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1、非线性多重网格反演的一般框架主要分为五个部分 1.介绍 2多重网格反演框架 反问题 、多重网格的反演算法、固定网格反演、多重网格收敛的反演。稳定泛函。 3. 光扩散层析成像中的应用4数值结果。提出了评价模型所需的分辨率 、多重网格性能评价。摘要A variety of new imaging modalities, such as optical diffusion tomography, require the inversion of a forward problem that is modeled by the solution to a 3-D partial differentia
2、l equation. For these applications,多种新的成像方式，如光扩散层析成像，要求正问题，采用求解三维偏微分方程反演。这些应用程序，图像重建是特别困难的。image reconstruction is particularly difficult because the forward problem is both nonlinear and computationally expensive to evaluate.因为提出的问题是非线性和评价计算昂贵的。在本文中，我们提出了非线性多重网格反演是适用于各种各样的反问题的一般性框架。多重网格反演算法结果的递归多重网
3、格技术的优化问题的求解逆问题中的应用。该方法通过动态调整目标泛函在不同的尺度，that they are consistent with, and ultimately reduce, the finest scale cost functional. 他们是一致的，并最终减少，细尺度函数值。 在这种方式中，多重网格反演算法有效地计算解决所需的精细尺度反演问题。重要的是，新的算法可以大大减少计算，因为在正向和反问题更粗的离散化在较低的分解。 这个方法被广泛应用，贝叶斯光扩散层析，广义高斯马尔科夫随机场图像先验模型。展示了非常大的计算节省潜力。数值数据也表明了鲁棒收敛一系列的初始条件为非凸优化问
4、题。随机场图像的先验模型显示了非常大的计算节省的潜力。数值数据也表明了一系列的非凸优化的初始条件的鲁棒收敛problem.问题。关键词：多重网格算法、反问题、光扩散层析成像、多尺度 一介绍 一大类图像处理的问题，如模糊，高分辨率的渲染，图像恢复，图像分割，与断层运动分析，逆问题的解决，通常，这些反问题的数值解法是计算能力的要求，特别是当问题必须制定在三维上。最近，一些新的成像方式，如光扩散层析成像（ODT） 和电阻抗断层成像（EIT），备受关注，例如光扩散层析成像在安全上有很大的潜力，非侵入性的医疗诊断方法与化学特异。然而，这些反问题有关联的新模式，目前有大量的困难挑战，首先，正演模型取决偏微
5、分方程（PDE）描述的解决，(PDE) which is computationally demanding to solve. Second, the unknown image is formed by the这是计算能力的要求。第二，未知的图像决定于偏微分方程的系数，从而正演模型是高度非线性的，即使本身是线性偏微分方程。最后，这些问题通常是由于固有的三维向三维的能量传播散射介质模型。因为自然界中的许多现象的数学描述偏微分方程反问题，也有许多其他有类似的计算上的困难，包括微波tomography 7, thermal wave tomography 8, and inverse scatt
6、ering 9.断层，热波成像和逆散射。要解决的逆问题，大部分的算法，如共轭梯度（CG），最速下降（SD），和迭代坐标下降（ICD） 10 使用固定网格执行所有计算。尽管巨大的进步已经减少了计算的复杂性，这些固定网格的方法，计算成本仍然十分关注。也许更重要的是，fixed grid optimization methods are essentially performing a local search of the cost function固定的网格优化方法本质上是执行的成本函数的局部搜索，and are therefore more susceptible to being trapp
7、ed in local minima that can result in poorer quality因此更容易陷入局部极小值，会导致质量较差reconstructions.重建。多尺度技术已经减少反问题的计算得到了广泛的研究。即使是简单的多尺度的方法，如初始化的精细分辨率迭代粗的解决方案，已被证明是在许多成像问题的有效。小波已被研究了贝叶斯断层，和wavelet and multiresolution models have been applied in Bayesian formulations of emission tomography小波变换和多尺度模型已应用于发射断层扫描的贝叶
8、斯公式21, 22, 23, 24 and thermal wave tomography 25. For ODT, a two resolution wavelet，和热波成像。光扩散层析成像ODT，一个二维分辨率小波decomposition was used to speed inversion of a problem linearized with a Born approximation 26.分解是用来加速问题线性化近似反演一出世。多重网格方法是一类特殊的多尺度算法，通过递归的方法操作上的数据在不同的分辨率，使用嵌套的迭代和粗网格校正的思。多重网格算法最初引起兴趣的一种方法为有效
