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1、第三章 二维随机变量及其概率分布要点一、二维随机变量（X,Y）的联合分布函数以及它的边缘分布.(二维随机变量（X,Y）的联合分布函数 对离散型和连续型随机变量都适),(yxF用)1、联合分布函数 的定义： ， 一个带有变量),(yxF,),(yYXP的，特定事件 的概率，因此它具有事件概率的属性。yx, ,YX2、 有如下性质：),(（1） 10),(yxF（2） =0； =0； =0； =1,),(F),(F3、分量 X,Y 的各自的分布称为边缘分布函数分量 X 的边缘分布函数 即让 y 取一切值的分布函数)(xX),分量 Y 的边缘分布函数 即让 x 取一切值的分布函数)(yFY),y二、
2、二维离散型随机变量(X,Y)联合分布律和边缘布分布律1、联合分布率：以如下具体例子加以说明：YX0 1 21 0.2 0.1 0.12 0.2 0.3 0.1它就是一个二维离散型随机变量(X,Y)联合分布律，它反映了：（1） X 可以取值 1，2； Y 可以取值 0，1，2（2） 给出了(X,Y)各种取值组合的概率，如 P(X=1,Y=2)=0.1；PX=2,Y=1=0.3分布率性质： ； （ ）0ijPjijP3,21 ,ji2、边缘布分布律（还是以上例说明） YX0 1 2 iP1 0.2 0.1 0.1 0.2+0.1+0.1=0.42 0.2 0.3 0.1 0.2+0.3+0.1=0
3、.6jP0.2+0.2=0.4 0.1+0.3=0.4 0.1+0.1=0.2 1表格最右边 是 X 的边缘分布率: 它表示 PX=1=0.4,PX=2=0.6i表格最下边 是 Y 的边缘分布率它表示 PY=0=0.4,PY=1=0.4,PY=2=0.2jP三、二维连续型随机变量(X,Y)联合密度函数 ),(yxf1、性质:（1） 0 （2） =1 （具体积分上下限要看具体题目）),(yxfdxyf),(2、（1）X 边缘密度函数 = （2） Y 边缘密度函数 =)(xfXdyf), )(yfYdxyf),(3、连续型随机变量(X,Y)的分布函数和密度函数的关系： =yxF),(2),(f是对
4、二维函数求偏导数的符号。具体方法是对函数 F(x,y)将 x 看作变yxF),(2量,y 看作常数求一次导数，再对求出的结果将 y 看作变量,x 看作常数求一次导数。如对 F(x,y)= ，求 ：32yxyxF),(2将 x 看作变量，y 看作常数求一次导数：（ = ，再对求出的结果将 y32yx)x3看作变量，x 看作常数求一次导数（ = 所以 =36),(yf26四、二维随机变量 X,Y 独立性（即变量之间互不影响）1、X,Y 互相独立 F( )= yx,)(xFXyY2、X,Y 互相独立 =),(f(f)Y3、X,Y 互相独立 对一切 i,jjijiP,五、常用的连续型两维随机变量概率分
5、布1、均匀分布 ),(yxf其 它 ,0),(DYXS这里（X,Y） ，表示（X,Y）所属的区域为 D,S 为区域 D 的面积考试中常用的是矩形区域： ， 它的面积 S=(b-a)(c-d)bxadyc，)(1dcbxyc),(yxf即 ：0 其它矩形区域内 (X,Y)服从二维均匀分布，则其 X 和 Y 的边缘分布也服从均匀分布bxab 1 cd -c1y)(xfX )(yfY 0 其它 0 其它2、正态分布若(X,Y)服从二维正态分布 ),;(21, N（1）则边缘分布 X,Y 也分别服从正态分布： X ，Y)(21,N),(2（2）相关系数 X,Y 互相独立0五、二维随机变量函数的分布如 Z=X+Y,Z=XY 等函数，考试一般以离散型随机变量题型居多例：（X,Y）的联合分布率为：YX0 1 21 1/18 1/9 1/62 2/9 1/3 1/9则 Z=X+Y 的分布率为：Z=X+Y 1 2 3 4P 1/18 1/9+2/9=1/3 1/6+1/3=1/2 1/9Z=XY 的分布率为：Z=XY 0 1 2 4P 1/18+2/9=5/18 1/9 1/6+1/3=1/2 1/9做好后可以用概率和是否等于 1 检验一下。
