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1、习题 10 - 11. 设有一平面薄板（不计其厚度）占有xOy面上的闭区域D，薄板上分布有面密度为的电荷，且在D上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷Q.2. 设 的其中 又 ，其中 试利用二重积分的几何意义说明 与 之间的关系 .3. 利用二重积分定义证明：（1）（2） （其中k为常数）（3） 4. 根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：（1） 与 ，其中积分区域D是由x轴、y轴与直线x+y=1所围成;（2） 与 ，其中积分区域D是由圆周 所围成；（3） 其中D是三角形闭区域，三顶点分别为（1,0），（1,1），（2,0）；（4） 其中.5. 利用二重积分的性质估计下列积分的值：（1）
2、；（2） ；（3） ；（4） .习题 10 - 21. 计算下列二重积分：（1）；（2）（3）（4）其中D是顶点分别为(0,0),的三角形闭区域.2.画出积分区域，并计算下列二重积分：（1），其中D是由两条抛物线所围成的闭区域；（2），其中D是由圆周及y轴所围成的右半闭区域；（3），其中；（4）,其中D是由直线y=2,y=x及y=2x所围成的闭区域.3.如果二重积分的被积函数f(x,y)是两个函数的乘积，即，积分区域，证明这个二重积分等于两个单积分的乘积，即.4. 化二重积分 为二重积分（分别列出对两变量先后次序不同的两个二次积分），其中积分区域D是：（1）由直线y=x及抛物线所围成的闭区域；
3、（2）由x轴及半圆周所围成的闭区域；（3）由直线y=x,x=2及双曲线所围成的闭区域；（4）环形闭区域.5.设f(x,y)在D上连续，其中D是由直线y=x,y=a及x=b(ba)所围成的闭区域，证明.6. 改换下列二次积分的积分次序：（1） （2）（3） （4）（5） （6）7. 设平面薄片所占的闭区域D由直线x+y=2,y=x和x轴所围成，它的面密度 ，求该薄片的质量.8. 计算由四个平面x=0,y=0,x=1,y=1所围成的柱体被平面z=0及2x+3y+z=6截得的立体的体积.9. 求由平面x=0,y=0,x+y=1所围成的柱体被平面z=0及抛物面所截得的立体的体积.10. 求由曲面所围成
4、的立体的体积.11. 画出积分区域，把积分表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域D是：（1）；（2）；（3）；（4）.12.化下列二次积分为极坐标形式的二次积分：（1）（2）（3）（4）13.把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：（1）（2）（3）（4）14.利用极坐标计算下列各题：（1）；（2）（3）其中D是由圆周及直线y=0,y=x所围成的在第一象限内的闭区域.15.选用适当的坐标计算下列各题：（1）其中D是由直线x=2,y=x及曲线xy=1所围成的闭区域；（2），其中D是由圆周及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域；（3），其中D是由直线y=x,y=x+a,y=a,y=3a(a0)所围
5、成的闭区域；（4），其中D是圆形闭区域.16.设平面薄片所占的闭区域D由螺线上一段弧（）与直线所围成，它的面密度为，求这薄片的质量17. 求由平面y=0,y=kx(k0),z=0以及球心在原点、半径为R的上半球面所围成的在第一卦限内的立体的体积.18. 计算以xOy面上的圆周围成的闭区域为底，而以为顶的曲顶柱体的体积.19. 作适当的变换，计算下列二重积分：（1） ，其中D是平行四边形的闭区域，它的四个顶点是；（2） ，其中D是由两条双曲线xy=1,xy=2，直线y=x,y=4x所围成的在第一象限内的闭区域；（3） ，其中D是由x轴、y轴和直线x+y=1所围成的闭区域；（4） ，其中.20.
