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1、数学实验报告实验名称MATLAB在研究物体振动方面的应用 学 院 专业班级 姓名 学号 2015年 1月14一、 【实验目的】 物体振动这样一个看似简单但又包含着很多复杂计算的运动中，在人为的计算时是很难精确的实现，而通过MATLAB可以处理诸多科学中的许多问题，利用它来研究物理学中的机械振动，不仅特别方便还非常有效。二、 【实验任务】本列举振动的一些实例，用matlab语言编制计算机程序进行仿真以达到研究简谐振动以及振动的合成，振动的计算以及受迫振动。三、 【实验程序】（一）简谐振动介绍最简单和最基本的振动是简谐振动任何复杂的振动，都可以看成为许多简谐振动的合成1特点质点作简谐振动的条件是：
2、在任何时候所受到的力与质点离开平衡位置的位移成正比，其指向与位移相反，始终指向平衡位置所受的力与位移的关系表示为（1）式中为正的常数对于弹簧振子，就是弹簧劲度系数2运动的微分方程及其解根据牛顿第二定律，作简谐振动的质点的微分方程写成即（2）式中。如下面的（3）和（4）所示，是简谐振动的圆频率。微分方程（2）的解是（3）或（4）式（7.3）也可以表为复数形式（5）但要约定取其实数部分利用三角公式，很容易导出A，和B，C之间的关系即（6）3速度和加速度作简谐振动的质点，它的速度和加速度很容易得到只要将（7.3）对时间分别求导一次和求导两次即可，（7）（8）式（1）、（2）、（3）、（4）、（5）都
3、是判别一个系统是否作简道振动的依椐4圆频率、周期和频率之间的关系，（9），三者不是独立的，只要知道其中一个，就可以由（7.9）求出其余两个。它们是由振动系统的固有性质决定，常称为固有圆频率，固有周期和固有频率5振幅和初周相（3）中和是两个积分常数，可由初始条件决定将初始条件：“，”代入（3）和（7），得（10）解得（11）求解质点作简谐振动的具体运动情况，也就是要确定（7.3）中的，三个值其中和由初始条件决定，因此一般来说，首先必须确定初始值和，而根据（7.10）或（7.11）求出和值至于（或或），它是由系统固有性质决定的，与初始情况无关例如对于弹簧振子，完全由弹簧劲度系数和物体质量所决定弹簧
4、的大（即所谓硬的弹簧），振动的圆频率也就大。而物体的质量m大，就小6简谐振动系统的能量作简谐振动的质点动能为（12）振动系统弹性势能为（13）因此系统总机械能为（14）系统的动能和势能各随时间作周期性变化，在振动过程中动能和势能互相转换，而总机械能保持不变这是简谐振动的一个特性总机械能E与振动的振幅平方A2，振动的圆频率平方成正比动能和势能在一个周期内对时间的平均值分别是（15）注意和在一周期内对时间的平均值均等于12这样，（16）7.振动的合成一个质点同时参与两个振动方向相同、频率相同的简谐振动，合振动仍为简谐振动（17）利用振幅矢量图示法容易求得（18）二个振动方向相同、频率略有差异的简谐
5、振动，其合振动不为简谐振动，产生“拍”现象拍频为（，为两分振动频率）（19）二个振动方向互相垂直的简谐振动合成：（1）若二振动频率相同，合振动轨迹一般为一椭圆.（2）若二振动频率成整数比，合振动轨迹为规则的稳定的闭合曲线，称利萨如图但若不成整数比，轨迹为不闭合的复杂曲线.（二）实际运用例1.关于物体振动的计算的应用质量为1kg的物体，以振动1x10-4m作简谐运动，其最大加速度为4.0m/s.求：（1）震动的周期；（2）通过平衡位置时的动能；（3）总能量；（4）物体在何处其动能和势能相等； 通过平衡位置时的速度最大，所以得： 当时，可得x的位置即： 程序如下：m=1; %m为物体的质量amax
