【问题提出】a1—1自然数在现代数学中的定义与在小学.

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1、【问题提出】A11自然数在现代数学中的定义与在小学数学课本中的说明有什么不同？ 【释问参考】 最先给出自然数纯逻辑定义的是德国数学家、逻辑学家弗雷格和英国数学家、逻辑学家和哲学家罗素，他们将每个自然数定义为“可以建立一一对应的所有的有限集组成的集”这一定义被成为“弗雷格罗素的自然数定义”。为了建立自然数公理化体系，意大利数学家和逻辑学家G.皮亚诺在1891年给出了关于自然数的五条公理：10是一个自然数；20不是任何其他自然数和后续；3每一个自然数a都有一个后续；4如果自然数a与b的后续相等，则a、b也相等。5如果一个由自然数组成的集合s包含0，并且当s包含某一个自然数a时，它一定也包含a的后续

2、，那么就包含全体自然数。 为了使自然数这个定义通俗易懂，小学数学基础理论教科书将每一个自然数定义为“可以建立一一对应的一类有限集的共同性质”，如在教学5的认识时，通过引导学生观察画面上的五位解放军、五匹马、五支枪等等不同物体的集合，然后引导学生寻求这些物体集合的共同点：“它们都是五个”，“五”就是这些物体集合的共同性质，从而初步形成自然数“五”的概念。 小学数学课本中对自然数的说明是在这样的：用来表示物体个数的数1，2，3，就叫自然数。“0”表示没有东西可数，“0”也是一个自然数，“1”是自然数的单位。任何一个自然数都是有若干个“1”组成的。 【思考练习】 小学数学课本中关于对自然数的教学的理

3、论依据是（ B ）。 A“弗雷格罗素的自然数定义”。 B小学数学基础理论教科书。 CG.皮亚诺的关于自然数的五条公理。【问题提出】A12 自然数的“基数意义”和“序数意义”有什么不同？ 【释问参考】 当自然数0，1，2，用来表示有限集合中元素的个数时，这样的数叫做“基数”。如“这幢住宅楼是5层楼”，这里的“5”就是基数。当自然数被用来表示事物的排列次序时，这样的数就叫做“序数”。如“我住在这幢住宅楼的5楼”，这里的“5”就是序数，表示“第5”的意思。 在一个句子里出现的自然数究竟是基数、还是序数，要根据语言环境来判定（如上文）。 【思考练习】 体育课上，同学们排成一列横队“报数”，排头从“1”

4、开始，报到排尾是“35”，这个“35”（C ）。A表示这一队学生共有35人。 B表示排尾的学生是第35个。 C既表示这一队学生共有35人，也表示排尾的学生是第35个。 【问题提出】A13 自然数、正整数和整数之间的区别和联系是什么？ 【释问参考】 正整数：一个一个地数东西而产生的、用来表示物体个数的数1，2，3，也叫正整数。当我们数每一棵苹果树上有多少个苹果时，可能遇到一个苹果也没有的情形。要数的东西一个也没有，就用“0”表示。0与正整数统称为自然数。 负整数：为了表示现实世界中具有相反意义的量，人们引入了正数与负数。如“盈利5元”用“5元”表示，“亏损5元”就用“5元”表示。 这种在一个数前

5、添加的用来表示它的“正”、“负”的符号叫做性质符号。添加了性质符号“”或“”的数分别称为正数和负数。“0”既不是正数，也不是负数。正数中的正号可以省略不写。添加了负号“”的正整数叫做负整数。 整数：正整数、零、负整数统称整数。 正整数 自然数整数 零 负整数【思考练习】 自然数、正整数和整数这三个数概念中，（C ）的范围最大。 A、自然数B、正整数C、整数 【问题提出】A14 为什么以前规定“0不是自然数”，现在又规定“0是自然数”？ 【释问参考】 1891年，意大利数学家G.皮亚诺在建立自然数的公理化体系时，给出的一个公理就是“0是一个自然数”。而在我国流传甚广的范氏大代数的第一编中，则明确

