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1、发掘例题的智能因素培养学生的思维能力湖南省耒阳师范学校 刘江妹 怎样使学生通过课堂中的一些典型例题的学习，获得一定的基础知识和基本技能，从而提高他们分析问题和解决问题的能力。笔者认为最有效的途径之一，就是要充分发掘例题的智能因素，通过对例题的多解、多变、类比和联想，引伸和拓广，给学生创造一个进行各种思维活动的条件。这样做不仅能诱发学生学习数学的兴趣，而且能培养学生的逻辑思维能力。同时对提高教学质量还具有重要的积极意义。本文就笔者对一些例题的教学体会，谈几点粗浅认识。一、善于设疑，培养学生思维的自觉性。兴趣是求知的起点。学生的学习欲望或兴趣，总是在一定的情境中发生的。在数学教学中，特别是例题的教
2、学中，可创设“惑”与“悱”的情境。即对所讲授的例题善于设疑，借以引起学生的注意，激发学生的学习兴趣，启发学生去思考、去探求，从而培养学生思维的自觉性。在二项式系数性质的教学中，我曾配置了这样一道例题。例题1、求的展开式中所有二项式系数的和。这个例题很简单，因此，当时全班学生都异口同声回答，其和是 。是的，我不仅肯定了他们回答的结果，而且还表扬了学生们回答问题的积极性，其目的在于激发学生自觉思考下面所提出的问题。设疑：求展开式中各项系数的和。一会儿后，我叫一个学生把答案写到黑板上（如下所述）。解：设展开式中各项系数的和为S。 =+X + + S =+ + +3 + 此后，我问其他同学，这个答案是
3、否完完整，他们都不作声，从而形成了愤悱的情境。为了消除疑惑，我引导学习比较、两式右边的区别，即式的右边在什么情况下可以变为式的右边。答曰：当X=1时；那么S等于多少呢？答曰S=。妙哉！疑释了，同学们高兴极了，并啧啧称赞。在他们高兴的同时，我又设了两个疑问：（1）、求展开式中各项系数的和；（2）、求展开式中各项系数的和（其中a、b为常数，n为正整数）。有了上述问题的解答方法，同学们很自觉地思考得出这两个问题的答案分别是1和，同时也弄清了二项式系数与系数的区别。二、一例多解，培养学生思维的发散性。对例题的条件与结论从不同角度去思考，探求各种不同的解题思路，可以培养学生思维的发散性。在不等式的证明的
4、教学中，我只从下面一例就介绍了证明不等式的四种常用方法。这样做既能说明这些方法之间的内在联系，又能培养学生思维的多向性。例题2，已知a，b，c,d都是实数，求证：证法一（比较法）：由于证明过程简单，所以不再赘述。证法二（分析法）：为了证明 只需证明 即证明 即 因为a，b，c,d都是实数，所以是成立的。因此 成立。证法三（综合法）：证明过程略。证法四（反证法）：假设 不成立，即成立于是有 所以 ，这与（a，b，c,d都是实数）相矛盾。故 成立。三、一例多变，培养学生思维的变异性。1、变换例题条件引伸推广，培养学生探索问题和求异思维能力。例题3、已知函数是奇函数，而且在(0，+)上是增函数，在(
5、-,0)上是增函数还是减函数？分析：要判断在(-,0)上是增函数还是减函数，则只须判断当,(-,0)且小于时，与的大小。为了利用条件，则必须作如下处理： 0 -0 -故显然，在(-,0)上是增函数。为了培养学生思维的发展性，对此例题作如下三种变换：1、已知函数是奇函数，而且在(0，+)上是减函数，在(-,0)上是增函数还是减函数？2、已知函数是偶函数，而且在(0，+)上是增函数，在(-,0)上是增函数还是减函数？3、已知函数是偶函数，而且在(0，+)上是减函数，在(-,0)上是增函数还是减函数？这些命题的解答不难，但能开拓学生的解题思路，培养学生的求异精神。2、恰当交换例题条件与结论的顺序，培
6、养学生逆向思维能力。对上述例题3，再作下列四种变换，让学生练习，以便培养学生思维的逆向性。4、已知函数是奇函数，而且在(-,0)上是增函数，在(0，+)上是增函数还是减函数？5、已知函数是奇函数，而且在(-,0)上是减函数，在(0，+)上是增函数还是减函数？6、已知函数是偶函数，而且在(-,0)上是增函数，在(0，+)上是增函数还是减函数？7、已知函数是偶函数，而且在(-,0)上是减函数，在(0，+)上是增函数还是减函数？通过对此例题的各种变换，比较它们解法的异同，可以使学生掌握一类问题的基本解题思路，有利于培养学生思维的应变能力。四、力求联想，培养学生思维的跳跃性。引导学生对定理进行推理及类
7、比、联想，是培养学生思维的跳跃性的重要途径之一。我在教完均值不等式之后，曾配置了这样一道例题。例题4、已知abc,求证： 表面上，这个例题与均值不等式毫不相干，如果步步设问、联想，就会发现它与均值不等式有着内在的联系。设问：三个数有什么关系？容易知道，。进一步设问：原不等式可转化成什么样的不等式？不难转化，可得即 再进一步设问：上述不等式与均值不等式有什么联系？显然，可直接由均值不等式推出。因为所以通过类比、联想，学生不但学会了本题的证明方法，而且深化了有关知识，同时还培养了学生思维的跳跃性。五、题型变通，培养学生思维的连通性。数学习题无穷无尽，浩似烟海，但题型不外乎计算题、证明题、问答题、选
