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1、共振稀疏分解：一种新的可稀疏信号的分析方法0. 摘要生命和物质过程会产生大量信号，这些信号不但是不稳定的，而且是持续震荡信号和瞬态冲击信号的混合，并且这两种信号是很难线性分解的，例如声音、医疗和地理信号。因此，本文描述了一种基于信号共振的非线性信号分析方法，而这种方法不基于傅里叶变换和小波变换产生的频谱和幅值。这种方法将信号分解成一个高共振分量和一个低共振分量高共振分量由多个同时发生的持续震荡信号组成，低共振分量由多个没有具体现状和持续时间的瞬态冲击信号组成。本文所阐述的共振稀疏分解算法使用的方法有信号稀疏表示、形态分量分析和品质因子可调小波换。1. 前言频域分析法和滤波是信号处理的基础。然而
2、，频域分析法和时频分析法并不适用于所有信号，事实上只适用于持续震荡或周期信号。那些主要由奇异点限定的分段光滑信号多数使用时域和小波变换描述、分析和处理。例如，图像扫描，眼部运动记录，潜能诱发反应，神经尖刺训练等。然而，许多生命和物质过程产生信号不只是不稳定的，而且是持续震荡信号和瞬态冲击信号的混合，例如声音、医疗（脑电图和心电图等）和地理（海浪高度数据等）信号。这些信号既含有稳态震荡部分又含有瞬态冲击部分。脑电波包含有节奏振荡（alpha和beta波等），也包含人为测量和无节奏脑行为所产生的瞬态冲击。海浪高度数据测量的是已经流动了几百英里（100s）的海量的重叠高度，但是天气因素将中断这种震荡
3、行为。当然，通过生命和物质系统测量的信号通常包含持续震荡信号和瞬态冲击信号，而这两种信号是很难线性分解的。为了改进复杂非平稳信号的描述、分析和处理，我们阐述了一种新的基于共振的非线性信号分析方法，而这种方法不基于傅里叶变换和小波变换产生的频谱和幅值。这种方法将信号分解成一个高共振分量和一个低共振分量。其中，高共振分量由多个同时发生的持续震荡信号合成，另一方面，低共振分量由多个没有具体现状和持续时间的瞬态冲击信号合成。这篇论文的部分内容已经出版在两个早期的会议论文中84，85。图1. 单脉冲共振属性是由品质因子Q量化的，而品质因子是中心频率与频带宽度的比值。脉冲1和脉冲3在持续时间上看是一个单振
4、荡，是低共振脉冲。脉冲2和脉冲4具有多次震荡，属于高共振分量。低品质因子小波变换（例如经典的二阶小波变换）能有效描述脉冲1和脉冲3，高品质因子小波变换能有效描述脉冲2和脉冲4。图a为时域信号，图b为频谱。2. 信号共振图1用图例说明了信号共振的概念。事实上，脉冲1和脉冲3都包含了一个单振荡正弦信号。我们把这两种信号称为低共振信号是因为他们没有持续震荡。观察这两个脉冲的时域图我们发现，时域脉冲波形并不能有限体现共振程度。很明显，一个低共振脉冲既有可能是一个高频信号（脉冲1），也有可能是一个低频信号（脉冲3）。低共振脉冲不限于单边频带。因此，不能通过频率滤波的方式从一个信号中提取出低共振分量。我们
5、把脉冲2和脉冲4定义成高共振分量是因为他们具有持续震荡特性。两个脉冲都包含5个振荡的由哑铃函数相乘而成的正弦波（特别的，如布莱克曼窗口），如上面所说，这两个脉冲的时域波形具有相同的共振属性。同样的，一个高共振脉冲既有可能是一个高频信号（脉冲2），也有可能是一个低频信号（脉冲4），高共振分量也不能通过频率滤波的方式从一个信号中提取出来。2.1. 共振稀疏分解正如我们所描述的，共振稀疏分解应该能够近似低分解图1中的脉冲1和脉冲2，尽管这两个信号在时域上是迭加在一起的。为了阐明共振稀疏分解算法(后面会详尽阐述)的效果，我们将这种方法应用图2的人工合成信号上。这个人工信号含有3种频率和两级共振的六个脉
