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1、1第二章(第六节(下) 正态分布五、正态分布欧拉-泊松积分 。dxe2事实上，令 ，dxeI2，dyeI2xI22 dye2eyx22 dxyeyx)(2 20sinco2rderyxr0)21(2，21|)(0re于是， .dxI， ；202dxe20xe2)21(dtet021。210t x02记号 .yeyexp.dx2例计算积分 dx312epx1)2(ep dx)(61x2yyx 21epep)21( .216x计算积分 dxx2)(epdyyxe22,于是有,1)(exp212 dx3从而函数 2)(exp21)( xf是某连续型随机变量的概率密度.定义 若 为连续型随机变量，且其
2、概率密度为， xxxf ,2)(ep21)( 其中 均常数,0,那么称 为正态随机变量，或称服从参数为 的正态分布。,记作 .),(2N正态分布不论在概率统计理论中还是应用中,都占有特别重要的地位.大量的实践经验与理论分析表明,测量误差,在相同生产条件下生产的一批产品的质量指标(如灯泡的寿命、钢筋的断裂强度、青砖的抗压强度、棉花的纤维长度等);半导体中的热噪声电流、电压等,都可以看作或近似看作是服从正态分4布的.正态分布密度曲线具有如下性质：（a（ 曲线关于直线 对称；x当 时， 达到最大值x)(f；21)(f（b（ 当 时, ，即曲线x0)(xf以 轴为渐近线；（c（ 曲线在 处有拐或点.六
3、、标准正态分布参数 的正态分布，1,0即 ，称为标准正态分布，其),(N概率密度和分布函数分别用 和)(x表示（专用记号） ，即有x，2exp1)(5，x是偶函数，)(.xx dtdt2ep1)(标准正态分布的分布函数的性质 :)(（1） 0()()td；2011exp2t(2) , 。)(x事实上,因为证法一 utxd)()(dx,xx tx故 )(t(x)(;1)d证法二由 ()()()()1xxx,10 6又 ,(0)1lim()1,xx得 ；证法三可从图形的对称性上看出证明。(3) , 在区间0)()(x)(x上严格单调, 与 是一一,(对应的; 的函数值可从附表二)(x中查到,也可由
4、 的函数值查到)(的值.要求平时会查标准正态分布x的分布函数 值表.(考试时)1,0(Nx列出告诉有关函数值).七、一般正态分布 的),(2N分布函数 与标准正态分布)(xF的分布函数 之间有下列关)1,0(N)系:, .)()(xFx事实上, xx dttdtfF 2)(ep21)()( 7xyt dy2ep21x.xdy)()(x特别地,.)()(F21)0(设 , ，则有),(2N0,P1FP,21)(1F| P)()(F)()(,11)(2| P8|1P.1)(2)(2八、标准正态分布 的 分位),0(N点定义 5 设 是一个标准正态X随机变量， ，)1,0(N，)(xXPx给定 ，存
5、在唯一 ，使得10,z，)(z(即由函数值 ,找自变量 ,)(xz满足 )(z称 为标准正态分布 的（下侧） )1,0(N分位点（或 分位数） ，简称分位点。即 ，zXP)(z.zdt2exp21)(显然 。0,z0.5,z1z分位点的性质: ( )9(1) ;1zz(2) ;1XP(3) |21z或 .|21XP事实上, ,)(zXPz, 111;2)(2121zXPz(1)由 ,)()(,1)1()()(1 zz得 ,于是 ,)()(11z;1z(2) 1XP1zXP;)()(11z(3) | 212121 zXzPzXP10)()(2121zz.)()(221zz |21zXP|21zX
6、P.)(例 3 设随机变量 ,)4(2N(1)求 ;5(2)求 ,使a.783.0|XP解 (1) 5)(F42)5.1()7.0(;67803(2) |aXP|1aXP2011)0(21Fa4)()5.0(.2138.)(a,5.0238.1令 ,783.)(.a得 ,502.2查表得 ,1.a.5例 4 设随机变量 ,)(2NX试用分位点表示下列常数 :ba,(1) , ;1005.P12(2) ,1,.750|1|bXP解(1) ,)1(NaaXP,025.971,975.0z因此, , ;975.0a025.975.0z(2) ,)21(NX|bP1bXF)2()2(b)2(1)(,7
7、5.02b13,75.1)2(b)(8.0875.0z, 故 .875.02zb875.02b例 5 某仪器上装有 4 只独立工作的同类元件.已知每只元件的寿命(以小时计) ,当工)(2NX作的元件不少于 2 只时,该仪器能正常工作.求该仪器能正常工作5000 小时以上的概率. 解 设 第 只元件能工作iA5000 小时以上, ,43215050)( XPXPi,21)(1F相互独立;4321,A若设能工作 5000 小时以上的元件数目为 ,则Y;)2(B14根据题意, 仪器能正常工作 5000 小时以上 ,2Y于是,所求概率为 21YP103444 )()(C.16例 6 已知随机变量 ,且
8、 ,)2(NX4.01|3|XP求 .2|XP解 131|3P4)(F2)4(0215,4.05)2(从而 , ,9.2|XP2|1XP40)(F1)2()1)94.0(2)2.106.例 7 某汽车设计手册中指出,人的身高服从正态分布 ,根)(2N据各个国家的统计资料,可得各个国家、各民族的 和 .对于中国人,.试问:公共汽车05.,7.116的车门至少需要多高,才能使上下车时需要低头的人不超过0.5？(单位:米)解 设公共汽车的车门高为 米,h表示乘客的身高,X则 ,)05.,71(2N乘客上下车时需要低头A,h,05.)(XP,9.11hh,).7()F查标准正态分布表得,58.205.
9、7195.0zh故 米,8所以车门高度取 1.9 米即可.例 8 设测量到某一目标的距离时产生的随机误差 具有概率密)(mX度17,320)(exp401)( 2xf,求在四次独立测量中至少有一次误差的绝对值不超过 20m 的概率.解 方法一 ,)402(2NX第 次测量产生的误差,i第 次测量中误差的绝对值iB不超过 20m , 2020|)( iii PP)1()(F,34.1587.四次独立测量中至少有一次B误差的绝对值不超过 20m ,则 ,4321B)()()( 432PP,46587.0.4)()()(.8170方法二 ，)0,2(2NX18测量中误差的绝对值不超过 20m A，2
10、0|X)(P)1(0)(F,34.1587.0令 四次独立测量中误差的绝对Y值不超过 20m 的次数 ,则有 ，).,(B四次独立测量中至少有一次误差的绝对值不超过 20m ，1Y1)(YPP044)3.(pC.4658710例 9 某厂有同类机床 60 台.假设每台相互独立工作,故障率为 0.02.要求机床发生故障时不能及时修理的概率小于 0.01,问至少要配备几19名工人共同维修？解 设 发生故障的台数,X则 , ；)02.6(B.1np设有 名工人共同维修，x“能及时修理” CxX，“不能及时修理” ，xkPXP0)(xkqC606)2.(，xkke0.1!)()(Pxkke02.1!)(，12. .!xke查泊松分布表，得 ，51x，4x于是，至少要配备 4 名工人共同维修.20例 10 对目标进行射击,直到击中目标为止, 若每次击中目标的概率为 ,记 为所需射击次数, )10(pX求随机变量 的概率分布律 ,并计算 取奇数的概率.X解 根据题意知只能取可列个可能值:,且随机变量 的概率分,2,1kX布律为, ;pkXPk1)(,2取 奇 数 )1(1kkXP21kpkk11)2()1(12(kkp.pp2)(其中用到 , .xxii10 )1|(