8、择题、填空题、判断题，在几何上还有作图题等几种。如果让学生见一题作一题，见一种类型解一种类型，结果不仅会严重地抑制学生思维的发展与连通，而且会加重学生负担。事实证明，只要我们立足教材，把教材中的例题、习题讲得精一点深一点，探求题型的相互变通，使学生有所领悟，必将起到事半功倍的效果。 例题5，求的二项展开式中的系数。如果单纯地讲解这道题，并不能给学生多少教益，仔细琢磨，这道题的真正价值还在于它本身可揭示五种类型题目的相互变通，从而可培养学生思维的连通性。即解下列五种类型的题目的思维方法相同，都是利用二项展开式的通项公式。1、计算题：求的二项展开式中的系数。2、证明题：试证明的二项展开式中不含常数
9、项；3、判断题：的二项展开式中是否含有二次项；4、填空题：的二项展开式中一次项是 ；5、选择题：的二项展开式中的系数是 。 (-36,36,126,-126)事实证明：在培养学生思维能力的过程中，这五个方面是相互结合的，而不是独立的。笔者只是为了阐述问题的需要而分别加以说明。以上浅见仅出自笔者多年来教学的零星积累。象这样“发掘例题的智能因素，培养学生的思维能力”的教学尝试，颇受学生的欢迎。由于水平有限，不足之处在所难免，敬请读者批评指正。关于正多面体一条性质的推广湖南省耒阳师范学校 段春华定理1、若为正多面体内任意一点，则到正多面体各面的距离之和为一常数。这是关于正多面体的一个众所周知的性质其
10、结论是显而易见的。事实上，设分别表示正面体的体积和每一面的面积，为其内任意一点，到各平面的距离为(=1，2，,)，则为一常数。现在笔者将此定理作如下三种情形的推广：（一）从“形内”推广到“形外”。定理2、若是正多面体外接球面上任意一点，则该正多面体各顶点到过点所作切平面的距离之和为一常数。证明：设正多面体顶点数为，面数为（,=4，4；6，8；8，6；12，20；20，12），顶点记为,，,外接球球心为。过,，,分别作外接球的切平面，得球外切正面体（根据正多面体的共轭性，球外切正面体顶点数为），则点P为正面体 “形内”的点，由“定理1” 可知，到正面体各面的距离之和为一常数，设为k。又,，各点到
11、过点所作切平面（记为）的距离，分别等于点到正面体对应各面的距离（到平面的距离等于到所在面的距离，=1，2，,）。事实上，过点,(=1，2，,),作一平面去截该几何体，得截面如图1所示,作，。则，由于垂直过的切平面，即垂直正面体过的一个面，所以也垂直这个面，因此是点到该面的距离。同样是到平面的距离。设与相交于，因为，所以RtRt因此，所以，故定理成立，证毕。（二）从“正多面体”推广到“非正多面体”。定理3 若为（1）各面等积凸面体，或（2）将各面等积凸面体各面作平移变换（并非相似变换）后得到的凸面体内任意一点，则点到各面的距离之和为一常数。证明：（1）记各面等积凸面体为形A，设V、S分别表示形A
12、的体积和每一面的面积，P为其内任意一点，P到各面的距离为，则用完全相同于定理1的证法可得 为一常数。（2）设形B为由各面等积凸面体即形A各面作平移变换（并非相似变换）“放大”（或“缩小”）后得到的凸面体（注：因非相似变换，所以形B不是各面等积凸面体），P为形B内任意一点，P到形B各面的距离为形B由形A各面作平移变换“放大”后得到凸面体（）若点P在形A内，则其中表示形B与形A各对应平行面之间的距离所以显然为一常数（）若点P在形B内而在形A外，则可作一个由形A沿相似变换“放大” 后得到的各面等积凸面体，简记为形C，且使得形B与形A都包含在形C内，则由定理3（1）可知，P到形C各面的距离之和为一常数
13、那么，点P到形B各面的距离之和其中表示形C与形B各对应平行面的距离所以 也为一常数。形B由形A各面作平移变换“缩小”后得到的凸面体因为点P在形B内，所以 其中 表示形A与形B各对应平行面的距离 即同样为一常数因此定理3证毕三、从“各面等积的非正多面体”推广到“侧面等积的棱柱、棱锥、棱台”。定理4、设为侧面等积的棱柱内任意一点，则到各侧面的距离之和为一常数。证明：令棱柱的各侧面面积均为S，底面面积为，体积为V，高为，点到各侧面的距离分别为,，到上底面距离为，则到下底面距离为。连结点和各顶点，于是此棱柱被分割成个棱锥。这样可得：即得： （常数），证毕。定理5 设为侧面等积的棱锥底面上任一点，则P到
14、各侧面的距离之和为一常数。证明：设棱锥的各侧面面积均为S，底面为n边形，且面积为t，高为h，P点到各侧面的距离分别为。连结P点和各顶点，于是此棱锥被分割成n个棱锥，这样可得：即得 （常数）证毕定理6 设为侧面等积棱台上（下）底面上任一点，则点各侧面的距离之和各为一常数。证明：设棱台的各侧面面积均为S，上、下底面均为n边形，且面积分别为t、r，高为h。（1）若P为棱台上底面上任意一点，令P到各侧面的距离分别为。连结P点和各顶点，于是此棱台被分割成个棱锥，这样可得： 即得：（常数）（2）若P为棱台下底面上任意一点，令P到各侧面的距离分别为 同理可得 即得：（常数）因此，定理6证毕。参考文献（1）郑祖健关于凸边形一条性质的推广，健湖南数学通讯1988年第6期第16页至17页。（2）（法）丁阿达玛著几何（立体部分）第365页，问题700及第373页，问题704。