6、求由下列曲线所围成的闭区域D的面积：（1） D是由曲线所围成的在第一象限部分的闭区域；（2） D是由曲线所围成的第一象限部分的闭区域.21. 设闭区域D是由直线x+y=1，x=0,y=0所围成，求证：22. 选取适当的变换，证明下列等式：（1） ；（2） ，其中习题 10 - 31. 化三重积分为三次积分，其中积分区域分别是：（1） 由双曲抛物面xy=z及平面x+y-1=0,z=0所围成的闭区域；（2） 由曲面（3） 由曲面（4） 由曲面所围成的在第一卦限内的闭区域；2. 设由一物体，占有空间闭区域，在点（x,y,z）处的密度为，计算该物体的质量。3. 如果三重积分的被积函数是三个函数的乘积，
7、即，积分区域，证明这个三重积分等于三个单积分的乘积，即：4. 计算，其中是曲面z=xy与平面y=x,x=1和z=0所围成的闭区域.5. 计算，其中是由平面x=0,y=0,z=0,x+y+z=1所围成的四面体。6. 计算，其中为球面及三个坐标面所围成的在第一卦限内的闭区域。7. 计算，其中是由平面z=0,z=y,y=1以及抛物柱面所围成的闭区域。8. 计算，其中是由锥面与平面z=h(R0,h0)所围成的闭区域。9. 利用柱面坐标计算下列三重积分：（1） ，其中是由曲面所围成的闭区域；（2） ，其中是由曲面所围成的闭区域。10. 利用球面坐标计算下列三重积分：（1） ，其中是由球面所围成的闭区域；
8、（2） ，其中闭区域由不等式所确定。11. 选用适当的坐标计算下列三重积分：（1） ，其中为柱面及平面z=1,z=0,x=0,y=0所围成的在第一卦限内的闭区域；（2） ，其中是由球面所围成的闭区域；（3） ，其中是由曲面及平面z=5所围成的闭区域；（4） ，其中闭区域由不等式所确定.12. 利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积：（1） ；（2） ；（3） ；（4） .13. 求球体.14. 求上、下分别在球面和抛物面所围立体的体积。15. 球心在原点、半径为R的球体，在其任意一点的密度的大小与这点到球心的距离成正比，求这球体的质量。习题 10 - 41. 求球面含在圆柱面内部的那部分
9、面积。2. 求锥面被柱面所割下部分的曲面面积。3. 求底圆半径想的的两个直交圆柱面及所围立体的表面积。4. 设薄片所占的闭区域D如下，求均匀薄片的质心：（1）D由所围成；（2）D是半椭圆形闭区域；（3）D是介于两个圆之间的闭区域。5.设平面薄片所占的闭区域D由抛物线所围成，它在点(x,y)的面密度，求该薄片的质心。6. 设有一等腰直角三角形薄片，腰长为a，各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的平方，求这薄片的质心。7. 利用三重积分计算下列由曲面所围成立体的质心(设密度):(1) ;(2) ;(3) ;8. 设球体占有闭区域,它在内部各点处的密度的大小等于该点到坐标原点的距离的平方，试求这球
10、体的质心。9. 设均匀薄片(面密度为常数1)所占闭区域D如下，求制定的转动惯量：（1）（2）D由抛物线与直线x=2所围成，求；（3）D为矩形闭区域，求.10. 已知均匀矩形板（面密度为常量）的长和宽分别为b和h，计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴 的转动惯量。11. 一均匀物体（密度为常量）占有的闭区域由曲面和平面z=0,|x|=a,|y|=a所围成，（1） 求物体的体积；（2） 求物体的质心；（3） 求物体关于z轴的转动惯量。12. 求半径为a，高为h的均匀圆柱体对于过中心而平行与母线的轴的转动惯量（设密度=1）.13. 设面密度为常量的匀质半圆环形薄片占有闭区域，求它对位于z
11、轴上点处单位质量的质点的引力F。14.设均匀柱体密度为，占有闭区域，求它对于位于点处的单位质量的质点的引力。总习题 十1. 选择以下各题中给出的四个结论中一个正确的结论：（1） 设有空间闭区域，则有()(A) (B)(C) (D)（2） 设由平面闭区域，则（）（A）（B）（C）（D）0（3） 设f（x）为连续函数，F(t)=,则（）（A）2f(2)（B）f(2)（C）-f(2)（D）02. 计算下列二重积分：（1） ,其中D是顶点分别为(0,0),(1,0),(1,2)和(0,1)的梯形闭区域；（2） ；（3）（4） .3. 交换下列二次积分的次序：（1）（2）（3）4.证明：8. 计算下列三重积分：
