 第二章 随机事件及其概率分布 33 0)(1/)()( abyFabyPybaPyF 从而，其密度函数 abypabypabyFyq )(01)(1)()()( 为此
