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1、 安庆师范学院数学与计算科学学院2012届毕业论文 含参量反常积分的一致收敛判别法及推广作者：蒋碧希 指导老师：张海摘要 本文主要介绍了含参量反常积分（含参量无穷限反常积分、含参量瑕积分）的基本概念、性质.然后参照无穷限反常积分的方法建立了相应的含参量瑕积分的一致收敛性.最后结合例题说明其在解题中的应用.关键词 含参量无穷限反常积分 含参量瑕积分 一致收敛1 引言 对于含参量无穷限反常积分的基本概念、性质、一致收敛性判别法大部分教材都有详细论述.而忽视了含参量瑕积分的一致收敛性的判定,其实两者之间是同中有异的.本文主要参照无穷限反常积分的方法建立相应的含参量瑕积分的一致收敛判别法，并探究其在解
2、题中的应用.2 含参量无穷限反常积分的一致收敛判别法2.1 含参量无穷限反常积分的定义设函数定义在无界区域上，若对每一个固定的，反常积分 都收敛，则它的值是在上取值的函数，当这个函数为时，则有 称式为定义在上的含参量的无穷限反常积分，或简称含参量反常积分.2.2 含参量反常积分的一致收敛概念若含参量反常积分与对任给的正数，总存在某一实数，使得当时，对一切，都有 ,即 ，则称含参量反常积分在一致收敛于，或简单地说含参量积分在上一致收敛.2.3含参量无穷限反常积分一致收敛的柯西准则含参量反常积分在上一致收敛的充要条件是：对任給的正数，总存在某一实数，使得当时，对一切，都有 , 证明 （必要性） 由
3、于含参量反常积分在上一致收敛，则 对,时，使得时，有,且由 可知：，当时，有.（充分性) 因为，总存在某一实数，使得时，对一切 ，都有, 当时，有 成立.故在上是一致收敛的.又因为,其中是含参量正常积分，故一致收敛. 所以 在上是一致收敛的.2.4 含参量无穷限反常积分一致收敛性与函数项级数一致收敛的联系定理2.4.1 含参量反常积分在上一致收敛的充要条件是：对任一趋于的递增数列（其中），函数项级数 在上一致收敛. 证明 (必要性）由在上一致收敛，故对任给，必存在，使当时，对一切，总有 . 又由，所以对正数,存在正整数,只要当时，就有.由对一切，就有 .这就证明了级数在上一致收敛. (充分性)
4、 用反证法.假若在上不一致收敛，则存在某个正数，使得对于任何实数，存在相应的和，使得,现取，则存在及，使得一般的，取，则有及，使得 由上述所得到的数列是递增数列，且.现在考察级数由式知存在正数，对任何正整数,只要,就有某个，使得这与级数在上一致收敛的假设矛盾.故含参量反常积分在上一致收敛2.5 含参量无穷限反常积分的一致收敛性判别法定理 2.5.1 （维尔斯特拉斯判别法）设有函数，使得若收敛，则在上一致收敛.定理 2.5.2 （狄利克雷判别法）设 对一切实数，含参量正常积分对参量在上一致有界，即存在正数,对一切及一切，都有 对每一个，函数关于是单调递减且当时，对参量一致的收敛于，则含参量反常积
5、分在上一致收敛.定理 2.5.3 （阿贝尔判别法） 设 在上一致收敛； 对每一个，函数为的单调函数，且对参量在上一致有界，则含参量反常积分在上一致收敛.2.6 含参量无穷限反常积分的性质定理2.6.1 （连续性） 设在上连续，若反常积分 在上一致收敛，则在上连续.证明 由定理2.4.1，对任意递增且趋于的数列，函数项级数 在上一致收敛.又由于在上连续，故每个都在上连续.根据函数项级数的连续性定理，函数在上连续.定理2.6.2 （可微性） 设 与在区域上连续，若在上收敛，在上一致收敛，则在上可微，且 证明 对任一递增且趋于的数列，令则由在上一致收敛及定理1，可得函数项级数在上一致收敛，因此根据函
