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1、第三篇 电磁学第7章 静电场图7-68习题710图解（b）（a）7-10在边长为a的正六角形的六个顶点都放有电荷，如图7-68（a）所示，则六角形中心O处的电场强度为多少？ 分析：在图7-68（a）中标注各顶点名称后如图7-68（b）所示，由对称性可知，C点与F点的点电荷，B点与E点的点电荷在O点产生的电场相互抵消。因此O点的电场仅由A点和D点的点电荷产生。解： 根据点电荷在空间某点产生的电场公式可得：图7-69习题711图解（b）（a） 7-11一半径为R的半圆细环上均匀地分布电荷Q，求环心处的电场强度，如图769（a）所示。分析：在带电半圆环上任取一线元，其电荷为：，此电荷元可视为点电荷，
2、它在O点产生的电场强度大小为：，方向沿径向，如图769（b）所示，。因圆环上电荷对轴呈对称性分布，所以电场分布也是轴对称的，即在轴上的电场强度，只有轴上有电场强度。解：“-”表示电场强度的方向沿轴负向。图7-70 习题712图解7-12设均匀电场的电场强度E与半径为R的半球面的轴平行，试计算通过此半球面S1的电通量；若以半球面的边线为边线，另作一个任意形状的曲面S2，则通过S2面的电通量又是多少？如图770所示。分析：选半径为R的大圆面与或和组成一个封闭曲面，由高斯定理可方便求得该闭合曲面的电通量为零，再由积分知识可知，通过曲面或的电通量大小即为通过大圆面的电通量大小。解：由高斯定理知：而，所
3、以：同理，由和以R为半径的大圆面。组成一个封闭曲面，则可得：7-13如图7-71（a）所示，电荷线密度为的无限长均匀带电直线，其旁垂直放置电荷线密度为的有限长均匀带电直线AB，两者位于同一平面内。则AB所受静电作用力的大小为多少？ 分析一： 由题意可知，两直线均匀带电。由于库仑定律只适用于点电荷系统。因此，需将两带电直线分成许多电荷元；建立如图7-71 (b)所示的直角坐标系，有，根据库仑定律可得，施加给的作用力为：为两电荷元之间的距离。将沿、轴投影，得：，；根据对称性分析可知：为零。因此，F只沿轴正向。解一： 图7-71 习题713图解（a）（b）分析二： 由电场强度定义求解。如图7-71
4、(b)所示，带电直线AB处于无限长带电直线产生的电场中，若把带电直线AB视为许多电荷元的集合，则电场对每个电荷元的作用力为；各电荷元的dF的矢量和，即为带电直线AB所受的电场力。解二：在距无限长带电直线x处任取一电荷元，由无限长带电直线的场强公式可知处的场强为：方向沿袖正向。于是有习题7-14图解由于各电荷元所受力的方向均沿x轴正向，所以：若问题中的和异号，则F沿轴负向。根据作用力与反作用力的关系可知，无限长带电直线所受的作用力，其大小与F相等，其方向与F相反。7-14 求无限长均匀带电圆柱面内、外场强E的空间分布。设圆柱面半径为R。电荷面密度为。分析：由题可知，无限长均匀带电圆柱体的电荷分布
5、具有柱对称性，因而其产生的电电场强度也具有柱对称分布，由高斯定理求解较为方便。解：如习题7-14图解所示，过圆柱面内、外任一点作高为的圆柱形高斯面，根据高斯定理，有：当时，；当时，；7-15求均匀带电球体内、外的场强分布，已知球体半径为R，所带总电荷为q。分析：由题可知，电荷分布是球对称的，所以电场强度的分布也是球对称的。因此，在电场强度的空间中任意点的电场强度的方向沿径矢，大小则依赖于从球心到场点的距离。即在同一球面上的各点的电场强度的大小是相等的。解：以球心到场点的距离为半径作一球面，则通过此球面的电通量为：习题7-15图解根据高斯定理，有： (1)当场点在球体外，即时，由(1)式可得电场