6、提出：所谓自然数，就是用符号1,2,3，分别表示并称为一，二，三的数。可见，在各国的学术界，“0是自然数”与“0不是自然数”的观点并存。现在看来，“0不是自然数”在应用中有其方便之处，而“0是自然数”就数的产生历史而言更为“自然”。作为数学列强的俄罗斯数学界一直坚持“0不是自然数”。 1949年，中华人民共和国成立后，我国许多学科的教学大纲和教科书都是参照苏联的版本翻译的。M.K.格列本卡所著的高等学校教学用书算术（第6页）中明确指出：数（sh）树上的苹果时，可能某一棵树一只苹果也没有，这时我们就说这棵树上的苹果数目为0。0就是没有东西可数。0作为一个数，不属于自然数。于是，“0不是自然数”的

7、判断在我国中小学数学课程中广为传播。 20世纪80年代以来，我国实行对外开放，为了便于国际交流，在科技与教育上和国际接轨，1993年颁布的中华人民共和国归家标准（GB3100-3102-93）“量和单位”（11-29）第311页规定：自然数包括0。随后，中小学数学教材在进行修订时，根据上述国家标准进行了修改。数物体时如果一个物体也没有，就用0表示。0也是自然数。 1994年11月国家技术监督局发布的中华人民共和国国家标准物理科学和技术中使用的数学符号中，将自然数集记为N=0,1,2,3，而将原自然数集称为非零自然数集N+（或N*）=1,2,3，。 我国国家标准局的专家们是从世界各国的两种不同的

8、规定中取其一，希望更有利于国家交流。 规定“0是自然数”后，自然数按约数个数的分类也发生了变化，分为这样四部分： （1）质数（有且只有2个约数） （2）合数（有3个或3个以上的约数） （3）1（只有1个约数） （4）0（0以外的任何数都是它的约数） 【思考练习】 下面说法中，（A ）是最恰当的。 A、以前规定“0不是自然数”，现在规定“0是自然数” B、0是自然数 C、0不是自然数【问题提出】A15 “自然数集”、“自然数列”、“扩大的自然数列”和“非零自然数集”有哪些区别和联系？自然数列有哪些基本性质？ 【释问参考】 自然数集：所有的自然数组成的集合叫做“自然数集”。“自然数”和“自然数集”

9、是两个不同的概念。我们可以说“3是自然数”，但不能说“3是自然数集”。因为“自然数集”是一个集合概念，即从整体上反映一个集合体的概念。“自然数”则是非集合概念。 自然数列：将所有的自然数按照从小到大的顺序排成一列 0，1，2，3 这样的一列数叫做自然数列。“自然数列”的项和“自然数集”中的元素是一样的，都必须包括所有的自然数，它们的区别就在于自然数集不讲究所含元素的顺序，而自然数列中所有的自然数都必须按照从小到大的顺序排列。只要有一处违反了这样的排列顺序，如0，2，1，3，它就不是自然数列。当然，少了一个自然数的数集或数列也不再是自然数集或自然数列。 扩大的自然数列：这是一个应该消亡的数学名词

10、。当我们认为“0不是自然数”时，把1，2，3叫做“自然数列”；而将0，1，2，3称为“扩大的自然数列”。现在，国家标准重新规定“0是自然数”，因此，后者顺理成章地应该称之为“自然数列”。“扩大的自然数列”作为一个数学名词已经不再需要。 非零自然数列：认为0是自然数后，0除外的自然数组成的数列叫做非零自然数列。 自然数列有以下的性质： （1）有始。自然数列是从0开始的。0不是任何其他自然数的后继； （2）有序。每一个自然数都有且只有一个后继；除了0，每个自然数都有且只有一个先行数（即紧挨在其前面的一个数）； （3）无限。自然数列是一个无限数列。没有最后的或者说最大的自然数。 【思考练习】 下面的

