《2020届高考数学高频热点考点梳理复习题9》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020届高考数学高频热点考点梳理复习题9（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 第4讲 直线与圆的位置关系知识梳理1.判断直线与圆的位置关系有两种方法：几何法：通过圆心到直线的距离与半径的大小比较来判断，设圆心到直线的距离为，圆半径为，若直线与圆相离，则；若直线与圆相切，则；若直线与圆相交，则 代数法：通过直线与圆的方程联立的方程组的解的个数来判断，即通过判别式来判断，若，则直线与圆相离；若，则直线与圆相切；若，则直线与圆相交2.两圆的的位置关系 (1)设两圆半径分别为，圆心距为d 若两圆相外离，则 ，公切线条数为4 若两圆相外切,则，公切线条数为3 若两圆相交，则，公切线条数为2若两圆内切，则，公切线条数为1若两圆内含，则，公切线条数为0(2) 设两圆，若两圆相交，则
2、两圆的公共弦所在的直线方程是3. 相切问题的解法：利用圆心到切线的距离等于半径列方程求解利用圆心、切点连线的斜率与切线的斜率的乘积为-1利用直线与圆的方程联立的方程组的解只有一个，即来求解。特殊地,已知切点,圆的切线方程为,圆的切线方程为4.圆系方程以点为圆心的圆系方程为过圆和直线的交点的圆系方程为 过两圆，的交点的圆系方程为（不表示圆）重难点突破重点:根据给定的方程判定直线与圆、圆与圆的位置关系； 利用直线和圆、圆与圆的位置关系的充要条件解决一些简单的问题；难点:借助数形结合,利用圆的几何性质,将题目所给条件转化为圆心到直线的距离、两圆的连心线或半径的和与差重难点:将方程的理论与圆的几何性质
3、相结合,并加以运用1、把握直线与圆的位置关系的三种常见题型：相切求切线相交求距离相离求圆上动点到直线距离的最大（小）值；问题1：直线与圆相切，则实数等于 【解析】圆心为，半径为，或2、解决直线与圆的位置关系问题用到的思想方法有：数形结合，善于观察图形，充分运用平面几何知识，寻找解题途径等价转化，如把切线长的最值问题转化为圆外的点到圆心的距离问题，把公切线的条数问题转化为两圆的位置关系问题，把弦长问题转化为弦心距问题等待定系数法，还要合理运用“设而不求”，简化运算过程3、圆与圆的位置关系转化为圆心距与两圆半径之和或半径之差的关系公共弦满足的条件是：连心线垂直平分公共弦热点考点题型探析考点1 直线
4、与圆的位置关系 题型1: 判断直线与圆的位置关系例1 （2005北京海淀）设m0，则直线（x+y）+1+m=0与圆x2+y2=m的位置关系为A.相切 B.相交C.相切或相离 D.相交或相切解析圆心到直线的距离为d=，圆半径为.dr=（m2+1）=（1）20，直线与圆的位置关系是相切或相离.所以选C【名师指引】判断直线与圆的位置关系的两种方法(代数法、几何法)中，几何法更简便题型2:求解圆的切线、弦长问题 例2 已知圆,是轴上的动点,、分别切圆于两点(1)若点的坐标为（1，0），求切线、的方程(2)求四边形的面积的最小值(3)若，求直线的方程【解题思路】(2)用一个变量表示四边形的面积(3)从图
5、形中观察点满足的条件解析：（1）设过点的圆的切线方程为，则圆心到切线的距离为1，或0，切线、的方程分别为和（2），（3）设与交于点，则，在中，即设，则直线的方程为或【名师指引】转化是本题的关键，如：第2问把切线长转化为圆外一点到圆心的距离；第3问把弦长转化为圆心到弦所在直线的距离，再利用射影定理转化为圆外一点到圆心的距离。弦长、切线长问题经常要这种转化例3 已知圆C：（x1）2（y2）225，直线l：（2m+1）x+（m+1）y7m4（mR）.（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程. 解析（1）解法1：l的方程（x+y4）+m（2x+y7
6、）=0.mR，得 2x+y7=0， x=3，x+y4=0， y=1，即l恒过定点A（3，1）.圆心C（1，2），AC5（半径），点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点.解法2：圆心到直线的距离，所以直线l恒与圆C相交于两点（2）弦长最小时，lAC，由kAC，l的方程为2xy5=0.【名师指引】明确几点：（1）动直线斜率不定，可能经过某定点（2）直线与圆恒有公共点直线经过的定点在圆内，此结论可推广到圆锥曲线（3）过圆内一点，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦题型3: 圆上的点到直线的距离问题 例4 已知圆和直线，（1）若圆上有且只有4个点到直线l的的距离等于1，求半径的取值范围；（2）
7、若圆上有且只有3个点到直线l的的距离等于1，求半径的取值范围；（3）若圆上有且只有2个点到直线l的的距离等于1，求半径的取值范围；【解题思路】解法1采用转化为直线与圆的交点个数来解决；解法2从劣弧的点到直线l的最大距离作为观察点入手解法1：与直线平行且距离为1的直线为和，圆心到直线的的距离为,圆心到直线的的距离为,（1）圆上有且只有4个点到直线l的的距离等于1（2）圆上有且只有3个点到直线l的的距离等于1（3）圆上有且只有2个点到直线l的的距离等于1解法2：设圆心到直线l的距离为，则（1）圆上有且只有4个点到直线l的的距离等于1，（2）圆上有且只有3个点到直线l的的距离等于1，（3）圆上有且只
