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1、实验i yan111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111实验i yan111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111第7章 将反转机会量化我们用持久的耐力来征服一起。极地探险家 沙克尔顿家族的座右铭7.1 简介本章，我们对前三章的理论进一步的延伸，以便能够更深入地掌握时间序列中反
2、转的特点。与本书其他章节相比，本章会涉及更多抽象的概念，以及更高深的数学知识。本章所有的示例，及其理论上的发展，最终都运用到实践中去。大多数的讨论，都是在价格序列的基础上进行的，但是，这些讨论的结果，一般也应用到其他的时间序列中。尤其，有时候只要对一些结论稍微做改动，就可以很容易的将分析应用到价格虚列的转换之中，包括回报、价差组合、价差回报，以及因子分析等。什么是反转呢，在此之前我们都是假设一个概率模型，并产生股价数据来进行说明的。这个模型已经被过度程序化和简化，所以只能被当做阐释反转概念的一个工具。我们完全可以利用模型得到一些数据，来估计真实而未知的价格，其实这并不是空想。假定我们对这些简单
3、模型严格限定，并重新检查反转的含义，这时我们可以对“什么是反转”看得更清楚。我们希望能从这样一个有意义的检查中，对可计量的反转概念提出一些有用的概念，运用在“价格生成模型”的相关研究之中。希望这样的分析，可以为我们提供出一些关于统计套利的新见解，协助我们从整个系统或运作机理等方面，进一步的分析并了解统计套利运作的方式和原理。然后以这些见解为基础，为驱动这些机会的力量，建立起一个有效的市场理论。这可能有点雄心勃勃，或许是希望能找到一个理论或过程，可以带来超越这些指标的作用。如果我们还要研究并解决从2004年起就一直困扰着统计套利的问题，并了解目前还影响着绩效表现的原因，那么了解机制和理论都是很重
4、要的：市场结构的变化是如何影响绩效表现？7.2 平稳随机过程中的反转现象我们先研究最简单的随机过程，也就是平稳随机过程。假设每天的价格，都是根据相同的概率分布，独立生成，这个分布的特性是由固定的参数决定的。先假设它是一个连续的分布。而Pt代表t这天的价格。这里采用大写字母P，是因为小写的字体要表现一些特别的值（例如实际的价格）。这样假设之后，我们马上就可以得到一下几点：（1）如果Pt处于分布的尾部，那么Pt1就可能比Pt更接近分布的中心。用正式的术语说就是：假设Pt95%。那么Pt1小于Pt的概率就是95:5（19:1）。落在不同的百分比位置，也可以得到相似的结论。“Pt1有19:1的概率小于
5、Pt”与最前面的“Pt1可能比Pt更接近分布的中心”，这两种说法，它们的含义并不完全相同。“更接近中心”与“小于”是不同的。某些概率以及其隐含的意思的观点有时候是很有意思的。从完整性的角度看，检验是否“更接近中心”是很有用的。“更接近中心”是比较正式的；它可以以价格为标准，衡量偏离中心的大小。衡量偏差大小，也可以采用另外的方案，用价格分布百分比来表示。这两种概念对于对称的密度分布函数来说是一样的；不过对于不对称的函数，就大相径庭了。（2）如果Pt很靠近分布的中心，那么Pt1就很有可能会比Pt还要偏离分布的中心。再仔细的想一下，就会发现，第2点对于一个反转研究来说并没有什么作用；但如果按照文章的
6、思路来说，接近中心的值，还是可以标识偏离中心的情况，也即是标识未来的反转机会，因此它还是有用的。回顾第2章的爆米花过程和第3章随机共振的知识，你应该有更深刻的体会。将第1点中的概念进行推广，可以为本章问题的研究提供一个潜在的起点：假设Pt分布的p，那么Pt1中值，Pt1Pt 的概率应该会大于1；类似地，如果PtPt 的概率也会大于1。这里连续性的假设是非常重要的，实际上价格序列是非连续的，但我们还是可以得到接近于连续情况的结果。如果想要了解离散分布下的问题，可以重新回顾第4章的内容。现在出现了两个问题：（1）在交易中可以利用这些概率吗？l 针对的是平稳随机过程中的人造数据。l 针对的是实际的股
