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1、 圆锥曲线题型1 曲线方程1定义法 （1）(2011年高考广东卷第19题（理）) 设圆C与两圆中的一个内切，另一个外切。求圆C的圆心轨迹L的方程;解：（1）两圆半径都为2，设圆C的半径为R，两圆心为、，由题意得或，可知圆心C的轨迹是以为焦点的双曲线，设方程为，则，所以轨迹L的方程为2待定系数法（2） 已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过作长轴的垂线恰好经过椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程3 方程法（3）(2011年高考广东卷第21小题（理）)在平面直角坐标系中，直线轴于点，设是上一点，是线段的垂直平分线上的一点，且满足当点在上与动时，求点的轨迹的方程；解：（1）如图1，
2、设MQ为线段OP的垂直平分线，交OP于点Q，因此即另一种情况，见图2（即点M和A位于直线OP的同侧）。MQ为线段OP的垂直平分线， 又因此M在轴上，此时，记M的坐标为为分析的变化范围，设为上任意点由 （即）得， 故的轨迹方程为综合和得，点M轨迹E的方程为 二 离心率1 找等量关系，求出1若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等级差数列，则该椭圆的离心率是（ ）A B C D 2 已知椭圆短轴上两个顶点分别为，焦点为，若四边形是正方形，则这个椭圆的离心率等于（ ）A B C D 2 利用椭圆焦点三角形面积3 若椭圆（）上存在点，使得，则椭圆离心率的取值范围是（ ）3 利用双曲线焦半径最小值4
3、已知双曲线（）的左、右焦点分别为若双曲线存在点使，则双曲线的离心率的取值范围是-三 焦点三角形（边长与周长，角度与面积）方法：余弦定理，基本不等式，1（2013内蒙古高三摸底考试）设双曲线的两个焦点为，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ）A B C D 2（06年四川）如图把椭圆的长轴分成8等分，过每个点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点。是椭圆的一个焦点，则3（2000全国）椭圆的焦点为，点为其上的动点，当为钝角时，点横坐标的取值范围是4 是椭圆上的点，是椭圆的焦点，若，则的面积等于四 双曲线的渐近线1 （2013福建省三明市高中毕业班质检）过双曲线（）的左焦点F作圆O：的两条切线，切点
4、为A，B，双曲线左顶点为C，若，则双曲线的渐近线方程为2已知双曲线的两条渐近线与以椭圆的左焦点为圆心、为半径的圆相切，则渐近线方程为五 直线与圆锥曲线（1） 直线斜率问题 1 是椭圆的左右顶点，动点在椭圆上，直线的斜率范围为，求直线的范围2 （2010山东理）如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于项点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为A、B和C、D. （）求椭圆和双曲线的标准方程； （）设直线、的斜率分别为、，证明：； （）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.本小题主要
5、考查椭圆、双曲线的基本概念和基本性质，考查直线和椭圆的位置关系，考查坐标第、定值和存在性问题，考查数形结合思想和探求问题的能力。解：（）设椭圆的半焦距为，由题意知所以又，因此故椭圆的标准方程为由题意设等轴双曲线的标准方程为，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以因此双曲线的标准方程为 （）设则因为点P在双曲线上，所以因此即 （）由于PF1的方程为，将其代入椭圆方程得由违达定理得所以同理可得则又所以故因此，存在，使恒成立。（2） 直线与圆锥曲线相离椭圆上点到直线的最短距离（3） 直线与圆锥曲线相切(2012年高考广东卷第20小题（文科）)（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为
6、，且点在上（1） 求椭圆的方程；(2)设直线与椭圆和抛物线相切，求直线的方程解：(1):依题意：c=1,1分则：,2分设椭圆方程为：3分将点坐标代入，解得：4分所以 故椭圆方程为：5分（2）设所求切线的方程为：6分消除y7分化简得：8分同理：联立直线方程和抛物线的方程得：消除y得： 9分化简得： 10分将代入解得：解得：12分故切线方程为：14分2（2012辽宁文）已知P,Q为抛物线x2=2y上两点，点P,Q的横坐标分别为4，2，过P,Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为A 1 B 3 C 4 D 83（2013辽理）如图，抛物线（I）；（II）（4） 直线与圆锥曲线相交（相