6、数项级数的逐项求导定理，即得定理2.6.3 （可积性） 设在上连续，若在上一致收敛，则在上可积，且证明 由定理2.6.1知道在上连续，从而在上可积.又由定理2.6.1的证明中可以看到，函数项级数在上一致收敛，且各项在上连续，因此根据函数项级数逐项求积定理，有 (10)这里最后一步是根据关于积分顺序的可交换性定理.(10)式又可写作定理2.6.4设在上连续，若 (1)关于在任何闭区间上一致收敛，关于在任何闭区间上一致收敛； (2)积分与中有一个收敛， 则3 含参量瑕积分一致收敛判别法3.1 含参量瑕积分的定义设在区域上有定义，若对的某些值，为函数的瑕点（以下的含参量瑕积分未加说明都同此）则称 (
7、11) 为含参量的瑕积分.3.2 含参量瑕积分一致收敛定义对任给的正数，总存在某正数，使得当时，对一切，都有则称含参量瑕积分(11)在上一致收敛.3.3 含参量瑕积分一致收敛性的判别法定理3.3.1（柯西收敛准则） 含参量瑕积分 在上一致收敛的充要条件是：对任给正数，存在不依赖于的，使得当时，对一切，都有 (12)证明 (必要性）由(11)在上一致收敛，故对任给的，存在，使得时，有 与同时成立，则有 （充分性）由所给条件知：对任给正数，存在不依赖于的，使得当时，对一切，都有成立.令，则有成立.由定义知：含参量瑕积分在上一致收敛.定理3.3.2 （魏尔斯特拉斯判别法）设有函数，使得 (13)若收
8、敛，则含参量瑕积分在上一致收敛.证明 因为收敛，所以由瑕积分的柯西收敛原理知：对于任给的，存在，对于任意的，且，有 又由可得 故由定理3.3.1知：含参量瑕积分在上一致收敛.定理3.3.3 （海涅归结原则） 含参量瑕积分在上一致收敛的充要条件是：对任意递增数列时，相应的函数项级数 在上一致收敛.证明 （必要性）因为在上一致收敛，由定理5知：对任给的，必存在，当时，对一切，总有 成立.令，由且递增，则且递减.由数列极限定义，对上述，存在正整数，只要时，就有，于是 根据函数项级数柯西一致收敛准则，函数项级数在上一致收敛.（充分性） 用反证法，假设在上非一致收敛，则存在某一正数，使得，存在相应的和，
9、有现取，则存在及，使得 一般的取，则有及，使得 令，则是递增数列，且有.考察级数 由式知存在正数，对任意正整数，只要就有某个，使这与函数项级数在上一致收敛的条件矛盾，故在上一致收敛.定理3.3.4（狄利克雷判别法）若含参量瑕积分满足： 对一切，含参量正常积分对参量在上一有界，即存在正数，对任何及一切，有 对每一个，函数关于单调且当时，对参量一致收敛于.则含参量瑕积分在上一致收敛.定理3.3.5 （阿贝尔判别法） 若含参量瑕积分满足： 含参量瑕积分在上一致收敛； 对每一个，函数为的单调函数，且对参量在上一致有界，则含参量瑕积分在上一致收敛.定理3.3.6 设在上连续，对任何收敛，且发散，则在上不
10、一致收敛.证明 用反证法.若在上一致收敛，由柯西收敛准则：对任给的，存在，当时，对一切有根据假设在上连续，对含参量正常积分应用连续性定理，令，有这与假设含参量瑕积分发散矛盾.故 在上不一致收敛. 典型例题例4.1 证明含参量反常积分 在上一致收敛.证明 由于对任何实数有，及反常积分收敛，故由魏尔斯特拉斯判别法，含参量反常积分在上一致收敛.例4.2 证明含参量反常积分 在上一致收敛.证明 由于反常积分收敛（当然，对于参量，它在上一致收敛），函数对每个单调，且对任何都有故由阿贝尔判别法即得含参量反常积分在上一致收敛.例4.3 证明含参量瑕积分在上一致收敛.证明 因为所以对于含参量瑕积分，由于 故对于任给的，取，当时，即有因此，对于它是一致收敛的.对于积分由于故对于任给的，取，当时，即有因此，对于它是一致收敛的.于是积分对于一致收敛.例4.4 证明含参量瑕积分在上一致收敛.证明 由条件可知 而收敛.所以由魏尔斯特拉斯判别法知：在上一致收敛.例4.5 证明含参量瑕积分在一致收敛.证明 由于收敛（当然，对于参量，它在上一致收敛）.函数，对每个单调，且对任何，都有，故由阿贝尔判别法知在上一致收敛.
