质量惯矩(即转动惯量)的计算

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1、工程应用一：桥梁结构动力分析中质量惯性矩的定义及计算 EngApp-001，20090312，SWJTU 1 桥梁结构动力分析中质量惯性矩的定义及计算 桥梁结构动力分析中质量惯性矩的定义及计算 赵凯 李永乐 （西南交通大学桥梁工程系，四川成都，610031，lele ） 1. 概 念 1.1 定义 质量惯性矩（或称质量惯矩，转动惯量）是刚体动力学里的一个重要概念， 与质量具有同等重要的地位。质量惯性矩为空间中质量关于距离的二次矩。 对于离散质点系，它对空间任意一条直线 z 的质量惯矩表示为： 2 1 n zi i i Jmr = = 式中，mi是第 i 个质量块质量，ri表示第 i 个质量块到

2、直线 z 的距离。 对于连续体，则需用积分表示： 2 z Jr dm= 1.2 几何意义 由定义表达式可见，质量惯矩的大小不仅与质量大小有关，而且与质量的分 布情况有关。在国际单位制中单位为 kgm2。质量惯矩越大，则表示质量分布离 z 轴越远。若设想刚体的质量集中于离 z 轴距离为 z处，令 2 zz Jm=，则 z z J m = 称之为对 z 轴的回转半径。显然，它代表质量分布到 z 轴距离的一种“平均” 。 物体的质量惯矩等于该物体的质量与回转半径平方的乘积。 1.3 物理意义 理论力学中有关于刚体运动的两个重要定理，分别是 动量定理： 2 2 d y mF dt = 动量矩定理： 2

3、 2 ( ) zz d JMF dt = 这两个定理分别描述刚体曲线运动和绕定轴的转动运动规律。动量定理表示 质量为物体运动惯性的一种度量。类似地，由动量矩定理可见，力矩大，转动角 加速度大；如力矩相同，刚体质量惯矩大，则角加速度小，反之，角加速度大。 李永乐西南交通大学桥梁工程系，四川成都（610031） EngApp-001，20090312，SWJTU 2 可见，质量惯性矩的大小表现了物体转动状态改变的难易程度，即：质量惯矩是 转动惯性的度量 质量惯矩是 转动惯性的度量。 若将转动与位移类比， 力矩与力类比， 则转动惯矩对应于质量。 1.4 质量惯性矩 VS 截面极惯性矩 截面极惯性矩表

4、示平面上面积区域关于距离的二次矩，表示为： 2 piXY Ir dAII=+ 材料力学推导了悬臂梁的扭转公式， p Tl GI = 因此，极惯性矩是截面抗扭能力的一种度量，代表转动刚度，而质量惯性矩 代表了转动惯性。前一个属静力学范畴，后一个主要应用于动力学。 2. 桥梁结构动力学中的应用 结构动力学分析中常常采用集中质量法， 假定全部质量聚集在计算平动位移 的点上，如图所示。结构运动微分方程一般表示为如下形式： 2 (2)( )m yyyF t+=& 对于图示结构，假如各质量点均不会发生绕自身的面外转动（扭转） ，或者 没有质量惯性矩，则质量矩阵中仅包含集中质量，位移矩阵也没有面外转动项。

5、因为质量惯性矩是扭转振动的一个重要特征参数，没有质量惯矩，动力特性分析 将得不到扭转振型。但是，工程结构如桥梁的动力计算考虑扭转常常是必须的。 这时候就应该计算质量惯矩以计入扭转振型。扭转振动方程为： ()( )tMJ =+ 2 2& & 又因为质量惯矩的计算取决于质量分布，截面特性不能反映此信息，所以必 须单独指定梁的质量惯矩。采用有限元建模，常常采用添加质量点方法（如 ANSYS中mass21单元，MSC.MARC中的point mass，Midas中的节点质量等） 。 质量点可以设置在单元节点位置，实际建模中先计算主梁单位长度（每延米）质 量惯矩，再根据单元长度确定质量点对应的质量惯矩。

