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1、第4讲 数列求和考纲要求1熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式2掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法. 知识梳理1公式法(1)等差数列的前n项和公式：Snna1d.(2)等比数列的前n项和公式：Sn2数列求和的几种常用方法(1)分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减(2)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和(3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的(4
2、)倒序相加法如果一个数列an的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的(5)并项求和法在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解例如，Sn10029929829722212(1002992)(982972)(2212)(10099)(9897)(21)5 050.3常见的拆项公式(1)；(2)；(3).要点精析1.数列的前项和与通项的关系：2.等差数列依次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k2倍；若等差数列的项数为2，则；若等差数
3、列的项数为，则，且，3.常用公式：1+2+3 +n =注：熟悉常用通项：9，99，999，； 5，55，555，4.等比数列的前项和公式的常见应用题：（1）生产部门中有增长率的总产量问题例如，第一年产量为，年增长率为，则每年的产量成等比数列，公比为其中第年产量为，且过年后总产量为：（2）银行部门中按复利计算问题例如：一年中每月初到银行存元，利息为，每月利息按复利计算，则每月的元过个月后便成为元因此，第二年年初可存款：=（3）分期付款应用题：为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清；为年利率辨析感悟数列求和的常用方法(1)当n2时，.()(2)求Sna2a23a3nan时只要把上式等号两
4、边同时乘以a即可根据错位相减法求得()(3)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin2 1sin2 2sin2 3sin2 88sin2 8944.5.()(4)(2014南京调研改编)若Sn1234(1)n1n，则S5025.()感悟提升两个防范 一是用裂项相消法求和时，注意裂项后的系数以及搞清未消去的项，如(1)二是含有字母的数列求和，常伴随着分类讨论，如(2)中a需要分a0，a1，a1且a0三种情况求和，只有当a1且a0时可用错位相减法求和.典型例题考点一 分组转化法求和【例1】 已知数列an的通项公式是an23n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，求
5、其前n项和Sn.解 Sn2(133n1)111(1)n(ln 2ln 3)123(1)nnln 3，所以当n为偶数时，Sn2ln 33nln 31；当n为奇数时，Sn2(ln 2ln 3)ln 33nln 3ln 21.综上所述，Sn规律方法 (1)等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解(2)奇数项和偶数项分别构成等差数列或者等比数列的，可以分项数为奇数和偶数时使用等差数列或等比数列的求和公式【训练1】 (2014湖州质检)在等比数列an中，已知a13，公比q1，等差数列bn满足b1a1，b4a2，b13a3.(1)求数列a
6、n与bn的通项公式；(2)记cn(1)nbnan，求数列cn的前n项和Sn.解 (1)设等比数列an的公比为q，等差数列bn的公差为d.由已知，得a23q，a33q2，b13，b433d，b13312d，故q3或1(舍去)所以d2，所以an3n，bn2n1.(2)由题意，得cn(1)nbnan(1)n(2n1)3n，Snc1c2cn(35)(79)(1)n1(2n1)(1)n(2n1)3323n.当n为偶数时，Snnn；当n为奇数时，Sn(n1)(2n1)n.所以Sn考点二 裂项相消法求和【例2】 (2013江西卷)正项数列an的前n项和Sn满足：S(n2n1)Sn(n2n)0.(1)求数列a
7、n的通项公式an；(2)令bn，数列bn的前n项和为Tn，证明：对于任意的nN*，都有Tn.解 (1)由S(n2n1)Sn(n2n)0，得Sn(n2n)(Sn1)0.由于an是正项数列，所以Sn0，Snn2n.于是a1S12，当n2时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n.综上，数列an的通项an2n.(2)证明 由于an2n，bn，则bn.Tn.规律方法 使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的【训练2】 (2013滨州一模)已知数列an的前n项和是Sn，且Snan1(nN
8、*)(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlog(1Sn1)(nN*)，令Tn，求Tn.解 (1)当n1时，a1S1，由S1a11，得a1，当n2时，Sn1an，Sn11an1，则SnSn1(an1an)，即an(an1an)，所以anan1(n2)故数列an是以为首项，为公比的等比数列故ann12n(nN*)(2)因为1Snann.所以bnlog(1Sn1)logn1n1，因为，所以Tn.考点三 错位相减法求和【例3】 (2013山东卷)设等差数列an的前n项和为Sn，且S44S2，a2n2an1.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列bn的前n项和为Tn，且Tn(为常数)，令cnb2n
9、，(nN*)，求数列cn的前n项和Rn.解 (1)设等差数列an的首项为a1，公差为d.由S44S2，a2n2an1，得解得a11，d2.因此an2n1，nN*.(2)由题意知Tn，所以n2时，bnTnTn1.故cnb2n(n1)()n1，nN*，所以Rn0()01()12()23()3(n1)()n1，则Rn0()11()22()3(n2)()n1(n1)()n，两式相减得Rn()1()2()3()n1(n1)()n(n1)()n()n，整理得Rn(4)所以数列cn的前n项和Rn(4)规律方法 (1)一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法
10、求和，一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比，然后作差求解(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式【训练3】 (2013嘉兴二模)在数列an中，a12，an13an2.(1)记bnan1，求证：数列bn为等比数列；(2)求数列nan的前n项和Sn.(1)证明 由an13an2，可得an113(an1)因为bnan1，所以bn13bn，又b1a113，所以数列bn是以3为首项，以3为公比的等比数列(2)解 由(1)知an13n，an3n1，所以nann3nn，所以Sn(3232n3n)(12n)，其中12n，记Tn3232n3
11、n，3Tn32233(n1)3nn3n1，两式相减得2Tn3323nn3n1n3n1，即Tn3n1，所以Sn.课堂小结数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数相关联的数列的求和(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和 答题模板7求数列|an|的前n项和问题【典例】 (14分)(2013浙江卷)在公差为d的等差数列an中，已知a110，且a1,2a22,5a3成等比数列(1)求d，an；(2)若d0，求|a1|a2|an|.规范解答 (1)由题意得5a3a1(2a22)2， (2分)即d23d40.故d1或
12、4. (4分)所以ann11，nN*或an4n6，nN* ， (6分)(2)设数列an的前n项和为Sn.因为d0，由(1)得d1，ann11.Snn2n， (8分)当n11时，|a1|a2|a3|an|Snn2n. (10分)当n12时，|a1|a2|a3|an|Sn2S11n2n110. (12分)综上所述，|a1|a2|a3|an|反思感悟 (1)本题求解用了分类讨论思想，求数列|an|的和时，因为an有正有负，所以应分两类分别求和(2)常出现的错误：当n11时，求|an|的和，有的学生认为就是S11110；当n12时，求|an|的和，有的学生不能转化为2(a1a2a11)(a1a2an)，导致出错答题模板 求数列|an|的前n项和一般步骤如下：第一步：求数列an的前n项和；第二步：令an0(或an0)确定分类标准；第三步：分两类分别求前n项和；第四步：用分段函数形式下结论；第五步：反思回顾：查看|an|的前n项和与an的前n项和的关系，以防求错结果【自主体验】已知等差数列an前三项的和为3，前三项的积为8.(1)求等差数列an的通项公式；(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列|an|的前n项和解 (1)设等差数列an的公差为d，则a2a1d，a3a12d，由题意，得解得或所
