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1、 数学文化课程报告 数学形态学在图像边缘检测中的应用 数学形态学在图像边缘检测中的应用摘要：微分运算是边缘检测算子，如Robert算子、Sobel算子、Laplace算子等算子的核心，而我们传统的边缘检测算子为线性滤波方法，存在漏检、抗噪性能差等缺点。数学形态学方法是一种非线性滤波方法，它以图像的形态特征为研究对象，具有简化图像数据，保持图像基本的形状特征的特点，因此己广泛应用于图像处理的各个领域。关键词：数学形态学；边缘检测；微分运算The applications of mathematical morphology in the image edge detectionAbstract:
2、 Differential operation is the core of edge detection operators, such as Robert, Sobel, and Laplace. But our conventional edge operators, are liner filters and somewhat missing. Furthermore they are sensitive to noise. Mathematical morphology, a methodology of nonlinear filters, has some characteris
3、tics such as simplifying image data, maintaining the basic shape of the image characteristics. In a word, the study object of mathematical morphology is morphological character of image. So it has used widely in many fields of image processing.Key words: Mathematical morphology; edge detection; diff
4、erential operation1引言 数学形态学是一门新兴的图像分析学科，它建立在严格的数学理论基础之上。形态学图像处理的基本思想是利用一个称作结构元素的“探针”收集图像信息。当“探针”在图像中不断移动时，便可考察图像各个部分之间的相互关系，从而可以了解图像的结构特征。数学形态学中作为探针的结构元素，可以直接携带知识(形态、大小、甚至加入灰度和色度的信息)来探测研究图像的结构特点。 二值腐蚀和膨胀是最基本的形态学运算，利用二者可以构造出许多其它的形态学运算，如二值开闭运算、击中击不中变换、形态学梯度、Top-Hat变换等，这些运算适用于与图像处理有关的各个方面。 数学形态学因其坚实的理论
5、基础，简洁的基本思想，以及广泛的实际应用价值，而已迅速成为图像处理的一个主要研究领域。 2 二值形态学理论二值图像的数学形态学是最基础的形态学理论。所谓二值图像是指那些灰度值只能取两个可能值的图像。二值图像的形态学运算有:二值腐蚀和二值膨胀，开运算和闭运算以及击中击不中变换。以下分别介绍前四种运算。2.1 二值腐蚀和二值膨胀 (1)二值腐蚀 腐蚀表示用某种“探针”对一个图像进行探测，以便找出图像内部可以放下该基元的区域川。所有数学形态学运算都依赖于这一概念。 集合A被集合B腐蚀，表示为，其定义为: 用几何方法来表示更易于理解。如图2.1所示，A为原图像，B为一个形状为圆盘的结构元素。如果原点在
6、结构元素内部，那么，腐蚀具有收缩原图像的作用。从几何角度来看，圆盘在A的内部移动，将圆盘的原点位置标记出来，便得到A被B腐蚀后的图像。 图 2.1 正如上图2.1所示，二值腐蚀有如下性质:若原点在结构元素内部，如图(a)，则腐蚀后的图像为原图像的一个子集;若原点不在结构元素内部，如图(b)，那么腐蚀后的图像就可能不在原图像的内部。 另外，腐蚀还有一个很重要的表达形式: 也就是通过将输入图像A平移-b (b属于结构元素B)，然后计算所有平移的交集来得到腐蚀图像。如下图2.2所示。 (2)二值膨胀膨胀是腐蚀的对偶运算，可定义为对图像的补集进行的腐蚀运算。集合A被集合B膨胀，表示为，其定义为: 其中
