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1、圆的有关概念与垂径定理知识梳理知识点一、圆的定义及有关概念重点：掌握圆的定义及有关概念难点：熟练掌握运用概念1、圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。2、有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。连接圆上任意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦。在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧。例1P为O内一点，OP=3cm，O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为_；最长弦长为_解题思路：圆内最长的弦是直径，最短的弦是和OP垂直的弦，答案：10 cm，8 cm例2.判断正误：1）、弦是直
2、径 （ ） 2）半圆是弧； （ ） 3）过圆心的线段是直径；（ ） 4）过圆心的直线是直径；（ ） 5)半圆是最长的弧； （ ） 6)直径是最长的弦； （ ）7)圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆; （ ） 8)半径相等的两个圆是等圆； （ ）9）等弧就是拉直以后长度相等的弧。 （ ）知识点二、平面内点和圆的位置关系重点：掌握平面内点和圆的位置关系及数量关系难点：运用点和圆的位置关系及数量关系平面内点和圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内当点在圆外时，dr；反过来，当dr时，点在圆外。当点在圆上时，dr；反过来，当dr时，点在圆上。当点在圆内时，dr；反过来，当dr时，点在圆内。一
3、、例题讲解：【例1】如图，RtABC的两条直角边BC=3，AC=4，斜边AB上的高为CD，若以C为圆心，分别以r1=2cm，r2=24cm，r3=3cm为半径作圆，试判断D点与这三个圆的位置关系【例2】如何在操场上画出一个很大的圆？说一说你的方法【例3】 已知：如图，OA、OB、OC是O的三条半径，AOC=BOC，M、N分别为OA、OB的中点求证：MC=NC【例4】 设O的半径为2，点P到圆心的距离OP=m，且m使关于x的方程2x22xm1=0有实数根，试确定点P的位置【例5】 城市规划建设中，某超市需要拆迁爆破时，导火索的燃烧速度与每秒09厘米，点导火索的人需要跑到离爆破点120米以外的安全
4、区域，这个导火索的长度为18厘米，那么点导火索的人每秒跑65米是否安全？【例6】 由于过渡采伐森林和破坏植被，使我国某些地区多次受到沙尘暴的侵袭近来A市气象局测得沙尘暴中心在A市正东方向400km的B处，正在向西北方向移动（如图3-1-5），距沙尘暴中心300km的范围内将受到影响，问A市是否会受到这次沙尘暴的影响？知识点三、垂径定理1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。2、进一步，我们还可以得到结论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧3、证明中常用的辅助线过圆心作弦的垂线段。（图10） （图11） （图12） （图13）练习11、 判断正误：（1）
5、直径是弦( )（2）弦是直径( )（3）半圆是弧( )（4）弧是半圆( )（5）长度相等的两条弧是等弧( )（6）等弧的长度相等( )（7）两个劣弧之和等于半圆( )（8）半径相等的两个圆是等圆( )（9）两个半圆是等弧( )（10）圆的半径是，则弦长的取值范围是大于且不大于( )（11）直径是圆的对称轴（12）平分弦的直径垂直于弦2、 如图，O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6cm，EB=2cm，CEA=30，求CD的长3、 如图，在O中，弦AB=8cm，OCAB于C，OC=3cm，求O的半径长4、 如图1，AB是O的直径，CD是弦，AECD，垂足为E，BFCD，垂足为F，EC和DF
6、相等吗？说明理由如图2，若直线EF平移到与直径AB相交于点P（P不与A、B重合），在其他条件不变的情况下，原结论是否改变？为什么？如图3，当EFAB时，情况又怎样？如图4，CD为弦，ECCD，FDCD，EC、FD分别交直径AB于E、F两点，你能说明AE和BF为什么相等吗？5、 判断：垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.（ ）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.（ ）经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）6、 已知：如图，O 中， AB为 弦，C 为 AB 的中点，OC交
7、AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求O 的半径OA.7、 如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.8、 储油罐的截面如图3-2-12所示，装入一些油后，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度练习11、已知，如图在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，求证：ACBD2、已知AB、CD为O的弦,且ABCD，AB将CD分成3cm和7cm两部分，求：圆心O到弦AB的距离3、已知：O弦ABCD 求证：5、已知：AB为O的直径，CD为弦，CECD交AB于E DFCD交AB于F求证：AEBF6、已知：ABC内接于O，边
8、AB过圆心O，OE是BC的垂直平分线，交O于E、D两点，求证，7、已知：AB为O的直径，CD是弦，BECD于E，AFCD于F，连结OE，OF求证：OEOF CEDF8、在O中，弦ABEF，连结OE、OF交AB于C、D求证：ACDB9、已知如图等腰三角形ABC中，ABAC，半径OB5cm，圆心O到BC的距离为3cm，求ABC的长10、已知：O与O相交于P、Q，过P点作直线交O于A，交O于B使OO与AB平行求证：AB2OO练习2一、选择题1如图1，如果AB为O的直径，弦CDAB，垂足为E，那么下列结论中，错误的是（ ）ACE=DE B CBAC=BAD DACAD (1) (2) (3)2如图2，
9、O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（ ）A4 B6 C7 D83如图3，在O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是（ ）AABCD BAOB=4ACD C DPO=PD二、填空题1如图4，AB为O直径，E是中点，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，则AC=_ (4) (5)2P为O内一点，OP=3cm，O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为_；最长弦长为_3如图5，OE、OF分别为O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF，那么_（只需写一个正确的结论）三、综合提高题1如图24-11，AB为O的直径，CD为弦，过C、D分别作CNCD、D
10、MCD，分别交AB于N、M，请问图中的AN与BM是否相等，说明理由3（开放题）AB是O的直径，AC、AD是O的两弦，已知AB=16，AC=8，AD=8，求DAC的度数练习3：1、 已知：在以O为圆心，直径分别为10cm和16cm的两个圆中，有点P，OP=4cm，过点P分别作大圆的弦AB，小圆的弦CD，则AB的最大值与CD的最小值的和_cm。2、 如右图O的直径AB=15cm，有一条定长为9cm的动弦，CD在AMB上滑动点C与A，点D与B不重合，且交AB于E， 交AB于F。（1） 求证：AE=BF；ABCDEFGO（2） 在动弦CD滑动的过程中，四边形CDEF的面积是否为定值？若是定值，请给出证
11、明并求出这个定值；若不是，请说明理由。 3、 如图：已知ABC中，ACB=90，AC=6cm，BC=8cm，以C为圆心、CA为半径作弧交斜边AB于D，求AD长。BACDE 4、 已知：如图在O中，弦AB的长是半径OA的倍，C为AB的中点，AB、OC相交于P点，求证：四边形OACB是菱形。ABCOP 5、 如图过O的直径AB上两点M，N，分别作弦CD、EF，若CDEF，AC=BF。求证：（1）BEC=ADF；（2）AM=BN。ABCDEFONM ABONM6、 如图在扇形MON中，MON=90，过MN的中点A作ABON，交MN于B，求BON的度数。 7、 已知：如图OA、OB、OC是O的3条半径，AC=BC，M、N分别OA、OB上的点，且MCO=NCO，求证：AM=BN。ABCONM8、 已知：如图在O中，AB为弦，C、D两点在AB上，且AC=BD。求证：OAC
