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1、数列极限和数学归纳法一、 知识点整理：数列极限：数列极限的概念、数列极限的四则运算法则、常见数列的极限公式以及无穷等比数列各项的和要求：理解数列的概念，掌握数列极限的四则运算法则和常见数列的极限，掌握公比当时无穷等比数列前项和的极限公式及无穷等比数列各项和公式，并用于解决简单的问题。1、理解数列极限的概念：等数列的极限2、极限的四则运算法则：使用的条件以及推广3、常见数列的极限：4、无穷等比数列的各项和：数学归纳法：数学归纳法原理，会用数学归纳法证明恒等式和整除性问题，会利用“归纳、猜想和证明”处理数列问题（1）、证明恒等式和整除问题（充分运用归纳、假设，拆项的技巧，如证明能被64整除，），证
2、明的目标非常明确；（2）、“归纳猜想证明”，即归纳要准确、猜想要合理、证明要规范，这类题目也是高考考察数列的重点内容。二、 填空题1、 计算：=_3_。2、 有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为 .3、4、 数列的通项公式，前项和为，则=_.5、 设是公比为的等比数列，且，则3 6、 在等比数列中，已知，则_.7、 数列的通项公式是，则 =_ .8、已知数列是无穷等比数列，其前n项和是，若， 则的值为 . 9、设数列满足当（）成立时，总可以推出成立下列四个命题：（1）若，则（2）若，则（3）若，则（4）若，则其中正确的命题是 （2）（3） （4） .（填写你认为正确
3、的所有命题序号）10、将直线：，：，：（，）围成的三角形面积记为，则_11、 在无穷等比数列中，所有项和等于2， 12、设无穷等比数列的公比为q，若，则q=_13、 已知点，其中为正整数，设表示的面积，则_2.5_14、 下列关于极限的计算，错误的序号_（2）_（1）=（2）（+）=+=0+0+0=0（3）（n）=；（4）已知=（15）已知是定义在实数集上的不恒为零的函数，且对于任意，满足，记，其中考察下列结论：；是上的偶函数；数列为等比数列；数列为等差数列.其中正确结论的序号有 二、选择题：16、已知,若，则的值不可能是 （ （D） ）（A） . （B）. （C）. （D）. 17、若存在，
4、则的取值范围是 （ （A） ）（A）或 ；（B）或；（C）或 ；（D）观察下列式子：，可以猜想结论为(C) ) .(A) ；(B) (C) ；(D) 19、已知，是数列的前n项和（ (A） ）(A） 和都存在 ； (B) 和都不存在 。 (C) 存在，不存在 ； (D) 不存在，存在。20、设双曲线上动点到定点的距离的最小值为，则的为（ (A） ） （A） （B） （C） 0 （D）1三、综合题：21、在数列中，。（1）求（2）猜想数列的通项公式，并证明你的结论。(1) ;(2) 22、已知数列满足，双曲线。（1）若，双曲线的焦距为，求的通项公式；（2）如图，在双曲线的右支上取点，过作轴的垂线
5、，在第一象限内交的渐近线于点，联结，记的面积为。若，求。（关于数列极限的运算，还可参考如下性质：若，则。）29.（1）；（2）数列综合题1. 定义：如果数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称为“三角形”数列对于“三角形”数列，如果函数使得仍为一个“三角形”数列，则称是数列的“保三角形函数”，.(1)已知是首项为2，公差为1的等差数列，若是数列的“保三角形函数”，求k的取值范围；(2)已知数列的首项为2010，是数列的前n项和，且满足，证明是“三角形”数列。 解：(1)显然，对任意正整数都成立，即是三角形数列 因为k1，显然有，由得，解得.所以当时，是数列的“保三角形函数”. (2)
6、 由得,两式相减得所以，经检验，此通项公式满足 显然，因为，所以 是“三角形”数列 2. 已知数列的前项和为，（为正整数）. （1）求数列的通项公式；（2）记，若对任意正整数，恒成立，求的取值范围?（3）已知集合，若以a为首项，a为公比的等比数列前n项和记为，问是否存在实数a使得对于任意的.若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.23(1) 由题意知，当时， 两式相减变形得: 又时， ，于是 1分 故 是以为首项，公比的等比数列 4分(2) 由 得 = 5分当n是偶数时，是的增函数， 于是，故 7分当n是奇数时，是的减函数， 因为，故k19分综上所述，k的取值范围是 10分（3）当，若此
7、不等式组的解集为空集.即当a. 13分当而是关于n的增函数.且 15分因此对任意的要使解得18分3. 已知抛物线，过原点作斜率为1的直线交抛物线于第一象限内一点，又过点作斜率为的直线交抛物线于点，再过作斜率为的直线交抛物线于点，如此继续。一般地，过点作斜率为的直线交抛物线于点，设点（1）求的值；（2）令，求证：数列是等比数列；（3） 记 为点列 的极限点，求点的坐标解：（1）直线 的方程为，由解得，1分直线的方程为，即由得，2分直线的方程为，即由解得，所以 3分（2）因为，由抛物线的方程和斜率公式得到5分 所以，两式相减得 6分用代换得， 由（1）知，当时，上式成立，所以是等比数列，通项公式为
8、 7分（3）由 得，8分 以上各式相加得10分所以，即点的坐标为 12分4、 设数列的首项为常数，且（1）证明：是等比数列；（2）若，中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项，若不存在说明理由（3）若是递增数列，求的取值范围32 证明：（1）因为，所以数列是等比数列；3分（2）是公比为2，首项为的等比数列通项公式为， 4分若中存在连续三项成等差数列，则必有，即解得，即成等差数列7分（3）如果成立，即对任意自然数均成立化简得 9分当为偶数时,因为是递减数列，所以，即；10分当为奇数时，,因为是递增数列，所以，即；11分故的取值范围为12分5、 已知各项均不为零的数列的前项和为，且，其中.
9、（1）求证：成等差数列；（2）求证：数列是等差数列；（3）设数列满足，且为其前项和，求证：对任意正整数，不等式恒成立.证：（1）当当 （2分）当当 （4分）由此可得：成等差数列. （5分） （2）当由故即 （7分）从而因此,故数列是等差数列. （10分）6、 已知数列、的各项均为正数，且对任意，都有，成等差数列，成等比数列，且，（1） 求证：数列是等差数列；（2）求数列、的通项公式。7、 在数列中，已知，前项和为，且.（其中）。（1）求数列的通项公式；（2）求。（1）因为，令，得，所以；（ 2分）（或者令，得）当时， ，推得，（5分）又，所以当时也成立，所以，（）（ 6分）（2）=（ 9分）8
10、、已知数列的前项和为，且，N*（1）求数列的通项公式；（2）已知（N*），记(且)，是否存在这样的常数，使得数列是常数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【解】（1），所以1分由得时，2分两式相减得，3分数列是以2为首项，公比为的等比数列，所以（）5分（2）由于数列是常数列=6分为常数7分只有,8分；解得,9分此时10分9、已知有穷数列各项均不相等，将的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列，称为的“序数列”例如数列：满足，则其序数列为（1）写出公差为的等差数列的序数列；（2）若项数不少于5项的有穷数列、的通项公式分别是()，()，且的序数列与的序数列相同，求实数的取值范围。23、解：(1)当时，序数列为；.2当时，序数列为.4(2)因为，.5当时，易得，当时，又因，即，故数列的序数列为，.8所以对于数列有，解得：.10