7、，表示A的补集。二值腐蚀运算是对图像内部作滤波处理，而膨胀是利用结构元素对图像补集进行填充，容易得出，膨胀运算则是对图像外部作滤波处理。如图2.3所示，利用圆盘结构元素B对图像A进行膨胀，结果使A扩大了。关于膨胀，有一个并集表达形式如下: 根据上式，膨胀运算可以通过相对结构元素B的所有点来移动图像A，并计算其并集得到，如图2.4所示。 (3)二值腐蚀和膨胀在图像处理中的作用二值腐蚀在数学形态学运算中的作用是消除物体的边界点。如果结构元素选取3X3的像素块，腐蚀使得物体的边界沿周边减少一个像素。腐蚀可以把小于结构元素的物体去除，这样选取不同大小的结构元素就可以在原图像中去掉不同大小的物体。如果两
8、个物体之间有细小的连通，当结构元素足够大时，通过腐蚀运算可以将两个物体分开，这一点也正说明了腐蚀具有去除噪声的作用。当结构元素不包含原点时腐蚀还可以用于填充图像内部的孔洞。 膨胀运算相当于对图像外部做滤波处理。如果结构元素为一个圆盘，那么膨胀可以填充图像中相对于结构元素比较小的孔洞，以及在图像边缘处的小凹陷部分。膨胀运算还可以使距离比较近的两个物体连通起来。从图2.5中可以看出二值腐蚀和膨胀在图像处理中的效果。2.1 二值开闭运算 开运算和闭运算是对偶运算，均是以腐蚀和膨胀定义的。 (1)二值开运算 利用图像B对图像A作开运算，用符号表示，其定义为: 开运算可以用符号O(A, B)，OPEN(
9、A, B)来表示。 除了定义，我们还可以通过计算所有可以填入图像内部的结构元素平移的并集求得开运算。可以用下面的方程表示: 图2.6为开运算示意图，可以看出圆盘对矩形有圆化内角的效果。 (2)二值闭运算 利用图像B对图像A作闭运算，用符号表示，其定义为: 闭运算可以用C(A,B), CLOSE(A,B)来表示。另外，开闭运算为对偶运算，故二者满足下面的关系: 图2.7为闭运算的示意图，可以看出，闭运算对图形的外部作滤波，磨光了凸向图像内部的尖角。 (3)二值开闭运算的作用 二值开运算和二值闭运算都可以除去图像中那些比结构元素小的细节。 开运算是先进行腐蚀运算然后进行膨胀运算，可以去掉图像中微小
10、的连接，例如一些小的毛刺、孤立的点以及凸出部分，从而切断细长搭接，使图像更加平滑；闭运算是先进行膨胀运算然后进行腐蚀运算，可以去掉图像上的小孔和凹部，能填充目标内部小狗缺口或孔。另外，利用圆盘做开运算起到磨光图像内边缘的作用，因此，可以将开启L算看成一个低通滤波器。而利用圆盘做闭合运算起到磨光图像外边缘的作用，因此，可以将闭合运算看成一个高通滤波器。从图2.8中可以看出二值开闭运算在图像处理中的效果。3 数字图像边缘检测方法 由于边缘为灰度值急剧变化的部分，所以微分作为提取函取变化部分的运算能够在边缘检测中使用。 一条理想的边缘是一组相连的像素的集合，每个像素都处在灰度级跃变的一个垂直的台阶上
11、，如图3.1(a)中所示的水平剖面图。而实际上得到的边缘是模糊的，结果被模拟成具有“类斜面”的剖面，如图3.1(b)所示，其中斜坡部分与边缘的模糊程度成比例。图3.2所示的是两个区域间边缘的一条水平的灰度级剖面线以及灰度级剖面线的一阶和二阶导数。可以看出:一阶导数可以用于检测图像中的一个点是否是边缘的点(也就是判断一个点是否在斜坡上);二阶导数可以用于判断一个边缘像素是在边缘亮的一边还是暗的一边。 图3.1，图3.2所示均在一维水平剖面线范围内，事实上所得的结论可以应用于图像中的任何方向上。 微分运算中有一阶微分与二阶微分，本节会对这两种运算分别作研究。 3.1 一阶微分 作为坐标点(x,y)处的灰度倾斜度的一阶微分值(也称为梯度运算)，可以用具有大小和方向的向量来表示。其中fx为x方向的微分，fy为y方向的微分。 一阶微分的计算公式非常简单:
