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1、14教 师 备 课 纸第六章 参数估计在实际问题中, 当所研究的总体分布类型已知, 但分布中含有一个或多个未知参数时, 如何根据样本来估计未知参数，这就是参数估计问题. 参数估计问题分为点估计问题与区间估计问题两类. 点估计就是用某一个函数值作为总体未知参数的估计值；区间估计就是对于未知参数给出一个范围，并且在一定的可靠度下使这个范围包含未知参数.参数估计问题的一般提法:设有一个统计总体, 总体的分布函数为, 其中为未知参数(可以是向量). 现从该总体中随机地抽样, 得一样本,再依据该样本对参数作出估计, 或估计参数的某已知函数第一节 点估计问题概述一、点估计的概念设是取自总体X的一个样本,
2、是相应的一个样本值. 是总体分布中的未知参数, 为估计未知参数, 需构造一个适当的统计量然后用其观察值来估计的值.称为的估计量. 称为的估计值. 在不致混淆的情况下, 估计量与估计值统称为点估计,简称为估计, 并简记为.注: 估计量是一个随机变量, 是样本的函数，即是一个统计量, 对不同的样本值, 的估计值一般是不同的.例1设X表示某种型号的电子元件的寿命(以小时计)，它服从指数分布： 为未知参数, . 现得样本值为168, 130, 169, 143, 174, 198, 108, 212, 252,试估计未知参数.2、 评价估计量的标准估计量的评价一般有三条标准:无偏性; 有效性; 相合性
3、（一致性）.1 无偏性定义1 设是未知参数的估计量, 若则称为的无偏估计量.注: 无偏性是对估计量的一个常见而重要的要求, 其实际意义是指估计量没有系统偏差，只有随机偏差. 在科学技术中, 称为用估计而产生的系统误差.定理1 设为取自总体X的样本,总体X的均值为, 方差为.则(1) 样本均值是的无偏估计量;(2) 样本方差是的无偏估计量;(3) 样本二阶中心矩是的有偏估计量.2有效性定义2 设和都是参数的无偏估计量, 若,则称较有效.注: 在数理统计中常用到最小方差无偏估计, 其定义如下:设是取自总体X的一个样本, 是未知参数的一个估计量, 若满足:(1) 即为的无偏估计;(2) 是的任一无偏
4、估计.则称为的最小方差无偏估计(也称最佳无偏估计).3 相合性(一致性)定义3 设为未知参数的估计量, 若依概率收敛于, 即对任意, 有或则称为的(弱)相合估计量.例2设总体,是来自这一总体的样本.(1) 证明是的无偏估计;(2) 求例3设为来自总体X的样本, ,均为总体均值的无偏估计量, 问哪一个估计量有效?例4 设总体,为其样本. 试证样本方差是的相合估计量.课堂练习 设总体X的k阶矩存在, 又设是X的一个样本. 试证明不论总体服从什么分布, k阶样本矩是k阶总体矩的无偏估计量.课后作业： P137 T 3、4第二节 点估计的常用方法（1）1、 矩估计法矩估计法的基本思想是用样本矩估计总体
5、矩. 因为由在大数定理知, 当总体的k阶矩存在时,样本的k阶矩依概率收敛于总体的k阶矩.例如, 可用样本均值作为总体均值的估计量, 一般地, 记总体k阶矩 样本k阶矩 ;总体k阶中心矩 样本k阶中心矩 用相应的样本矩去估计总体矩的方法就称为矩估计法. 用矩估计法确定的估计量称为矩估计量. 相应的估计值称为据估计值. 矩估计量与矩估计值统称为矩估计.求矩估计的方法：设总体的分布函数中含有k个未知参数, 则(1) 求总体的前k阶矩，一般都是这k个未知参数的函数, 记为 （*）(2) 从（*）中解得 (3) 再用的估计量分别代替上式中的,即可得的矩估计量:注：求类似于上述步骤，最后用代替，求出矩估计
6、 。例1 设总体X的概率密度为其中是未知数，是取自X的样本, 求参数的矩估计.例2设总体的均值及方差都存在, 且有, 但均为未知, 又设是来自的样本. 试求的矩估计量.例3设总体X的概率分布为其中为未知参数.现抽得一个样本求的矩估计值.课堂练习设总体在上服从均匀分布，未知. 是来自的样本, 试求的矩估计量.课后作业： P142 T 2第三节 置信区间 在区间估计理论中, 被广泛接受的一种观点是置信区间, 它由奈曼(Neymann)于1934年提出。1、 置信区间的概念定义1 设为总体分布的未知参数, 是取自总体X的一个样本, 对给定的数, 若存在统计量使得则称随机区间为的双侧置信区间, 称为置
