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1、2.3 舍入误差对解的影响,本节研究线性代数方程组解的误差。衡量数的误码率差用到绝对值;方程组的解是向量,衡量其误差,自然需推广绝对值的概念。,2.3.1 各量和矩阵的范数,众所周知,数 的绝对值 是 的函数: ,具有以下三性质:,推广到向量 ,具有如下类似性质的函数 称为向量度 的范数或模或长度:,几何上三角不等式表示:在以向量 、 及其和 构成的三角形中,一边之长不超过另两边边长之和。由此易见,,从而,表示以 、 和 为边的三角形中,一边之长不小于另两边边 长之差。 常用向量范数有3种,即,分别称为1范数、2范数、无穷大范数。不难验证它们具有性质(1)和 (2)。这里只对范数 验证性质(3
2、)。为此只需证,或,最后不等式称柯西(Cauchy)不等式。注意对任意实数,由 二次式的判别式 ,便可推出柯西不等式。因此对 性质 (3)成立。,对于 阶方阵 ,具有如下4种性质的函数 称为矩阵 的范数:,例如矩阵函数,容易验证它具有上述种性质,便是一种矩阵范数,称为矩阵 的 范数,简称 范数。 常用矩阵范数是如下三种范数:,(26),其中 表示矩阵 的谱半径,即 特征值绝对值的最大 者。三种范数分别称为1范数或列范数,无穷大范数或行范数,2范数 或谱范数。 可以证明,矩阵的这三种范数还具有以下3种性质:(满足性质(1) 的矩阵范数称为相容范数),(27),这里只证性质(3)。假定 不可逆,则
3、线性齐次方程组 有非零解 ,从而,矛盾。这说明 可逆, 存在。于是,从而知,证毕,2.3.2 舍入误差对解的影响,用直线法解线性方程组 ,理应得出准确解 。但因存在 舍入误差,只能得出近似解 ,或者说近似方程组 的准确解。 近似矩阵 和近似向量 的误差,同计算机运算和精度有关。计算精度越高, 和 必然越小。 下面估计 和 很小时解的误差 。 和 分别 满足方程组,两式相减,可得,当 很小时 很小, 可逆,,注意,令,此时表明, 很小时解的相对误差约为 和 相对 误差的 倍; 很大时即使 和 的相对误差很小,解的相对 误差也可能很大。数 反映了舍入误差对解可能影响的大小,同方程 组本身系数矩阵有
4、关,因此称为方程组 的条件数。它的值随 所取范数不同而略有不同;但对矩阵的相容范数,均有 ,均可粗略说是误差的放大倍数。 值很大的方程组称病态方程组, 值较小的方程组称良态方程组。 如下方程组都是病态方程组:,对第一个方程组,,如在四位计算机上用列主元法求解,将得到解 ,而与 真解 相差甚远。对第二个方程组,实际问题很难计算条件数。下列现象可能表示方程组是病态的: (1)系数矩阵的行或列近似线性相关。 (2)系数矩阵的元素,数量级相差悬殊。 (3)将系数矩阵的元素稍加改变,得出的解变化较大。 (4)采用选主元的求解过程中,主元数量级相差悬殊。 (5)求出的解与预期的解相差较远。 为准确求解病态
5、方程组,可以采取以下措施,减少舍入误差影 响:采用高精度计算;采用稳定性好的算法,如全主元法;采取平衡 措施;迭代改善计算解。 所谓平衡措施,就是将系数矩阵的各行除以该行绝对值最大的 元素。例如上述第一个方程组的系数矩阵,经平衡后变为,方程组变为良态。实际方程组平衡后未必变为良态,所以为避免平衡 时除法平生误差,通常并不真正执行平衡,只是选主元时参照平衡措 施,将选主元的原则,由元素绝对值最大,改为除以该行绝对值最大,素后绝对值最大者。按此原则选主元求解上列第一个病态方程组,在 4位机上可得解 ,接近真解。 迭代改善计算解 ,目的是设法求修改量 ,使 满足原方程组 ,即,实际计算时方程组 不大可能准确求解,从而必须反复解 和修改 ,使 逐渐接近真解。这过程称为迭代改 善。为节省计算量,最好事先角分解 ,反复解 改为反复解 。为保证计算精度,计算残矢量 最 好采用高精度计算。迭代改善过程可表述如下:,