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1、 因动点产生的直角三角形问题例1 2015年上海市虹口区中考模拟第25题如图1，在RtABC中，ACB90，AB13，CD/AB，点E为射线CD上一动点（不与点C重合），联结AE交边BC于F，BAE的平分线交BC于点G （1）当CE3时，求SCEFSCAF的值；（2）设CEx，AEy，当CG2GB时，求y与x之间的函数关系式；（3）当AC5时，联结EG，若AEG为直角三角形，求BG的长图1 动感体验请打开几何画板文件名“15虹口25”，拖动直角顶点C运动，可以体验到，CG2GB保持不变，ABC的形状在改变，EAEM保持不变点击屏幕左下角的按钮“第（3）题”，拖动E在射线CD上运动，可以体验到，
2、AEG可以两次成为直角三角形思路点拨1第（1）题中的CEF和CAF是同高三角形，面积比等于底边的比2第（2）题中的ABC是斜边为定值的形状不确定的直角三角形3第（3）题中的直角三角形AEG分两种情况讨论满分解答（1）如图2，由CE/AB，得由于CEF与CAF是同高三角形，所以SCEFSCAF313（2）如图3，延长AG交射线CD于M 图2由CM/AB，得所以CM2AB26由CM/AB，得EMABAM又因为AM平分BAE，所以BAMEAM所以EMAEAM所以yEAEM26x图3 图4（3）在RtABC中， AB13，AC5，所以BC12如图 4，当AGE90时，延长EG交AB于N，那么AGEAG
3、N所以G是EN的中点所以G是BC的中点，BG6如图5，当AEG90时，由CAFEGF，得由CE/AB，得所以又因为AFGBFA，所以AFGBFA所以FAGB所以GABB所以GAGB作GHAH，那么BHAH在RtGBH中，由cosB，得BG图5 图6考点伸展第（3）题的第种情况，当AEG90时的核心问题是说理GAGB如果用四点共圆，那么很容易如图6，由A、C、E、G四点共圆，直接得到24上海版教材不学习四点共圆，比较麻烦一点的思路还有：如图7，当AEG90时，设AG的中点为P，那么PC和PE分别是RtACG和RtAEG斜边上的中线，所以PCPEPAPG所以122，325如图8，在等腰PCE中，C
4、PE1802(45)，又因为CPE180(13)，所以132(45)所以124所以24B所以GABB所以GAGB图7 图8例2 2014年苏州市中考第29题如图1，二次函数ya(x22mx3m2)（其中a、m是常数，且a0，m0）的图像与x轴分别交于A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0,3)，点D在二次函数的图像上，CD/AB，联结AD过点A作射线AE交二次函数的图像于点E，AB平分DAE（1）用含m的式子表示a；（2）求证：为定值；（3）设该二次函数的图像的顶点为F探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，联结GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只
5、要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由图1动感体验请打开几何画板文件名“14苏州29”，拖动y轴正半轴上表示实数m的点运动，可以体验到，点E、D、F到x轴的距离都为定值思路点拨1不算不知道，一算真奇妙通过二次函数解析式的变形，写出点A、B、F的坐标后，点D的坐标也可以写出来点E的纵坐标为定值是算出来的2在计算的过程中，第（1）题的结论及其变形反复用到3注意到点E、D、F到x轴的距离正好是一组常见的勾股数（5，3，4），因此过点F作AD的平行线与x轴的交点，就是要求的点G满分解答（1）将C(0,3)代入ya(x22mx3m2)，得33am2因此（2
6、）由ya(x22mx3m2)a(xm)(x3m)a(xm)24axm2a(xm)24，得A(m, 0)，B(3m, 0)，F(m, 4)，对称轴为直线xm所以点D的坐标为(2m,3)设点E的坐标为(x, a(xm)(x3m)如图2，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E由于EAEDAD，所以因此所以am(x3m)1结合，于是得到x4m当x4m时，ya(xm)(x3m)5am25所以点E的坐标为(4m, 5)所以图2 图3（3）如图3，由E(4m, 5)、D(2m,3)、F(m,4)，可知点E、D、F到x轴的距离分别为5、4、3那么过点F作AD的平行线与x轴的负半轴的交点，就是符合条件的点