6、冲。目标是将信号的高低共振分量分离开。通过这种算法的得到的高低共振分量如图2a所示。这种算法也得到一个残余信号，从而允许随机噪声的存在。这个测试信号等同于三个信号的和：高共振分量、低共振分量和残余信号。（残余信号的幅值可以通过分解算法中的参数控制。）图2. 共振稀疏分解和频率滤波时域波形图。(a)测试信号被稀疏表示成高低共振分量。高共振信号分量使用高品质因子RADWT变换得到。同样，低共振信号分量使用低品质因子RADWT变换得到。(b)使用LTI时间离散滤波器将测试信号分解成低、中和高频分量。(a)共振稀疏分解时域波形图(b)频率滤波时域波形图。观察发现，线性时不变（LTI）滤波器不能实现图2
7、a所示的信号分解，这是因为存在于高共振分量的三个频率同样也存在于地共振分量中。高低共振分量中的脉冲的不同点不是他们的频率而是他们持续振荡的程度。当然，LTI滤波器能将测试信号分解成低、中和高频部分。使用低通、带通和高通LTI滤波器，我们能够实现测试信号的基于频率的分解，从而获得不同的频率分量，正如图2b中所示。2.2. 共振稀疏分解必然是非线性的这里所提到的共振稀疏分级不能通过线性滤波实现，如图3所示。图3中的每一行表示一个信号分解成高低共振分量的理想情况。前六个信号是低共振信号，所以低共振分量是信号本身（高共振分量是零）。最后一个信号是高共振信号，所以高共振分量是信号本身（低共振分量是零）。
8、正如图3所示，高低共振分量都不满足叠加性。图3最左下方的信号是上面6个低共振信号的和。如果信号的共振分量是信号的线性函数，那么图3最右下方的高共振分量应该是上面6个高共振分量的和。但是这不是事实，因此经过分析，所提出的共振稀疏分级方法必然不是信号的线性函数。2.3. 共振稀疏分解能否恰当定义？很显然，一个信号在分解成高低共振分量时也有可能定义不当。如果我们将图3. 共振稀疏分解一定是非线性的：最左下方信号是上面各信号的和；然而，这个信号的低共振分量不是上面各低共振分量的和。同理，高共振分量也不满足叠加原理。图1中的脉冲1和脉冲3（大约包括1次振荡）定义成低共振分量，将脉冲2和脉冲4（大约包括5
9、次振荡）定义成高共振分量，然后我们如何定义一个含有3次振荡的信号呢？同样，如果一个信号包含几个这样的不能确定共振特性的脉冲，那么高低共振分量该如何定义呢？起初并不清楚如何定义一类信号的共振属性，无论这类信号是否能够分解成高低共振分量。相反，频率滤波可以直截了当的定义：一个低通滤波器可以通过(阻止)低于（高于）某一设定频率值的正弦振荡信号。频率响应函数和滤波器的线性度决定了滤波器的输入输出特性。因此，好像共振稀疏分解的概念是不清楚的，不准确的，不明确的。然而，通过把这种方法表述成一个恰当选择的优化问题的解决办法，就可以很好地定义这种分解方法。（图2a所示的共振稀疏分解方法是通过下面提到的成本函数
10、（1）的数值最小化得到的。）也就是说，一个信号的共振分量取决于具体的成本函数，而且通过改变成本函数中定义的参数可以精确低调整分解结果。因此，我们所提到的共振稀疏分解是信号的非线性函数，并通过迭代最优化算法得到。相反的，频率滤波可以使用卷积或求和写成闭合形式。共振稀疏分解必然是非线性的和数字化的，然而频率分解是线性的和解析化的。2.4. 品质因子和恒品质因子基函数当定义一类信号的共振属性可能存在问题时，单个脉冲的共振属性可以通过品质因子量化，而品质因子等于中心频率与带宽的比值；这个数值在滤波器设计、控制和动态系统物理学中广泛使用。一个脉冲的品质因子反映了它的共振属性，如图1所示。脉冲的震荡次数越
11、多，品质因子越高。图1所示的前两个脉冲以同样的频率（两个采样点间隔0.04个周期）振荡，但是第二个脉冲振荡时间更长，因此具有更高的品质因子（高出4倍）。图1所示的后两个脉冲均以每两个采样点间隔0.04周期的频率震荡，分别具有与前两个脉冲相同的品质因子。观察发现一个脉冲的品质因子实际上等于脉冲的振荡次数。下面所描述的计算高低共振分量的方法是基于使用恰当设定的基函数来有效地表示这两个信号分量。为了有效的表示高共振信号分量，我们要求设定的基函数完美包含全部高共振（高品质因子）函数；这样一个基函数是通过转换和时间定标一个高品质因子脉冲得到的。基函数中的高共振函数拥有相同的品质因子。同样的，为了有效的表