6、ANSYS分析中质量矩阵 形式的选择应特别小心，当采用一致质量矩阵时，ANSYS会自动计算质量惯矩， 该计算结果对于桥梁来说一般是不合适的，因此建议ANSYS分析中采用集中质 量矩阵，通过添加质量点的方法考虑质量惯矩。此外需注意的是，上述添加质量 点的方法主要应用于单主梁模拟，对于多主梁模型的情况应特别小心，可能需要 仔细的力学行为分析。以下例子都是基于单主梁模型的。 工程应用一：桥梁结构动力分析中质量惯性矩的定义及计算 EngApp-001，20090312，SWJTU 3 3. 计算方法 3.1 简单形状物体的转动惯量计算 （1） 双质量球 22 2(0.5 )0.5 z Jmlml= （

7、2）均质细杆： 3 /2 22 /2 1 () 1212 l zll l l Jdx xml = （3）任意均质多边形 22 zp Jr dmr dAI= 3.2 平行移轴公式 刚体对于任一轴的质量惯性矩，等于刚体对于通过质心、并与该轴平行的轴 的质量惯性矩，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积，即 2 zzc JJmd=+ 3.3 桥梁结构主梁质量惯矩的计算 质量惯矩计算主要考虑主梁，以及公路桥面铺装、铁路轨道、道砟、防撞护 栏、路灯、接触网设备、检修轨道等二期恒载，更详细的计算尚应考虑横隔板。 下面给出每延米质量惯矩（单位kgm）的计算方法。 （1）主梁 1p JI= 主梁材料密度(kg/

8、m3)； IP主梁净截面的极惯性矩(m4)，当主梁截面采用相同材料时IP=IX+IY 。 （2）公路桥面铺装层 假定铺装层为一狭长矩形截面（亦可分多块分别计算） ，竖向抗弯惯矩很小， 忽略不计，运用移轴定理（分多块计算时需水平和竖向两个方向的移轴） ，则 32 2 1 12 JhbAd =+ 铺装层材料密度(kg/m3)； CB A l x dx x z z mm l z 李永乐西南交通大学桥梁工程系，四川成都（610031） EngApp-001，20090312，SWJTU 4 b桥面宽(m)； h铺装层厚度(m)； A铺装层断面面积(m2)； d桥面中央距主梁质心距离(m)。 （3）铁路

9、道砟桥面 有详细资料时，按 2 3 1 n i i i Jmr = =计算，其中mi，ri分别为第i条线路每延米质 量和距桥面中心的距离。若仅知道总的线路每延米荷载，可假定道砟和轨道质量 沿横向均匀分布，按照下式估算： 2 3 12 pb J g = p总的线路每延米荷载(N/m)； b道砟宽度(m)。 （4）其它二期恒载 2 4i i Jmr= mi每延米质量(kg/m)。注意对于路灯等附属设施在长度方向上不连续，计 算时要区分； ri距主梁质心的距离(m)。 （5）横隔板 横隔板上分布有大量加劲肋，用钢梁大，准确计算其影响比较复杂，一种估 算方法是，假定这些钢材质量沿横隔板面积均匀分布，则有 5 p mnI J AL = m标准横隔板质量(m)； n全桥横隔板数量； A标准横隔板面积(m2)； L桥梁长度(m)； 主梁总的每延米质量惯矩是上述各项之和： i JJ= 上述计算方法可根据实际情况灵活运用，主梁、桥面铺装、二期恒载的贡献 在总质量惯性矩中比例随具体桥梁的不同而有所变化，一般都应计算。对于横隔 板、路灯等，当体量较小时计算中可忽略，这将导致质量惯性矩总体上略偏小， 从而使扭转频率会略有增大， 但增大量较有限。 当主梁采用不同材料 （如结合梁） 或采用复杂空间组合形式（如桁架、桁架箱梁组合截面、多层桥面）时质量惯 矩的计算需特别小心。