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1、【名校精品解析系列】云南省部分名校2015届高三1月份统一考试(数学文) 命题 昆明三中高三年级数学备课组【试卷综述】本次期末数学试卷,能以大纲为本,以教材为基准,基本覆盖了平时所学的知识点,试卷不仅有基础题,也有一定的灵活性的题目,能考查学生对知识的掌握情况,实现体现了新课标的新理念,试卷注重了对学生的思维能力、运算能力、计算能力、解决问题能力的考查,且难度也不大,在出题发面应该是一份很成功的试卷。【题文】一选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的【题文】1集合,若,则实数的取值范围是( )A. B C. D【知识点】集合的运算A1【答
2、案】【解析】D解析:因为 ,所以,即,故选D.【思路点拨】由集合的运算直接计算即可.【题文】2.已知为虚数单位,复数满足,则 ( )AB CD【知识点】复数运算L4【答案】【解析】A解析:, 故选A.【思路点拨】由复数运算直接计算即可.【题文】3.下列函数中,在其定义域内既是偶函数又在上单调递增的函数是( )A. B. C. D. 【知识点】函数的奇偶性,单调性B4 B3【答案】【解析】C解析: 和是偶函数,在上单调递减,为奇函数,故选C.【思路点拨】根据函数的性质之奇偶和增减的定义可求.【题文】4.已知向量,其中,且,则向量与的夹角是( )A B. C. D.【知识点】向量的定义F1【答案】
3、【解析】B解析:,即, ,所以,故选B.【思路点拨】,即,即可求.【题文】5执行如图所示的程序框图,输出的S值为时,则输入的的值为( )A. B. C. D.【知识点】程序框图L1【答案】【解析】D解析:设,第一次循环,;第二次循环,;第三次循环,;循环终止,此时,故选D.【思路点拨】按条件依次循环,当循环终止时,即可求解.【题文】6. 设, ,给出下列三个结论: ; ; ,其中所有的正确结论的序号是 ( ).A B. C. D. 【知识点】不等式的性质E1【答案】【解析】D解析:,又,正确;由指数函数性质,可得,正确;,而,正确;故选D. 【思路点拨】由不等式性质,结合其他性质,加以计算可得
4、.【题文】7.已知函数,则下列结论正确的是()A两个函数的图象均关于点成中心对称图形B两个函数的图象均关于直线成轴对称图形C两个函数在区间上都是单调递增函数 D两个函数的最小正周期相同【知识点】三角函数的性质C4【答案】【解析】C解析: ,图像关于点成中心对称图形,关于直线成轴对称图形,在区间上是单调递增, 最小正周期为;,图像关于点成中心对称图形,关于直线成轴对称图形,在区间上是单调递增, 最小正周期为,故选C.【思路点拨】此类题一般都是先化简,再根据化简后的结果,由三角函数的性质一一判断.【题文】8.已知是所在平面内一点,现将一粒黄豆随机撒在内,则黄豆落在内的概率是 ( )A. B. C.
5、 D. 【知识点】几何概型K3【答案】【解析】D解析:由得,设BC边中点为D,则,P为AD中点,所以黄豆落在内的概率是,故选D.【思路点拨】:由得P为BC边中线AD的中点,由此可得黄豆落在内的概率.【题文】9已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于( )A. B. C. D.【知识点】三视图G2【答案】【解析】A解析:由已知中的三视图,我们可以判断该几何体是由一个直三棱柱和一个四棱锥组成,三棱柱的底面是一个直角边长为4的直角三角形,高为4,四棱锥的底面是一个以4为边长的正方形,高为4,分别求出棱柱和棱锥的体积,其中直三棱的底面为左视图,高为8-4=4,故,四棱锥的底面为边长为4的正方
6、形,高为4,故,故该几何体的体积,故选A.【思路点拨】由已知中的三视图,可以判断该几何体是一个直三棱柱和一个四棱锥的组合体.【题文】10.在中,内角的对边分别为,若的面积为,且, 则等于( )A. B. C. D. 【知识点】正弦定理 余弦定理C8【答案】【解析】C解析:由余弦定理,联立,得,即,结合,得或(舍),从而,故选 C.【思路点拨】联立和,得,从而可求.【题文】11定义在R上的函数满足,且时,则=( )A. B. C. D.【知识点】函数的奇偶性 周期性B4【答案】【解析】A解析:因为,所以是奇函数,所以当时,则,因为,所以,所以是周期为4的周期函数。而,所以故选A.【思路点拨】因为
7、,所以是奇函数,因为,所以,所以是周期为4的周期函数,从而.【题文】12.抛物线()的焦点为,已知点、为抛物线上的两个动点,且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线,垂足为,则的最大值为( )A. B. 1 C. D. 2【知识点】抛物线 重要不等式 H7 E6【答案】【解析】A解析:如下图所示,设.则,所以故选A.【思路点拨】由抛物线性质可得,余弦定理得,再利用重要不等式即可得 .【题文】二填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在答题卡上)【题文】13.设,其中实数满足, 则的取值范围是_.【知识点】线性规划E5【答案】【解析】 解析:约束条件对应的平面区域如图示:约束条件由图易
