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1、 圆锥曲线题型1 曲线方程1定义法 (1)(2011年高考广东卷第19题(理)) 设圆C与两圆中的一个内切,另一个外切。求圆C的圆心轨迹L的方程;解:(1)两圆半径都为2,设圆C的半径为R,两圆心为、,由题意得或,可知圆心C的轨迹是以为焦点的双曲线,设方程为,则,所以轨迹L的方程为2待定系数法(2) 已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点到两焦点的距离分别为和,过作长轴的垂线恰好经过椭圆的一个焦点,求此椭圆的方程3 方程法(3)(2011年高考广东卷第21小题(理))在平面直角坐标系中,直线轴于点,设是上一点,是线段的垂直平分线上的一点,且满足当点在上与动时,求点的轨迹的方程;解:(1)如图1,
2、设MQ为线段OP的垂直平分线,交OP于点Q,因此即另一种情况,见图2(即点M和A位于直线OP的同侧)。MQ为线段OP的垂直平分线, 又因此M在轴上,此时,记M的坐标为为分析的变化范围,设为上任意点由 (即)得, 故的轨迹方程为综合和得,点M轨迹E的方程为 二 离心率1 找等量关系,求出1若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等级差数列,则该椭圆的离心率是( )A B C D 2 已知椭圆短轴上两个顶点分别为,焦点为,若四边形是正方形,则这个椭圆的离心率等于( )A B C D 2 利用椭圆焦点三角形面积3 若椭圆()上存在点,使得,则椭圆离心率的取值范围是( )3 利用双曲线焦半径最小值4
3、已知双曲线()的左、右焦点分别为若双曲线存在点使,则双曲线的离心率的取值范围是-三 焦点三角形(边长与周长,角度与面积)方法:余弦定理,基本不等式,1(2013内蒙古高三摸底考试)设双曲线的两个焦点为,是双曲线上的一点,且,则的面积等于( )A B C D 2(06年四川)如图把椭圆的长轴分成8等分,过每个点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点。是椭圆的一个焦点,则3(2000全国)椭圆的焦点为,点为其上的动点,当为钝角时,点横坐标的取值范围是4 是椭圆上的点,是椭圆的焦点,若,则的面积等于四 双曲线的渐近线1 (2013福建省三明市高中毕业班质检)过双曲线()的左焦点F作圆O:的两条切线,切点
4、为A,B,双曲线左顶点为C,若,则双曲线的渐近线方程为2已知双曲线的两条渐近线与以椭圆的左焦点为圆心、为半径的圆相切,则渐近线方程为五 直线与圆锥曲线(1) 直线斜率问题 1 是椭圆的左右顶点,动点在椭圆上,直线的斜率范围为,求直线的范围2 (2010山东理)如图,已知椭圆的离心率为,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为,一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设P为该双曲线上异于项点的任一点,直线和与椭圆的交点分别为A、B和C、D. ()求椭圆和双曲线的标准方程; ()设直线、的斜率分别为、,证明:; ()是否存在常数,使得恒成立?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.本小题主要
5、考查椭圆、双曲线的基本概念和基本性质,考查直线和椭圆的位置关系,考查坐标第、定值和存在性问题,考查数形结合思想和探求问题的能力。解:()设椭圆的半焦距为,由题意知所以又,因此故椭圆的标准方程为由题意设等轴双曲线的标准方程为,因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点,所以因此双曲线的标准方程为 ()设则因为点P在双曲线上,所以因此即 ()由于PF1的方程为,将其代入椭圆方程得由违达定理得所以同理可得则又所以故因此,存在,使恒成立。(2) 直线与圆锥曲线相离椭圆上点到直线的最短距离(3) 直线与圆锥曲线相切(2012年高考广东卷第20小题(文科))(本小题满分14分)在平面直角坐标系中,已知椭圆的左焦点为
6、,且点在上(1) 求椭圆的方程;(2)设直线与椭圆和抛物线相切,求直线的方程解:(1):依题意:c=1,1分则:,2分设椭圆方程为:3分将点坐标代入,解得:4分所以 故椭圆方程为:5分(2)设所求切线的方程为:6分消除y7分化简得:8分同理:联立直线方程和抛物线的方程得:消除y得: 9分化简得: 10分将代入解得:解得:12分故切线方程为:14分2(2012辽宁文)已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,点P,Q的横坐标分别为4,2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为A 1 B 3 C 4 D 83(2013辽理)如图,抛物线(I);(II)(4) 直线与圆锥曲线相交(相
7、交弦,韦达定理)1设分别是椭圆的左、右焦点,过斜率为1的直线与相交于两点,且成等差数列。(1)求的离心率; (2) 设点满足,求的方程解:(I)由椭圆定义知,又,得的方程为,其中。设,则A、B两点坐标满足方程组化简的则因为直线AB斜率为1,所以得故所以E的离心率(II)设AB的中点为,由(I)知,。由,得,即得,从而故椭圆E的方程为。2(2013年山西省山大附中高三9月月考)是抛物线上相异两点,Q,P到轴的距离的积为4,且。(1) 求抛物线的标准方程(2) 过Q的直线与抛物线的另一交点为R,与x轴的交点为T ,且Q为线段RT的中点,试求弦PR长度的最小值(5) 焦点弦1(2014江西师大附中高
8、三开学考试)抛物线的焦点为F,已知点A,B为抛物线上的两个动点,且满足,过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN,垂足为N,则的最大值为2(2011年江西文)已知过抛物线的焦点,斜率为的直线交抛物线于()两点,且(1)求该抛物线的方程;(2)为坐标原点,为抛物线上一点,若,求的值解析:(1)直线AB的方程是 所以:,由抛物线定义得:,所以p=4,抛物线方程为:(2) 、由p=4,化简得,从而,从而A:(1,),B(4,)设=,又,即8(4),即,解得3 若抛物线的焦点为F,过F且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,动点P在曲线上,则的面积的最小值为-六 定点、定值问题(两种方法:方程组或不等式,
9、特殊情况法)1(2013河北省唐山市高三年级摸底考试)已知点M是椭圆C:()上一点,分别为C的左、右焦点,且,的面积为。(1) 求椭圆C的过程;(2) 设,过点P(1,-2)作直线,交椭圆C异于N的A,B两点,直线NA,NB的斜率分别为,证明:为定值2(2012福建文)如图,等边三角形的边长为,且其三个顶点均在抛物线上。(I)求抛物线的方程;(II)设动直线与抛物线相切于点,与直线相交于点。证明以为直径的圆恒过轴上某定点。本小题主要考查抛物线的定义与性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想满分12分解法
10、一:(1) 依题意=,设B(x,y),则x=sin30。=,y=cos30。=12因为点B(,12)在x2=2py上,所以=2p*12,所以p=2所以抛物线E的方程为 (2)由(1)知,y=x. 设 P(x0,y0),则x00,并且l的方程为,即由,得所以设,令对满足的,恒成立。由于,由于,得即( (*)由于(*)对满足的恒成立,所以解得 故以PQ为直径的预案横过y轴上的定点M(0,1)解法二 (1) 同解法一(2) 由(1)知,y=x,设P(x0,y0),则,且l的直线方程为,即由得,所以取=2,此时P(2,1),Q(0,-1),以PQ为直径的圆为,交y轴于点(0,1)或(0,-1);取=1
11、,此时P(1,),Q(,-1),以PQ为直径的圆为,交y轴于(0,1)或,(0,)故若满足条件得点M存在,只能是(0,1)。以下证明点(0,1)就是所要求的点。因为,故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M3(2013江苏扬州中学高三检测)已知椭圆C:的上,下顶点分别为A,B,点P在椭圆上,且异于点A,B,直线AP,BP与直线:分别交于点M,N。(1) 设直线AP,BP的斜率分别为,求证:为定值(2) 求线段MN长的最小值(3) 当点P运动时,以MN为直径的圆是否经过某定点?,请证明你的结论。七 最值问题(1) 抛物线中的最值问题1 定义转换法(1)已知抛物线的方程为,F是焦点,点A(-2,4),
12、在此抛物线上求一点P,使的值最小(2)已知点P是抛物线上的动点,B(-1,1),点P到直线:的距离为,求的最小值2 平移直线法抛物线上的点到直线的距离的最小值是3 函数法若点P在抛物线上,点Q在圆上,则的最小值为 八 设而不求中点差法的应用1 点差法在椭圆中的应用求焦点是F,并截直线所得弦的中点的横坐标是的椭圆的标准方程2 点差法在双曲线中的应用 若直线平分双曲线中斜率为1的弦,求的取值班范围3 占差法在抛物线中的应用已知点Q是抛物线上异于坐标原点O的点,过点Q与抛物线相切的两条直线分别交抛物线于点A,B。(1) 若点Q的坐标为(1,-6),求直线AB的方程及弦AB的长;(2) 判断直线AB与抛物线的位置关系,并说明理由。九 圆锥曲线中对称问题方法:方程法与点差法1已知椭圆C的方程为,试确定的取值范围,使得椭圆C上有不同两点关于直线:对称。2在已知抛物线上存