8、有2个点到直线l的的距离等于1【名师指引】将圆上到直线l的距离等于1的点的个数转化为两条直线与圆的交点个数,是一种简明的处理方法，对解决这类问题特别有效【新题导练】1. (山东省威海市 2008年普通高中毕业年级教学质量检测)在下列直线中，是圆的切线的是（ ）Ax=0By=0Cx=yDx=y解析B. 圆心为，半径为1，切线为y=02. (08山东省临沂市期中考)的位置关系是（ ）A相离 B相切 C相交 D不能确定解析A. 圆心到直线的距离为,直线与圆相离3. 已知直线与圆，则上各点到的距离的最大值与最小值之差为_解析: 距离的最大值与最小值之差为4、(山东省德州市2008届高中三年级教学质量检
9、测)已知向量若与的夹角为，则直线与圆的位置关系是D A相交但不过圆心 B相交过圆心 C相切 D相离解析D. ，圆心到直线的距离为，故直线与圆相离5. (广东省普宁市华侨中学2009届高三第三次练兵考试)直线被圆截得的弦长为_。【解析】. 直线为，圆心到直线的距离，弦长的一半为，得弦长为 6.(2008届广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校联考)若函数的图像在处的切线l与圆相离，则点与圆的位置关系是（）A在圆外 B在圆内 C在圆上 D不能确定解析B. ，切线l的方程为即，圆心到切线l的距离为，点在圆内7.已知圆M：（xcosq）2（ysinq）21，直线l：ykx，下面四个命题：对任意
10、实数k与q，直线l和圆M相切；对任意实数k与q，直线l和圆M有公共点；对任意实数q，必存在实数k，使得直线l与和圆M相切对任意实数k，必存在实数q，使得直线l与和圆M相切其中真命题的代号是_（写出所有真命题的代号）解析 圆心坐标为（cosq，sinq）d 8. 已知M（x0，y0）是圆x2+y2=r2（r0）内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y=r2与此圆有何种位置关系?解析:圆心O（0，0）到直线x0x+y0y=r2的距离为d=.P（x0，y0）在圆内，r，故直线和圆相离.9. 已知圆和点,若点在圆上且的面积为,则满足条件的点的个数是A.1 B.2 C.3 D.4解析: 3由的面积为知,点
11、到直线的距离为1, 直线的方程为,与直线平行且距离为1的直线为和，圆心到直线的的距离为,圆心到直线的的距离为,所以圆与直线相切与直线相交, 满足条件的点的个数是310自点A（3，3）发出的光线射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆x2y24x4y70相切，求光线所在直线的方程. 解析：圆（x2）2（y2）21关于x轴的对称方程是（x2）2（y2）21.设l方程为y3k（x3），由于对称圆心（2，2）到l距离为圆的半径1，从而可得k1，k2故所求l的方程是3x4y30或4x3y30.考点2 圆与圆的位置关系 题型:利用圆与圆位置关系的充要条件, 判断两圆的位置关系或求圆的方程例4 求与
12、圆外切于点，且半径为的圆的方程解析：设所求圆的圆心为，则解得：，所求圆的方程为解法2：设所求圆的圆心为，由条件知，所求圆的方程为【名师指引】（1）本题采用待定系数法求圆心的坐标，步骤是：寻找圆心满足的条件；列出方程组求解（2）解法2利用向量沟通两个圆心的位置关系，既有共线关系又有长度关系，显得更简洁明快，值得借鉴。【新题导练】11.已知两圆相交于两点,两圆圆心都在直线上,则的值是( )A-1 B2 C3 D0解析:3两点关于直线对称, 线段的中点(3,1)在直线上,12. 若圆始终平分圆的周长,则实数应满足的关系是( )A B C D解析B公共弦所在的直线方程为圆始终平分圆的周长圆的圆心在直线
13、上即13. 在平面内,与点距离为1, 与点距离为2的直线共有( )条 A.1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条解析：B 直线与点距离为1，所以直线是以A为圆心1为半径的圆的切线，同理直线也是以B为圆心2为半径的圆的切线，即两圆的公切线，两圆相交，公切线有2条考点3 与圆有关的轨迹问题 例5 已知点P是圆x2+y2=4上一动点，定点Q（4，0）.（1）求线段PQ中点的轨迹方程；（2）设POQ的平分线交PQ于R，求R点的轨迹方程.解析（1）设PQ中点M（x，y），则P（2x4，2y），代入圆的方程得（x2）2+y2=1.（2）设R（x，y），由=，设P（m，n），则有m=，n=，代入x2+y2=4中，得（x）2+y2=（y0）.【名师指引】（1）本题用了相关点转移法求轨迹，该法的核心是找到未知与已知动点之间的坐标关系（2）处理“角平分线”问题，一般有以下途径：转化为对称问题利用角平分线性质，转化为比例关系利用夹角相等【新题导练】14.由动点向圆引两条切线,切点分别为,则动点的轨迹方程为 解析 在中, ,动点的轨迹是以原点为圆心,2为半径的圆,方程为15. 过圆内一点作一弦交圆于两点,过点分别作圆的切线,两切线交于点,则点