7、信度, 又分别称与为的双侧置信下限与双侧置信上限.注: 1. 置信度的含义: 在随机抽样中, 若重复抽样多次, 得到样本的多个样本值, 对应每个样本值都确定了一个置信区间, 每个这样的区间要么包含了的真值, 要么不包含的真值. 根据伯努利大数定理, 当抽样次数充分大时, 这些区间中包含的真值的频率接近于置信度(即概率) , 即在这些区间中包含的真值的区间大约有个,不包含的真值的区间大约有个. 例如, 若令, 重复抽样100次, 则其中大约有95个区间包含的真值, 大约有5个区间不包含的真值.2. 置信区间也是对未知参数的一种估计, 区间的长度意味着误差, 故区间估计与点估计是互补的两种参数估计
8、.3. 置信度与估计精度是一对矛盾.置信度越大, 置信区间包含的真值的概率就越大, 但区间的长度就越大, 对未知参数的估计精度就越差. 反之, 对参数的估计精度越高, 置信区间长度就越小, 包含的真值的概率就越低, 置信度越小. 一般准则是: 在保证置信度的条件下尽可能提高估计精度.例1 设总体为已知, 为未知, 设是来自X的样本, 求的置信水平为的置信区间.例2 设总体 为未知参数, 是取自总体X的简单随机样本, 如果以区间作为的置信区间, 那么置信度是多少? 2、 寻求置信区间的方法寻求置信区间的基本思想: 在点估计的基础上, 构造合适的函数, 并针对给定的置信度导出置信区间. 一般步骤:
9、(1) 选取未知参数的某个较优估计量;(2) 围绕构造一个依赖于样本与参数的函数(3) 对给定的置信水平,确定与,使通常可选取满足的与，在常用分布情况下, 这可由分位数表查得;(4) 对不等式作恒等变形化后为,则就是的置信度为的双侧置信区间。例3 设总体X的密度为未知参数为取自X的样本.(1) 试证(2) 试求的置信区间. 第4节 正态总体的置信区间（1）1、 单正态总体均值的置信区间(1)设总体 其中已知, 而为未知参数, 是取自总体X的一个样本. 对给定的置信水平, 由上节例1已经得到的置信区间 例1某旅行社为调查当地一旅游者的平均消费额, 随机访问了100名旅游者, 得知平均消费额元.
10、根据经验, 已知旅游者消费服从正态分布, 且标准差元, 求该地旅游者平均消费额的置信度为95%的置信区间.2、 单正态总体均值的置信区间(2)设总体其中,未知, 是取自总体X的一个样本.此时可用的无偏估计代替, 构造统计量,从第五章第三节的定理知对给定的置信水平, 由,即 因此, 均值的置信区间为 例2某旅行社随机访问了25名旅游者, 得知平均消费额元, 子样标准差元, 已知旅游者消费额服从正态分布, 求旅游者平均消费额的95%置信区间.例3有一大批糖果.现从中随机地取16袋, 称得重量(以克计)如下:506 508 499 503 504 510 497 512514 505 493 496
11、 506 502 509 496设袋装糖果的重量近似地服从正态分布, 试求总体均值的置信水平为0.95的置信区间.3、 单正态总体方差的置信区间 上面给出了总体的区间估计，在实际问题中要考虑精度或稳定性时，需要对正态总体的方差进行区间估计. 设总体其中,未知,是取自总体X的一个样本. 求方差的置信度为的置信区间. 的无偏估计为, 从第五章第三节的定理知,对给定的置信水平, 由于是方差的置信区间为而方差的置信区间例4为考察某大学成年男性的胆固醇水平, 现抽取了样本容量为25的一样本, 并测得样本均值 样本标准差. 假定所论胆固醇水平与均未知. 试分别求出以及的90%置信区间.课堂练习已知某地区农
12、户人均生产蔬菜量为X (单位:kg), 且 现随机抽取9个农户, 得人均生产蔬菜量为75, 143, 156, 340, 400, 287, 256, 244, 249问该地区农户人均生产蔬菜量最多为多少?第六章 习题课1、 知识总结：1、 点估计问题概述（1）点估计概念（2）评价估计量的标准：无偏性、有效性、相合性（一致性）2、点估计的常用方法（1）矩估计（2）最大似然估计3、置信区间（1）置信区间的概念（2）寻求置信区间的方法4、正态总体的置信区间（1）单正态总体的置信区间（2）双正态总体的置信区间2、 典型例题讲解1. 设总体X在区间上服从均匀分布, 是取自总体X的简单随机样本, 求常数使均为的无偏估计, 并比较其有效性.2. 设总体X服从均匀分布U，它的密度函数为 求未知参数的矩估计量3. 设总体X的概率分布为其中为未知参数.现抽得一个样本求的最大似然估计值.4. 设总体的期望和方差均存在，如何求的置信区间为的置信区间.5.设总体 其中未知, 为其样本.(1) 当时, 试求置信度分别为0.9及0.95的的置信区间的长度.(2) n多大方能使的90%置信区间的长度不超过1?(3) n多大方能使的95%置信区间的长度不超过1?