6、=4.0; %amax为最大加速度A=1.0*10-4; %A为振幅W=sqrt(amax/A); %求角速度T=2*pi/W; %求周期Ekmax=1/2*m*W*W*A*A; %求最大动能E=Ekmax; %求总能量Ep=1/2*E; %求势能x=sqrt(2*Ep/m/W/W); %求动能和势能相等时的位移例2 振动图以质量为0.01kg的物体作简谐运动，其振幅为0.08m，周期为4s，起始时刻物体在x=0.04m处，向OX轴负方向运动，试求：画出此时刻的0到8的振动图形。 解: A=0.08m T=4s T=0时，x=0.04； 得 0.04=0.08cosy 程序： t=0:pi/2
7、00:8*pi;x=0.08*cos(pi/2*t+pi/3);plot(t,x,rp)legend(x=0.08*cos(pi/2*t+pi/3)结果如下图： 例3：阻尼振动有一单摆在空气（室温为20）中来回摆动，其摆线长s=1.0m，摆锤是一半径r=的铅球，求：（1）摆动周期；（2）振幅减小10%所需的时间；（已知铅球密度为，20时空气的粘滞阻力） 解：粘滞阻力为： 得:C=6rn 阻尼系数 有阻尼的情况下，单摆的振幅： （ 得： 程序如下：g=input(输入g的值); %g为重力加速度其值为l=input(输入l的值); %l为摆线长p=input(输入p的值); %p为铅球密度n=i
8、nput(输入n的值); %20时空气的粘滞阻力r=input(输入r的值); %r为小球的半径W=sqrt(g/l); %求角速度C=6*pi*r*n; %由粘滞阻力Fr=-6 rnv=-Crm=4/3*pi*r3*p; %求小球的质量k=C/2/m; %求阻尼系数T=2*pi/W; %求单摆周期t1=log(1/0.9)/k; %振幅减小10%所需的时间Tt1输入g的值0.98输入l的值1.0输入p的值2.65*10-3输入n的值1.78*10-5输入r的值5.0*10-3例4：相互垂直的简谐振动的合成 程序：t=1:0.001:15a1=input(振幅1=);w1=input(频率1=
9、);phi1=input(初相位1=);a2=input(振幅2=);w2=input(频率2=);phi2=input(初相位2=);x=a1*cos(w1*t+phi1);y=a2*cos(w2*t+phi2);subplot(2,2,1),plot(t,x),title(x轴上谐振1)subplot(2,2,4),plot(y,t),title(y轴上谐振2)subplot(2,2,3),comet(x,y),ylabel(y),xlabel(x),title(李萨如图形) 振幅1=10频率1=2初相位1=pi振幅2=10频率2=4相位2=10 例5：关于平面简谐波和简谐振动一余弦波在弦
10、上传播，其波函数为式中和的单位为，t的单位为1、试求其振幅、波长、频率、周期和波速。2、分别画出对应和俩时刻弦上的波形图。解：由已知的波函数求波动的特征量，我们一般采用比较系数法，由 上式说明此简谐波向正方向传播，将它与波函数的标准形式相比较得：,程序：x=-0.25:0.001:0.25; %设定x的取值范围for i=0:2 %用循环语句令i分别取0,1,2 t=0.0025*i;y=0.002*cos(pi*5*x-200*pi*t); %此为时刻t的波函数 if i=0; %用选择语句分别用不同的颜色线型画不同时刻的波形图plot(x,y,k-) %用黑色实线画t=0时刻的波形图 hold on %保存图形的命令，否则后一幅图会覆盖前一幅 grid on %绘制网格else if i=1;plot(x,y,r-) %用红色虚线画t=0.0025时刻的波形图else if i=2;plot(x,y,b-.) %用蓝色虚点线画t=0.005时刻的波形图 end %结束if语句 end endend %结束for语句四【实验结果】1.物体振动计算2.振动图3.阻尼振动4.李萨如图像