12、示低共振信号分量，我们要求设定的这个基函数完美包含全部低共振（低品质因子）函数；同理，这样一个基函数是通过转换和时间定标一个低品质因子脉冲得到的。因此，我们需要两个恒品质因子基函数一个以高品质因子为特征，另一个以低品质因子为特征。通过转换和时间定标一个单脉冲得到的基函数广泛存在于小波基函数中，而小波基函数产生的脉冲称作小波。最广为人知和广泛使用的恒品质因子基函数是二阶小波基函数21，具有一个很低的品质因子。当然，二阶离散小波变换的有效性取决于它能够对分段光滑信号也就是低共振信号提供相关稀疏表示的能力。二阶小波变换之所以很少应用在振荡（高共振）信号如语音上是因为它布恩那个为这些信号提供有效的系数
13、表示。对于高品质因子恒Q变换的需求可能有些问题；确实，语音信号通常使用恒带宽变换（例如，MPEG 2/4 AAC 多媒体解码器使用MDCT在128和1024频带之间转换）来分析和处理。尽管恒带宽分析能够使用FFT以高计算效率实现，尽管它适用于众多音频编码器的关键组件，但是它无法提供共振稀疏分解所需要的恒品质因子分析。许多年来，恒品质因子频率分析一直是声学和信号处理领域研究的兴趣所在。这种兴趣中的一部分是受到生物学人类性格和其他哺乳动物听觉系统的广泛研究的启发；并且树立了耳蜗具有近恒品质因子特性的理念。具体说来，耳蜗可以建模成一些高度重叠的带通滤波器的集合，而这个带通滤波器的频率必须高于某一物种
14、特定频率才能拥有恒品质因子。（人类的耳蜗在500Hz以上接近恒品质因子，在500Hz以下趋近恒带宽）目前已经建立几个参数模型用于这些听觉滤波器组，包括Gammatone和Gammachirp滤波器组，而这些滤波器在设计时保证了与心里声学测量的相容性。3. 方法3.1. 过完备有理膨胀小波变换对可逆恒品质因子离散变换的追踪研究自然走向了基于有理膨胀因子4,5,59的离散小波变换和基于有理采样因子9,10,62,106的完整重构滤波器组。然而，基于有理采样因子的关键采样滤波器组受到了严格限制，而且用于二阶滤波器的设计方法不能使用。由于设计难题的存在，目前针对有理膨胀问题提出的解决方案很少。高品质因
15、子恒Q小波变换用于高共振信号稀疏表示，受到这种小波变换需求的推动，我们最近提出了一种新的有理膨胀小波便换，这种变换完全离散化，易于求逆，减少能量损耗，变换过后几乎没有改变，并且允许使用者调整品质因子。这种新的小波变换方法作为广泛使用的二阶小波变换可用于高品质因子分析，或者同样用于作为低品质因子分析。当这种变换没能严格采样时，实施这种变换可能产生一定的冗余（例如，e.g., 3-times overcomplete, depending on para-meters）。此外，逆分析滤波器组是正分析滤波器组的镜像，所以这种变换是自可逆的（这种变换使用一种窄窗而不是规范正交基），这将使信号的稀疏表示
16、容易实现。文献6中引入过完备有理膨胀小波变换（RADWT）是基于图4中所示的滤波器组。当选定图4中的整数p, q和s，并使这个滤波器组过完备后，我们在文献6中提供了一系列用于多等级滤波器组的滤波器，这个多等级滤波器组具有完美重构特性，良好的时频定位性和高规律性。小波变换的品质因子当FB在它的低通分支上迭代时获得，并由参数p,q和s决定。RADWT不是基于整数膨胀，而是基于处于1和2之间的有理数膨胀（q/p）。设定膨胀因子接近1，s1，将得到一个带有高品质因子分解/合成函数的小波变换。设定s=1，将得到一个带有低品质因子如二阶DWT的小波变换。不同的频率分解以及相关的小波在图5中分两种情况阐明：低品质因子和高品质因子变换。3.2. 信号的稀疏分解我们把高共振信号定义成那些可以用高品质因子恒Q变换（高品质因子变换）有效稀疏表示的信号，例如图5b中恰当选择参数p,q和s的RADW