7、票数据，并使用局部数据所定义的矩（又条件地近似于平稳随机过程）。（2）如何定义文中的“反转”概念？l 向中心反转需要将上述概率予以修改，变成类似75%50%与25%50的情况l 向偏离中心的方向反转以便超过中心的情况被允许，并在前面用到的概率表示方式就显得比较贴切了。在（1）和（2）中，哪一个说法是恰当的（在本章中，恰当可以解释为“对于价格序列中反转的分析与解释是有用的”）？应该如何描述反转的特征呢？是否可以用向某一方向移动的百分比（与分布无关的值）来表示？是否可以用价格移动量的期望（平均）值（这需要把假设的价格分布综合起来，这时一个与分布有关的值）作为反转现象出现的标志？前面讨论的两个问题对
8、于一个交易系统来说，都非常重要。在一个传统的交易策略中，按照对价格移动的方向与大小的预测进行交易，总利润就会受到反转数量的期望值饿的影响。模型越是合理，价格移动的期望值越大，利润的期望值也就越大。利润的波动率在一定程度上，是由价格移动的盈亏比例决定的。以相同的无条件价格分布为例，盈利的机会越大，利润的方差就越低，产生了较多的盈利交易，以及较少的亏损交易，总体上就能产生利润。止损规则的存在与交易规模的大小会对交易结果造成显著影响，相比之下，进行一般化的绝对性陈述是不明智的行为。后面所提到的观察结果是很有价值的。假设我们只取那些可获利的交易。每日的利润变动一般来说都相当可观。通过爆米花过程的模型，
9、按照真实的数据进行交易，显示盈利的可能性为75%的交易策略，其夏普比率也超过2，但实际上盈利的机会只有52%.反转可以定义为从今日价格向分布中心方向的任何移动，包括超越中值的情况。这个方案，将超过中值的价格向下的移动当成反转移动就算移动到低于中值的范围，也就是超越中值的状况也同样包括在内。同样，一个低于中值的价格向上的移动也是反转。7.2.1反转移动的频率对于任何大于中值的价格，PtptmPrPt+1pt=FP(pt)其中Fp（）表示价格分布的密度函数。（这是在独立的假设下得到的直接的结果）。一个在这种情形下一般的测量反转发生的方法是：mFP(pt)fP(pt)dpt=38其中fp（）表示价格
10、分布的密度函数。因此，再考虑价格小于中值的情况，即PtPt+1:反转确定发生时，反转数量的期望值。2.EPtPt+1|Ptm:平均反转数量。3.EPtPt+1|PtPt+1PrPt+1m是一个前提条件。案例1与案例2之间的区别是，案例2还包括了额外25%的情况，在这25%的情形下，虽然Ptm，但是反转并没有发生，也就是Pt+1Pt。案例1并不包括这种情形，而是只包括反转移动的情况。如果我们利用案例1定义系统中“纯粹”反转的数量，那么案例2就可以被认为是系统中整体“揭示”的反转数量。采用这种术语，可以设想一下揭示反转数量为零或为负数的系统，而纯粹的反转数量永远都是正数（除了不令人感兴趣的和退化的
11、例子）。对某个小于中值的价格移动，也可以用相似的方式对其特征进行描述。纯粹反转 纯粹反转期望值的定义为：EPtPt+1|Pt+1m1/2+EPt1P|Pt+1Pt，Ptm来说，其反转数量的期望值等于pt与条件分布期望值的差：pt-EPt+1|Pt+1ptPt+1=pt-ptpt+1ft+1|Pt+1pt(pt+1)dpt+1当Pt1m的值所对应的反转数量期望值：EPtmPt-EPt+1m(pt)dpt将Ptm引入fPtPtmpt=fPpt1-FPm=2fP(pt)，当Ptm时，（每天的）纯反转数量的总期望值便是：EP tPt+1Pt+1m=2m(pt-1FPpt-ptpfppdp)fP(pt)
12、dpt以类似的方法，分析原来期望值公式中的第二项，推导出：EP tPt+1Pt+1Pt，Ptm=2-m(11-FPptptpfppdp-pt)fP(pt)dpt将这两个结果（分别乘以1/2）相加，纯粹的反转期望值为：m(pt-1FPpt-ptpfppdp)fPptdpt+-m(11-FPptptpfppdp-pt)fP(pt)dpt如果能简化这个数学公式就更好了。在后面的示例1中，我们就看到了这个公式在正态分布下的可能的简化形式。可以将这里的二元积分化简为一个一元积分；这样还是很难找到一个封闭形式的解。正态分布函数是一个对称的分布函数。如果分离点不是中值，而是平均数，能简化结果吗？当然，采用对称密度函数这