7、交弦，韦达定理）1设分别是椭圆的左、右焦点，过斜率为1的直线与相交于两点，且成等差数列。（1）求的离心率； （2） 设点满足，求的方程解：（I）由椭圆定义知，又，得的方程为，其中。设，则A、B两点坐标满足方程组化简的则因为直线AB斜率为1，所以得故所以E的离心率（II）设AB的中点为，由（I）知，。由，得，即得，从而故椭圆E的方程为。2（2013年山西省山大附中高三9月月考）是抛物线上相异两点，Q，P到轴的距离的积为4，且。（1） 求抛物线的标准方程（2） 过Q的直线与抛物线的另一交点为R，与x轴的交点为T ，且Q为线段RT的中点，试求弦PR长度的最小值（5） 焦点弦1（2014江西师大附中高
8、三开学考试）抛物线的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为2（2011年江西文）已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于（）两点，且（1）求该抛物线的方程；（2）为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值解析：（1）直线AB的方程是 所以：，由抛物线定义得：，所以p=4，抛物线方程为：（2） 、由p=4，化简得，从而,从而A:(1,),B(4,)设=，又，即8（4），即，解得3 若抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，动点P在曲线上，则的面积的最小值为-六 定点、定值问题（两种方法：方程组或不等式，
9、特殊情况法）1（2013河北省唐山市高三年级摸底考试）已知点M是椭圆C：（）上一点，分别为C的左、右焦点，且，的面积为。（1） 求椭圆C的过程；（2） 设，过点P（1，-2）作直线,交椭圆C异于N的A，B两点，直线NA，NB的斜率分别为，证明：为定值2（2012福建文）如图，等边三角形的边长为，且其三个顶点均在抛物线上。（I）求抛物线的方程；（II）设动直线与抛物线相切于点，与直线相交于点。证明以为直径的圆恒过轴上某定点。本小题主要考查抛物线的定义与性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想满分12分解法
10、一：（1） 依题意=，设B（x,y），则x=sin30。=，y=cos30。=12因为点B（，12）在x2=2py上，所以=2p*12，所以p=2所以抛物线E的方程为 (2)由（1）知,y=x. 设 P（x0,y0）,则x00，并且l的方程为，即由，得所以设,令对满足的，恒成立。由于，由于,得即（ （*）由于（*）对满足的恒成立，所以解得 故以PQ为直径的预案横过y轴上的定点M（0，1）解法二 （1） 同解法一（2） 由（1）知,y=x，设P（x0,y0），则，且l的直线方程为，即由得，所以取=2，此时P(2,1),Q(0,-1),以PQ为直径的圆为，交y轴于点（0,1）或（0，-1）；取=1
11、，此时P（1，），Q（，-1），以PQ为直径的圆为，交y轴于（0,1）或，（0，）故若满足条件得点M存在，只能是（0,1）。以下证明点（0,1）就是所要求的点。因为，故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M3（2013江苏扬州中学高三检测）已知椭圆C：的上，下顶点分别为A，B，点P在椭圆上，且异于点A，B，直线AP，BP与直线：分别交于点M，N。（1） 设直线AP，BP的斜率分别为，求证：为定值（2） 求线段MN长的最小值（3） 当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过某定点？，请证明你的结论。七 最值问题（1） 抛物线中的最值问题1 定义转换法（1）已知抛物线的方程为，F是焦点，点A（-2，4），
12、在此抛物线上求一点P，使的值最小（2）已知点P是抛物线上的动点，B（-1，1），点P到直线：的距离为，求的最小值2 平移直线法抛物线上的点到直线的距离的最小值是3 函数法若点P在抛物线上，点Q在圆上，则的最小值为 八 设而不求中点差法的应用1 点差法在椭圆中的应用求焦点是F，并截直线所得弦的中点的横坐标是的椭圆的标准方程2 点差法在双曲线中的应用 若直线平分双曲线中斜率为1的弦，求的取值班范围3 占差法在抛物线中的应用已知点Q是抛物线上异于坐标原点O的点，过点Q与抛物线相切的两条直线分别交抛物线于点A，B。（1） 若点Q的坐标为（1，-6），求直线AB的方程及弦AB的长；（2） 判断直线AB与抛物线的位置关系，并说明理由。九 圆锥曲线中对称问题方法：方程法与点差法1已知椭圆C的方程为，试确定的取值范围，使得椭圆C上有不同两点关于直线：对称。2在已知抛物线上存
