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1、第1章 拉普拉斯变换的数学方法复习思考题1. 拉氏变换的线性性质、微分定理、积分定理、时域的位移定理、复域位移定理、初值定理、终值定理、卷积定理是什么？如何应用？解答：（1）线性性质：若有常数K1，K2，函数f1(t)，f2(t)，且Lf1(t)=F1(s)，Lf2(t)=F2(s)，则（2）微分定理：若f(t)的拉氏变换为F(s)，则f(0)为t=0时的f(t)值。此定理需考虑在t0处是否有断点。如果在t0处有断点，f(0)f(0)，则该定理需修改成f(0)为由正向使t0时的f(t)值；f(0)为由负向使t0时的f(t)值；进而可推出f(t)的各阶导数的拉氏变换：式中f (i)(0)（0in
2、）表示f(t)的i阶导数在t=0时的取值。如果在t0处有断点，f(0)f(0)，则该定理需修改成式中f (i)(0)（0in）表示f(t)的i阶导数在t从正向趋近于零时的取值。f (i)(0)（0in）表示f(t)的i阶导数在t从负向趋近于零时的取值当初始条件均为零时，即则有（3）积分定理若f(t)的拉氏变换为F(s)，则是对不定积分的拉普拉斯变换。式中，是在t = 0时的值。如果f(t)在t0处包含一个脉冲函数，则，此时，必须将上述定理修正如下：式中，是在t = 0时的值；，是在t = 0时的值。对于定积分的拉普拉斯变换，如果f(t)是指数级的，则上述定理修改如下：如果f(t)在t0处包含一
3、个脉冲函数，则，此时依此类推如果，该定理也要修正成（4）时域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s)，对任一正实数a，有f(ta)为延迟时间a的函数f(t)，当ta时，f(t)0。（5）复域位移定理f(t)的拉氏变换为F(s)。对任一常数a（实数或复数），有（6）初值定理若函数f(t)及其一阶导数都是可拉氏变换的，则函数f(t)的初值为即原函数f(t)在自变量t趋于零（从正向趋于零）时的极限值，取决于其象函数F(s)的自变量s趋于无穷大时sF(s)的极限值。（7）终值定理若函数f(t)及其一阶导数都是可拉氏变换的，并且除在原点处唯一的极点外，sF(s)在包含j轴的右半s平面内是解析的（这意味着
4、当t时f(t)趋于一个确定的值），则函数f(t)的的终值为（8）卷积定理若，则有式中，积分，称作f(t)和g(t)的卷积。2. 用部分分式法求拉氏反变换的方法。解答：（1）F(s)无重极点的情况F(s)总是能展开为下面简单的部分分式之和：式中K1、K2、Kn为待定系数（系数Ki为常数，称作极点spi上的留数）。式中pi为A(s)0的根，。求得各系数后，则F(s)可用部分分式表示因从而可求得F(s)的原函数为当F(s)的某极点等于零，或为共轭复数时，同样可用上述方法。注意，由于f(t)是个实函数。若p1和p2是一对共轭复数极点，那么相应的系数K1和K2也是共轭复数，只要求出K1或K2中的一个值，
5、另一值即可得。（2）F(s)有重极点的情况假设F(s)有r个重极点p1，其余极点均不相同，则式中K11、K12、K1r的求法如下：其余系数Kr1、K r2、Kn的求法与第一种情况所述的方法相同，即求得所有的待定系数后，F(s)的反变换为3. 用拉氏变换求解微分方程的步骤。解答：用拉氏变换解线性常微分方程，首先通过拉氏变换将常微分方程化为象函数的代数方程，进而解出象函数，最后由拉氏反变换求得常微分方程的解。习 题（1）解：利用拉氏变化的线性叠加特性（2）解法1：利用cos10t的拉氏变换结果和复数域位移定理解法2：直接按定义并与cost的拉氏变换进行比较解法3：直接按定义求解解法4：直接套用教材
6、表2-1中第14项结果（3）（用和角公式展开）解法1：利用和角公式展开，然后利用拉氏变换的线性叠加性所以解法2：直接利用定义求解，令，则有（1）而（2）（3）将（3）式和（2）式代入（1）得【注】本题不可直接利用延时定理，因为函数不是延时函数，如果使用了延时定理，则将改变定义域。（4）解法1：，利用复域平移特性得解法2： 利用复域微分特性得解法3：直接按定义并与tn的拉氏变换进行比较解法4：直接按定义求解得到递推关系如下：所以解法5：直接套用教材表2-1中第9项结果（1）解：设t0时，f(t)0利用拉氏变换的线性特性（2）解：利用拉氏变换的性质：线性性质，复域平移特性（3）解：设t0时，f(t