8、得目标函数z=x+2y在处取得最小值,此时, 在B处取最大值,由可得,此时,故的取值范围为:故答案为:.【思路点拨】根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域,结合z在目标函数中的几何意义,求出目标函数的最大值及最小值,进一步线出目标函数z的范围 【题文】14.已知圆,直线上动点,过点作圆的一条切线,切点为,则的最小值为_.【知识点】圆的切线方程H4【答案】【解析】2解析:由题意可得,为,且,即,要使取最小值,只需最小即可,最小值为圆心O到直线的距离,为,所以,故答案为2.【思路点拨】由题意可得,中,即,要使取最小值,只需最小即可.【题文】15观察下列等式:根据上述规律,第个等式为 【知识点】
9、合情推理与演绎推理M1【答案】【解析】解析:由题意得,可得第n项为,所以第个等式为故答案为.【思路点拨】观察各个等式,找其中的规律,便可得到结果.【题文】16表面积为的球面上有四点且是等边三角形,球心到平面的距离为,若平面平面,则棱锥体积的最大值为 .【知识点】棱锥的体积G7【答案】【解析】27解析:由题意画出几何体的图形如图:因为球的表面积为,所以球半径为,由于面SAB面ABC,所以点S在平面ABC上的射影D落在AB上,由于OO平面ABC,SD平面ABC,即有OOSD,当D为AB的中点时,SD最大,棱锥S-ABC的体积最大由于则,则ABC是边长为6的正三角形,则的面积为:.在直角梯形SDOO
10、中,作于点E,,即有三棱锥S-ABC体积,故答案为27.【思路点拨】由于面SAB面ABC,所以点S在平面ABC上的射影D落在AB上,D为AB中点时,SD最大,棱锥S-ABC的体积最大运用线面垂直的性质,结合勾股定理,即可求得CD,AB,及SD,由三棱锥的体积公式即可得到最大值【题文】三解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)【题文】17. (本小题满分12分)已知数列的前项和和通项满足,数列中,, .(1)求数列的通项公式;(2)数列满足,求的前项和. 【知识点】数列求和D4【答案】【解析】(1) (2)解析:(1)由,得当时,即(由题意可知)是公比为的等比数
11、列,而,由,得(2),设,则由错位相减,化简得: (12分)【思路点拨】(1)由,得可求;(2)数列为差比数列,利用错位相减法求解即可.【题文】18(本小题满分12分)云南省2014年全省高中男生身高统计调查数据显示:全省100000名男生的平均身高为170.5cm.现从我校高三年级男生中随机抽取50名测量身高,测量发现被测学生身高全部介于157.5cm和187.5 cm之间,将测量结果按如下方式分成6组:第一组 157.5,162.5,第二组162.5,167.5,第6组182.5,187.5,下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图(1)试评估我校高三年级男生在全省高中男生中的平均身高状况
12、;(2)已知我校这50名男生中身高排名(从高到低)在全省前100名有2人,现从身高182.5cm以上(含182.5 cm)的人中任意抽取2人,求该2人中至少有1人身高排名(从高到低)在全省前100名的概率.【知识点】频率分布直方图 古典概率I2 K2【答案】【解析】(1)170.5(2)解析:(1)由直方图,经过计算我校高三年级男生平均身高为高于全市的平均值170.5(6分)(2)这50人中182.5 cm以上的有5人,分别设为A,B,C,D,E,其中身高排名在全省前100名为A,B。设“该2人中至少有1人身高排名(从高到低)在全省前100名”为事件A,由列举法可知(12分)【思路点拨】由直方
13、图中可直接求平均值;由列举法可得2人中至少有1人身高排名(从高到低)在全省前100名的概率,此问也可利用对立事件求解.【题文】19(本小题满分12分)如图,为圆的直径,点在圆上,且,矩形所在的平面和圆所在的平面互相垂直,且 ,(1)求证:平面平面(2)在线段上是否存在一点,使得平面,并说明理由【知识点】面面垂直 线面平行G5 G4【答案】【解析】(1)略(2)CF中点M解析: (1)平面ABCD平面ABEF,CBAB,平面ABCD平面ABEF=AB,CB平面ABEF,AF平面ABEF,AFCB,又AB为圆O的直径,AFBF,AF平面CBFAF面AFC,平面AFC平面CBF;(6分)(2)取CF中点记作M,设DF的中点为N,连接AN,MN则MN,又AO,则MNAO,所以MNAO为平行四边形,(10分)OMAN,又AN平面DAF,OM平面DAF,OM平面DAF (12分)【思路点拨】(1)要证面面垂直,只需线面垂直(2)要证线面平行,可通过线线平行,也可通过面面平行去证.【题文】20(本小题满分12分)如图,已知椭圆:的离心率为,且过点,四边形的顶点在椭圆上,且对角线过原点, 。(1)求的取值范围;(2)求证:四边形的面积为定值.【知识点】椭圆方程H5【答案】【解析】(1)(2)略解析:(1)当直线AB的