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1、 http:/ 快乐学习，尽在中小学教育网解析几何中有关参数范围问题的求解策略曾庆宝解析几何中的参数范围问题是平时考试和高考中的重要考查内容，但这一类题综合性强、变量多、涉及知识面广，是难点问题。解答这类问题往往运用函数思想、方程思想、数形结合思想等，将问题转化为求函数的值域划最值等来解决。一. 运用数形结合探求参数范围例 1. m 为何值时，直线 与半椭圆 只有一个公共yxmxyy22015点？分析：因为椭圆 为半条曲线，若利用方程观点研究这类问xyy22015题，则需转化成根的分布问题，较麻烦且易出错。若用数形结合的思想来研究则直观易解。如图， 是直线系 中的三条直线，这三条直线是直线系中
2、的直线与半ll123、 、 yxm椭圆交点个数的“界线” ，在 与 之间的直线（含 ，不含 ）及 都是与半椭圆只有一l12l1l23个公共点的直线，而 m 是这些直线在 y 轴上的截距，由此可求 m 的范围。解： 过 ，则l125， 125251m，过 ，则l2， ，由 得到关于 x 的一元二次方程。yxmy220151 http:/ 快乐学习，尽在中小学教育网利用0 得 m6综上所得， 或125125m6二. 构建函数关系探求参数范围例 2. P、Q、 M、N 四点都在椭圆 上，F 为椭圆在 y 轴正半轴上的焦点。xy21已知 与 共线， 与 共线，且 。求四边形 PMQN 的面积的最FFP
3、M0小值和最大值。分析：显然，我们只要把面积表示为一个变量的函数，然后求函数的最值即可。解：如图，由条件知 MN 和 PQ 是椭圆的两条弦，相交于焦点 F（0，1） ，且PQ MN，直线 PQ、MN 中至少有一条存在斜率，不妨设 PQ 的斜率为 k，又 PQ 过点F（0，1） ，故 PQ 方程为 。代入椭圆方程得ykx122x设 P、Q 两点的坐标分别为 ，则xy12， ， ，xkk1222，从而 PQxykPQk212122 281，当 时，MN 的斜率为 ，同上可推得k0k http:/ 快乐学习，尽在中小学教育网 MNk2122故四边形面积SPQMNkk124124215222令 ，得u
4、k21Suu4515因为 ，此时 ，且 S 是以 u 为自变量的增函k2k269， ，数，所以 。169S当 时，MN 为椭圆长轴，k0MNPQ22，SPQN122综合知，四边形 PMQN 面积的最大值为 2，最小值为 。169三. 构造含参数不等式探求参数范围例 3. 已知抛物线 ，过 M（a，0）且斜率为 1 的直线 与抛物线交ypx2l于不同的两点 A、B ， 。（1）求 a 的取值范围；（2）若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N，求NAB 面积的最大值。分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，对于（1） ，可以设法得到关于 a 的不等式，通过解不等式求出 a 的范围，即“求
5、范围，找不等式” 。或者将 a 表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出 a 的范围。对于（2）首先要把NAB 的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值。 http:/ 快乐学习，尽在中小学教育网解：（1）直线 的方程为： ，将 代入抛物线方程 ，设lyxayxaypx2得 xapx220设直线 与抛物线两交点的坐标分别为 ，则l AxyBxy12， ， ，并且4021apxyxayxa12，ABxyxxpa12121212482又 080pa，所以 2解得： pa4（2）令 AB 中点为 Q，SABNpABpN1222|即NAB 的面积的最大值为 。2例 4. 已知梯形 ABCD
6、中， ，点 E 满足 ，双曲线过ABCD2ACC、D、 E 三点，且以 A、B 为焦点。当 时，求双曲线离心率 e 的取值范围。34分析：显然，我们只要找到 e 与 的关系，然后利用解不等式或求函数的值域即可求出 e 的范围。解：如图建立坐标系，CDy 轴，因为双曲线经过点 C、D，且以 A、B 为焦点，由双曲线的对称性知 C、D 关于 y 轴对称。 http:/ 快乐学习，尽在中小学教育网依题意，记 ，其中 为双曲线的半焦AcCchExy， ， ， ， ，020cAB12距，h 是梯形的高。由 ，即Excycxhy00002， ，解得： xh00211，设双曲线的方程为 ，则离心率ayb2e
7、ca由点 C、E 在双曲线上，将点 C、E 的坐标和 代入双曲线的方程得：ehbhb2224112将式代入 式，整理得： e24故 132e依题设 得：3431234e http:/ 快乐学习，尽在中小学教育网解得： 710e所以双曲线的离心率的取值范围是 710e四. 运用几何性质探求参数范围例 5. 已知椭圆 ，A 、B 是椭圆上的两点，线段 AB 的垂直平xayba210分线与 x 轴相交于点 。P0，证明： abxab202分析：欲证 满足关于参数 a、b 的不等式，须从题中找出不等关系，由椭圆的性质0可知，椭圆上的点的坐标满足如下条件： ，因此问题转化为寻求 与 x 的关xa0系。证
8、明：由题设可知，点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，所以 APB若设 ，则有：AxyBxy12， ， ，1021202因为点 A、B 在椭圆上，所以 ybaxybax12122，从而由 可得，axax12，bb202五. 构造方程运用判别式探求参数范围 http:/ 快乐学习，尽在中小学教育网例 6. 已知抛物线 上存在关于直线 对称的相异两点，求 pypx20xy1的取值范围。分析：解决本题的关键是建立方程，运用判别式找到关于 p 的不等式。解：设抛物线上关于直线 对称的两点是xy1MxyNxy12， ， ，设直线 MN 的方程为 ，代入抛物线方程，得bxbpx220则 yxbp12121
9、2，则 MN 的中点 P 的坐标为 pb，又因点 P 在直线 上，所以 ，即xy121bp21又 24802bppb将 代入得：121320p，解得： 023p【练习】1. 设椭圆 的两个焦点是 与 ，且 ，椭圆上xmy21Fc10， c2， 0存在一点 P，使得直线 与 垂直。FP2（1）求实数 m 的取值范围；（2）设 是相应于焦点 的准线，直线 与 相交于点 Q 若 ，求l2F2lFP23直线 的方程。PF2 http:/ 快乐学习，尽在中小学教育网2. 在以 O 为原点的直角坐标系中，点 为OAB 的直角顶点。已知A43， ，且点 B 的纵坐标大于零。AB2（1）求向量 的坐标；（2）求圆 的关于直线 OB 对称的圆的方程；xy2260（3）是否存在实数 a，使抛物线 上总有关于直线 OB 对称的两个点？若不ax21存在，说明理由；若存在，求 a 的取值范围。【答案】1. （1） m（2） yx322. （1） （6，8）（2） xy1022（3）存在 a3