11、这一列数（B ）自然数列。 0，1，2，4，5， A、是 B、不是【问题提出】A16 “计数”、“记数”、“数数”、“写数”各指什么？什么是计数的基本原理？为什么我们的计数制和记数制都是十进制的？ 【释问参考】 “计数”“数数”: “计数”就是“数数”。指的是把一些事物与非零自然数列里的数1，2，3，建立一一对应的过程。 计数的基本原理是：只要不遗漏、不重复，计数的结果与计数的顺序无关。 十进制计数法：计数时，可以一个一个地数，也可以几个几个地数。如两个两个地数，五个五个地数，十个十个地数，等等。用一（个）、十、百、千、万作为计数单位的计数方法，叫做十进制计数法。这时，每十个较低的计数单位等于

12、一个较高的计数单位。 “记数”“写数”：“记数”就是“写数”。指的是如何用数字符号将一个数N（或者计数的结果）记录下来。 十进制记数法：当我们用十进制计数法弄清了一个数的组成后，就可以按照十进制记数法用数字符号0,1,2,，9把这个数记录下来。 由于自然数有无限多个，要对每一个自然数都给一个独立的名称和记号是不可能的。现在国际上通用的记数方法是用0，1，2，9分别表示自然数列里的前十个数。其他自然数则用这些数字按“位值原则”表示。即每个数字占有一个位置，叫做“数位”。每个数位表示一种计数单位。同一个数字（0除外）在所记的数里位置不同，所表示的数值也不同。 在所记的数里，从右往左，第一位是个位，

13、第二位是十位，第三位是百位个位的计数单位是一，十位的计数单位是十，百位的计数单位是百因为每两个相邻数位的计数单位的进率都是十，所以这种记数的方法叫做十进制计数法。 【思考练习】 自然数5023中的数字“2”根据“位值原则”表示2个（B）。 A、一 B、十 C、百D、千【问题提出】A17 “数”和“数字”的区别和联系是什么？【释问参考】 用来记数的符号叫做“数字”。数和数字是两个不同的概念。数或为单数，或为双数；或为质数，或为合数。数字或为罗马数字，或为阿拉伯数字；或为手写的数字，或为印刷的数字。事实上，数字并不是数，而是表示数的记号。数是数字所表达的内容而不是数字本身。我国是世界上的文明古国之

14、一。在我国，用文字记数已有悠久的历史。早在三千多年前的商代的甲骨文里，就已经记有数字。其中记载的最大的数是“三万”，最小的数是“一”。一、十、百、千、万各有专名。特别是当时已经采用了十进制的记数方法，这和现在世界通用的“十进制计数法”是一致的。【思考练习】用来记数的符号叫做（C ）。A、数B、数位 C、数字【问题提出】A18 说“43”是数而不是数字对吗？【释问参考】 表示数的符号叫做数字。因为“43”是一个数学符号，在十进制记数法中，用来表示由四个十与三个一组成的自然数，所以它是数字，而且是由数字“4”与“3”排成一列组成的“复合数字”。同时，“43”也表示一个数，由四个十与三个一组成的数。另一方面，在一定的语言环境中出现的数字“43”，也可以用来表示一个k进制的自然数，即四个k与三个一组成的数。在这里，因为出现了数字“4”，所以k5。总之，“43”既是一个数，也是一个数字。同样，对于任一个用符号表示的自然数来说，它既是一个数，也是一个数字。当它在一个语句中出现时，究竟何所指，要看特定的语言环境。【思考练习】从上文的分析看来，“43”是（C）。A、一个数 B、一个数字 C、既是一个数，也是一个数字【问题提出】A19 “数的组成”、“数的名称”和“数的读写”有什么联系？【释问参考】 数的组成：在认识某个范围内的自然数时，首先要认识这些数的组成。如认识一个千以内的数，