6、强度为：当场点在球体内时 即时，由(1)式可得电场强度为：其曲线如习题7-15图解所示。7-16求均匀带电细棒中垂面上的电场和电势。设棒长2，带电量为。习题7-16图解分析：由于电势是标量，可由电势叠加原理先求出带电直线在P点的电势，再由场强与电势的微分关系求P点的场强。解：建立如习题7-16图解所示的直角坐标系，并取带电直线中心为坐标原点O。则在带电直线上任取一电荷元，在P点产生的电势为：因此，整个带电系统在P点产生的电势为则该点的场强为：，其中：，所以，P点的场强为：7-17求均匀带电球体的电势。已知电荷q均匀地分布在半径为R的球体上，求空间个各点的电势。分析：由题可知，均匀带电球体的电荷
7、分布具有球对称性，其电场分布也具有球对称性。因而可由高斯定理方便地求得其电场分布，再由电势的定义求得其电势分布。解：由高斯定理可求出电场强度的分布 方向沿径向。由电势的定义式，可得：当时，有： 当时，有：7-18 如图7-72所示，是以为中心、为半径的半圆，点有点电荷，点有点电荷。求（1）把单位正电荷从O点沿OCD移到D点，电场力对它做了多少功?（2）单位负电荷从D点沿AB延长线移到无穷远处，电场力对它做了多少功? 图7-72 习题718图解分析：由可知，要求在电场中移动电荷时电场力所做的功，应先求出始末位置的电势大小。解：由点电荷在空间某点产生的电势公式可得：由可得：(1)(2)7-19 在
8、玻尔的氢原子模型中，电子沿半径为的圆周绕原子核旋转。求：(1)若把电子从原子中拉出来需要克服电场力作多少功?(2)电子的电离能为多少?分析：由可知，克服电场力所做的功等于电势能的增量，电子的电离能等于外界把电子从原子中拉出来需要的最低能量，其能量应等于动能和势能之和。解：(1)电子在玻尔轨道上作圆周运动时，它的电势能为：因此，若把电子从原子中拉出来需克服电场力作功为：(2)电子在玻尔轨道上作圆周运动所需向心力为静电力，即：电子的动能为：总能量为：根据电离能的定义：电子的电离能等于外界把电子从原子中拉出来需要的最低能量，即：图7-73 习题720图解(a)7-20 如图773（a）所示，半径为的
9、导体球，带有电量，球外是一个内、外半径分别为、的同心导体球壳，球壳上的带电量为。试求：（1）求场强和电势分布；（2）若用导线连接两球后，电势分布如何?（3）若外球接地，两球电势各为多少?（4）若内球接地，内外两球的电势差为多少? (1) 分析：根据静电感应和静电平衡时导体表面电荷分布规律，导体球壳内表面所带的电荷，外表面所带的电荷为，电荷在表面均匀分布，具有球对称性，可由高斯定理求得电场强度分布，再由电势的定义求得电势分布。解法一：由于场的分布具有对称性，由高斯定理可得各区域的场强分布为：， ， E的方向均沿径向向外。导体为有限带电体，选无限远处为电势零点。由电势定义可分别求得电势分布为：当时
10、当时当)时当时图7-73 习题720图解 (b)（2）分析：当用导线把球和球壳连接在一起后，由静平衡条件可知，电荷全部分布在球壳的外表面上，如图7-73 (b)所示，此时，电场只分布在的空间中，即。同时球体与球壳成为一个等势体，即，于是。解：根据电势的定义，可得当时当时图7-73 习题720图解 (c)（3）分析：若外球接地，球壳外表面的电荷为零，等量异号电荷分布在球体表面和球壳内表面，此时电场只分布在的空间内，如图7-73 (c) 所示。解：由于外球壳电势，则内球体内任一场点 ()的电势由定义可得：（4）分析：当内球接地时，内球的电势。但无限远处的电势也为零，这就要求外球壳所带电量在内外表面