7、)0。利用拉氏变换线性特性、延时特性和复域平移特性【注】本题不可对第二项(t1)2e2t采用如下方法：因为，利用时域位移定理得，再利用复域平移定理得。这样计算的结果是错误的，原因在于：在利用时域位移定理时，将(t1)2的定义域变成了，而原题中(t1)2的定义域为。换句话说，这里(t1)2并不是t2的延时函数。（4）解法1：，如图2-2所示。所以 2 3 4 56-1-0.500.51tf(t)图题2-2sin(t)sin(t)1(t)解法2：直接按定义求解。解：（1）（2）根据部分分式法得所以所以所以，与（1）中计算结果相同。【注】本题求拉氏反变换时，可以利用教材表2-1中的第10项。、解：（
8、1）根据拉氏变换的微分特性得知f (t)的拉氏变换为则再次利用初值定理得（2）则结果与（1）中计算的一致。解：（a）解法1：设，则（见图2-5-1(a)）由此得解法2：令根据拉氏变换的积分特性得解法3：直接利用拉氏变换定义则（b）解法1：设，则由图2-5-1(b)可知所以解法2：令根据拉氏变换的积分特性得解法3：直接利用拉氏变换定义则（c）解法1：利用拉氏变换的积分特性。由图可见根据拉氏变换的积分特性得图题5-2-1f1(t)f1(t2)101(t2)f1(t)f1(t1)21(t3)f1(t3)1(t1)（1）解法1：利用部分分式法。先将F(s)展开成部分分式因为两个极点共轭，所以K2与K1
9、共轭，即即所以解法2：查表法利用拉氏变换对照表查得（2）解法1：利用部分分式法。先将F(s)展开成部分分式令即所以根据拉氏变换线性特性得解法2：利用拉氏变换复域平移定理及线性性质得（3）解：利用部分分式法。先将F(s)展开成部分分式即所以（4）解：利用部分分式法。先将F(s)展开成部分分式即（5）解：利用部分分式法。先将F(s)展开成部分分式即则（6）解：利用拉氏变换的实数域位移定理（延时定理）得（7）解：将F(s)展开成部分分式即所以2-1 求下列卷积（1） 1*1解：因为，利用拉氏变换的卷积定理得对上式进行拉普拉斯逆变换得（2） t*t解：因为，利用拉氏变换的卷积定理得对上式进行拉普拉斯逆
10、变换得（3） t*et解：因为，利用拉氏变换的卷积定理得对上式进行拉普拉斯逆变换（可查表）得（4） t*sint解：因为，利用拉氏变换的卷积定理得对上式进行拉普拉斯逆变换得2-2 用拉氏变换的方法解下列微分方程（1）解：对微分方程等号两边同时求拉氏变换得将初始条件代入上式并整理得解得对X(s)求拉普拉斯逆变换得到（2）解：对微分方程等号两边同时求拉氏变换得将初始条件代入上式并整理得解得对X(s)求拉普拉斯逆变换（查表）得到101第2章 系统的数学模型习 题3-1 列出图题31所示各种机械系统的运动微分方程式(图中未注明x(t)均为输入位移，y(t)为输出位移)解：（a）对y(t)点利用牛顿第二
11、定律得即（b）对m利用牛顿第二定律得整理得（c）对y(t)点利用牛顿第二定律得整理得（d）对图(d)所示系统，由牛顿定律有其中（e）对m利用牛顿第二定律得整理得3-2 列出图题32所示系统的运动微分方程式，并求输入轴上的等效转动惯量J和等效阻尼系数B。图中T1、1为输入转矩及转角，TL为输出转矩。解：对J1列写平衡方程得（1）（2）（3）（4）式中T2为J1的输出转矩，T3为J2的输入转矩，2为J2的转角。将（3）、（4）式代入（2）式，求得T2，再将求得的T2代入（1）式得输入轴上的等效转动惯量J为输入轴上的等效阻尼系数B为3-3 求图题33所示各电气网络输入和输出量间关系的微分方程式，图中
12、ui为输入电压，uo为输出电压。解：（a）方法1：设流过LC回路的电流为i，利用基尔霍夫电压定律得 （1） （2）对（2）式求导得 （3）（3）式代入（1）得方法2：设流过LC回路的电流为iL，利用基尔霍夫电流定律得iL=iC即对上式求导，并整理得（b）方法1：设流过L的电流为i，利用基尔霍夫电压定律得消除中间变量i（过程同(a)）得方法2：设流过L的电流为i，流过C1、C2的电流分别为i1和i2，利用基尔霍夫电流定律得i = i1 + i2即对上式求导，并整理得（c）方法1：设流过R1的电流为i1，流过C1的电流为i2，利用基尔霍夫电压定律得 （1） （2） （3）由（1）得 （4）（4）代
13、入（2）并后求导得 （5）（5）、（4）代入（3）后，求导，再整理得方法2：设流过R1的电流为i1，流过C1的电流为i2，流过R2、C2的电流为i，电阻C2上的电压为uC2，利用基尔霍夫电流定律得i = i1 + i2即（1） （2）由式（2）得 （3）将式（3）及其一阶导数代入（2），并整理得（d）解法1：设流过回路的电流为i，利用基尔霍夫电压定律得 （1） （2）（1）C1（2）C2得 （3）对（2）求导得 （4）（3）代入（4）并整理得或解法2：利用基尔霍夫电流定律，过程略。3-4 列出图题34所示机械系统的作用力f(t)与位移x(t)之间关系的微分方程。解：设杠杆转角为，对m使用牛顿第二定律得整理得3-5 如图题35所示的系统，当外力f(t)作用于系统时，m1和m2