7、G证明如下：作FFx轴于F，那么因此所以线段GF、AD、AE的长围成一个直角三角形此时GF4m所以GO3m，点G的坐标为(3m, 0)考点伸展第（3）题中的点G的另一种情况，就是GF为直角三角形的斜边此时因此所以此时 因动点产生的直角三角形问题例3 2015年徐州市中考模拟题（2015徐州模拟）如图，在平行四边形ABCD中，动点P从B点出发，沿着BDCBA的方向匀速移动直到点P到达点A才停止，已知PAB的面积y与点P移动的距离x之间的函数关系如图所示，试解答下列问题：（1）a=26，AD=10；（2）当ABP的面积是9时，问点P移动距离是多少？（3）当ABP是以AB为直角边得直角三角形时，求点
8、P移动的距离【考点】动点问题的函数图象菁优网版权所有【分析】（1）利用P点运动路径结合已知坐标系中点的坐标进而a，AD的值；（2）利用（1）中所求得出各线段长，进而利用相似三角形的判定与性质得出答案；（3）利用ABP是以AB为直角边得直角三角形时，直角顶点只能是点A，进而得出P点位置求出即可【解答】解：（1）由题意可得：a=17+（4536）=26，AD=3626=10；故答案为：26，10；（2）如图1，作DHAB于点H，过点P作PNAB于点N，则DH=8，AH=6，AD=10，AB=9，BD=17当ABP的面积是9时，点P到AB的距离为2，若P在BD上时，DHPN，BPNBDH，=x=BP
9、=，当P在BC上时，同理可得：x=36BP=36=，综上所述：当ABP的面积是9时，点P移动距离是或；（3）当ABP是以AB为直角边得直角三角形时，如图2，直角顶点只能是点A，过点A作AB垂线分别交BD和DC于点P1，P2，DHAP1，BP1ABDH，=，则BP1=，同理可得：DP2=6，此时P移动的距离是或23，故点P移动的距离分别是或23【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及动点函数，根据已知图象求出各边长是解题关键例4 2013年山西省中考第26题如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连结BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是
10、x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m, 0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q（1）求点A、B、C的坐标；（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由；（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由图1 动感体验请打开几何画板文件名“13山西26”，拖动点P在线段OB上运动，可以体验到，当P运动到OB的中点时，四边形CQMD和四边形CQBM都是平行四边形拖动点P在线段EB上运动，可以体验到，DBQ和BDQ可以成为
11、直角请打开超级画板文件名“13山西26”，拖动点P在线段OB上运动，可以体验到，当P运动到OB的中点时，四边形CQMD和四边形CQBM都是平行四边形拖动点P在线段EB上运动，可以体验到，DBQ和BDQ可以成为直角思路点拨1第（2）题先用含m的式子表示线段MQ的长，再根据MQDC列方程2第（2）题要判断四边形CQBM的形状，最直接的方法就是根据求得的m的值画一个准确的示意图，先得到结论3第（3）题BDQ为直角三角形要分两种情况求解，一般过直角顶点作坐标轴的垂线可以构造相似三角形满分解答（1）由，得A(2,0)，B(8,0)，C(0,4)（2）直线DB的解析式为由点P的坐标为(m, 0)，可得，所
12、以MQ当MQDC8时，四边形CQMD是平行四边形解方程，得m4，或m0（舍去）此时点P是OB的中点，N是BC的中点，N(4,2)，Q(4,6)所以MNNQ4所以BC与MQ互相平分所以四边形CQBM是平行四边形图2 图3（3）存在两个符合题意的点Q，分别是(2,0)，(6,4)考点伸展第（3）题可以这样解：设点Q的坐标为如图3，当DBQ90时， 所以解得x6此时Q(6,4)如图4，当BDQ90时， 所以解得x2此时Q(2,0)图3 图4相关题型1、如图，已知A（4，O），B（2，0），点C在直线y=x+2上移动，使ABC为直角三角形的点C共有（）个A4B3C2D1【考点】一次函数综合题菁优网版权
13、所有【分析】根据A为直角，B为直角与C为直角三种情况进行分析【解答】解：由题意知，直线y=x+2与x轴的交点为（4，0），与y轴的交点为（0，2），如图：当A为直角时，过点A作垂线与直线的交点W（4，4），当A为直角时，过点B作垂线与直线的交点S（2，1），当C为直角时，过AB中点E（1，0），作垂线与直线的交点为F（1，2.5），则EF=2.53，所以以3为半径，以点E为圆心的圆与直线必有两个交点综上所述，共有四个点能与点A，点B组成直角三角形故选A【点评】本题考查的是一次函数综合题，在解答此题时要分三种情况进行讨论，不要漏解2、（满分10分）如图1，点O在线段AB上，AO=2，OB=1，OC为射线，且BOC=60