11、上重新分配，使球壳外的电场沿着径向指向无限远处，球壳内的电场沿着径向指向球心处。因此，内球必然带负电荷。因为内球接地，随着它上面正电荷的减少，球壳内表面上的负电荷也相应减少。当内球上的正电荷全部消失时，球壳内表面上的负电荷也消失完。但就球壳来说，仍带有电荷+Q，由于静电感应，在内球和大地这一导体系统中便会感应出等量的负电荷-Q，此负电荷(-Q)的一部分(设为，)均匀地分布在内球表面上。球壳内表面上将出现等量的正电荷()与之平衡。因此，在达到静电平衡后，内球带电荷，球壳内表面带电量为，外表面上带电量()，如图7-73 (d)所示。解：图7-73 习题720图解 (d)方法一：根据高斯定理可知各区
12、域内的场强分布为：球壳上任一场点()相对于无限远处和相对于接地内球的电势，应用电势定义式分别计算，可得：联立上述两式，可得：将的结果代入的表达式中，可得：相应的球体与球壳间的电势差为：方法二： 亦可根据带电导体球的电势公式及电势叠加原理进行求解。根据电势叠加原理，电势是由 (的球面)、(的球面)和(的球面)在内球体中任一场点()共同产生的电势的叠加。由于内球接地，有：在外球壳体中任一场点(产生的电势为：联立上述两式，也可解得相应的球体与球壳间的电势差为：图7-74 习题721图解（a）7-21 三块平行金属平板A、B、C，面积都是，A、B相距2mmA、C相距4mm，B、C接地，A板带正电荷，忽
13、略边缘效应。如图774(a)所示求：（1）B、C板上的电荷是多少?（2）A板的电势是多少分析：由高斯定理可方便得出：处于静电平衡的平行导体板，相对的两个面应带等量异号电荷。此外，当B、C两板接地时，导体电势的改变将会引起导体表面电荷的重新分布，但电荷的分布依然满足相对面等量异号；相背面等量同号的规律，以使导体内部，维持导体的静电平衡，根据电荷分布可确定导体板间的电势差。解：(1)设导体板上电荷面密度分布如图7-74 (b)所示，忽略边缘效应，根据和A板上的电荷量恒不变。则有图7-74 习题721图解（b）由上述方程可得，则B、C板上的电量分别为：(2)由可得A板的电势为：7-22计算两条带异号
14、电荷的平行导线单位长度的电容。设导线的线电荷密度分别为，导线的半径为a，相隔的距离为d()，且两导线为无限长，如图775（a）所示。图7-75 习题722图解(b)图7-75 习题722图解（a）分析：由题可知，长直导线电荷分布具有柱对称性，因而电场分布也具有柱对称性，可由高斯定理进行求得，据此可由场强的叠加原理求得导线间的电场分布，由电势差的定义求得两导线间的电势差，由电容的定义式求得电容。解：如图7-75 (b)所示，由叠加原理和高斯定理可求得两导线之间垂直连线上任意一点P的场强。以导线A的轴线为轴以r为半径，作过P点的圆柱形高斯画，柱长为，则由对称性分析可知：由于代人上式得：同理可得，导
15、线B在P点产生的场强为：由于和的方向均是由带电荷线密度的导线指向带电荷线密度的导线，故P点的总场强为：则两导线之间的电势差为：因此，单位长度导线上的电容为：由题意可知，则，所以：7-23半径为R的导体球，带有正电荷Q，球外有一同心均匀电介质球壳，其半径分别为a和b，相对电容率为，如图776所示。试求：(1)介质内外的电位移D和场强E；图7-76 习题723图解（a）(2)介质内的极化强度P和介质表面的极化面电荷密度；(3)离球心为r处的电势V；(4)画出D(r)、E(r)和V(r)的曲线。分析：自由电荷和极化电荷均匀分布在球面上，电场呈球对称分布，取同心球面为高斯面，根据介质的高斯定理可球得介质中的电场分布，由可求得介质内的极