9、地消除光误差分量求解偏微分方程，这并不总是阻尼fixed-grid relaxation schemes. In particular, the full approximation scheme (FAS) of Brandt 27 can固定网格松弛方案。特别是，全近似格式（FAS）勃兰特 27 能be used to solve nonlinear PDEs. Multigrid methods have been used to expedite convergence in various是用来解决非线性偏微分方程。多重网格方法已被用来加速收敛的各种image processing
10、problems, for example, lightness computation 33, shape-from-X 33, 34,图像处理的问题，例如，亮度计算 ，形状从-X ，optical flow estimation 33, 35, 36, 37, 38, signal/image smoothing 39, 40, image segmentation光流估计，信号/图像平滑，图像分割40, 41, image matching 42, image restoration 43, anisotropic diffusion 44, sparse-data图像匹配，图像复原，各
11、向异性扩散，稀疏的数据surface representation 45, interpolation of missing image data 40, 46, and image binarization表面表征，丢失的图像数据的插值，和图像二值化。最近，多重网格算法已经被用来解决图像重建问题。博曼和绍尔表明非线性多重网格算法可以应用于贝叶斯反演问题。本文采用非线性多重网格技术计算最大后验概率（MAP）非高斯先验分布和非负约束重建。麦考密克和韦德应用多重网格方法的线性化的企业所得税问题，与博尔恰used a nonlinear multigrid approach to EIT based
12、 on a direct nonlinear formulation analogous to FAS用非线性多重网格方法的基础上制定的非线性EIT直接类似于Fasin nonlinear multigrid PDE solvers. Brandt et al. developed multigrid methods for EIT 50 and在非线性多重网格求解偏微分方程的求解器。勃兰特等人。用于电阻抗断层成像EIT的多重网格方法atmospheric data assimilation 51, and applied multigrid or multiscale methods to
13、various numerical大气数据同化，并应用多重网格或多尺度方法的各种数值computation problems including inverse problems 52, 53. Johnson et al. 54 applied an algebraic计算问题，包括反问题。约翰逊等人。应用代数multigrid algorithm to inverse bioelectric field problems formulated with the finite-element method.多重网格算法的逆生物电场问题的有限元法的制定In 55, 56, Ye, et al.
14、 formulated the multigrid approach directly in an optimization framewo等。制定了多重网格方法直接在一个优化框架，and used the method to solve ODT problems. In related work, Nash and Lewis formulated multigrid使用的方法来解决口腔问题。在相关的工作，纳什和刘易斯制定了多重网格algorithms for the solution of a broad class of optimization problems 57, 58. Imp
15、ortantly, both对于广泛的一类优化问题的求解算法，重要的是，无论是the approaches of Ye and Nash are based on the matching of cost functional derivatives at different你们和纳什方法的基础上在不同的成本函数导数的匹配scales.尺度。在本文中，我们提出了一个方法，我们称之为多重网格反演，多重网格反演是应用非线性多重网格优化的逆解的一般方法问题。在我们的方法中一个关键的创新就是正向和逆解决模型是不同的。这使得我们的方法特别适合于反问题的解决方案with PDE forward model
16、s for a number of reasons:在偏微分方程模型有很多原因：1.通过粗网格解决提出的偏微分方程模型，计算量大大减少，在以前的方法，建立了偏微分方程在最好的网格只解决了。这意味着粗网格更新是计算复杂性，或一种线性逼近was made for the coarse grid forward model 48, 55, 56.粗网格正演模型。2.粗网格模型可以通过正确离散偏微分方程模型，保留正向模型的非线性特性。3. 各种各样的优化方法可用于在每个网格求解反问题。因此，常用的方法，如预条件共轭梯度和/或伴随分化63, 64 can be employed at each grid resolution.可以在每个网格分辨率。多重网格反演方法目的是解决反问题例如光扩散层析成像（odt）和
