【2017年整理】微分方程模型

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1、第 5 章 微分方程模型5.1 某人每天由饮食获取 10467 焦热量，其中 5038 焦用于新陈代谢，此外每公斤体重需支付 69 焦热量作为运动消耗，其余热量则转化为脂肪，已知以脂肪形式贮存的热量利用率为 100%，每公斤脂肪含热量 41868 焦，问此人的体重如何随时间而变化？5.2 生活在阿拉斯加海滨的鲑鱼服从 Malthus 增长模型)(03.)(tpdt其中 以分钟计。在 时一群鲨鱼来到此水域定居，开始捕食鲑鱼。鲨鱼捕杀鲑鱼的速t率是 ，其中 是 时刻鲑鱼总数。此外，由于在它们周围出现意外情况，平)(01.2tp)(t均每分钟有 0.002 条鲑鱼离开此水域。（1）考虑到两种因素，试

2、修正 Malthus 模型。（2）假设在 是存在 100 万条鲑鱼，试求鲑鱼总数0t，并问 时会发生什么情况？)(tp5.3 根据罗瑟福的放射性衰变定律，放射性物质衰变的速度与现存的放射性物质的原子数成正比，比例系数成为衰变系数，试建立放射性物质衰变的数学模型。若已知某放射性物质经时间 放射物质的原子下降至原来的一半（ 称为该物质的半衰期）试决定其21T21T衰变系数。5.4 用具有放射性的 测量古生物年代的原理是：宇宙线轰击大气层产生中子，中14C子与氮结合产生 。植物吸收二氧化碳时吸收了 ，动物食用植物从植物中得到 。14 14C14C在活组织中 的吸收速率恰好与 的衰变速率平衡。但一旦动

3、植物死亡，它就停止吸14收 ，于是 的浓度随衰变而降低。由于宇宙线轰击大气层的速度可视为常数，既动14C14物刚死亡时 的衰变速率与现在取的活组织样本（刚死亡）的衰变速率是相同的。若测得古生物标本现在 的衰变速率，由于 的衰变系数已知，即可决定古生物的死亡时1414C间。试建立用 测古生物年代的模型（ 的半衰期为 5568 年） 。C5.5 试用上题建立的数学模型，确定下述古迹的年代：（1）1950 年从法国 Lascaux 古洞中取出的碳测得放射性计数率为 0.97 计数（） ，而活树木样本测得的计数为 6.68 计数（ ） ，试确定该洞中绘画的年代；ming ming（2）1950 年从某

4、古巴比伦城市的屋梁中取得碳标本测得计数率为 4.09 计数（） ，活数标本为 6.68 计数（ ） ，试估计该建筑的年代。i ing5.6 一容器用一薄膜分成容积为 和 的两部分，分别AVB装入同一物质不同浓度的溶液。设该物质分子能穿透薄膜由高浓度部分向低浓度部分扩散，扩散速度与两部分浓度差成正比，比例系数称为扩散系数。试建立描述容器中溶液浓度变化的数学模型。设 ，每隔 100s 测量其中一部分溶液的浓度共 10 次，具体数)(lVBA据为 454，499，535，565，590，610，626，650，659，单位为 。试建立扩散系3/mol数，并决定 2h 后两部分中溶液的浓度各为多少。5

5、.7 建立耐用消费品市场销售量的模型。如果已知了过去若干时期销售量的情况，如何确定模型的参数。5.8 根据经验当一种新产品投入市场后，随着人们对它拥有量的增加，其销售量的下降速度与 成正比。广告宣传可给销售量添加一个增长速度，它与广告费)(ts)(ts成正比，但广告只能影响这种商品在市场上尚未饱和的部分（设饱和量为 ） 。建立a M销量 的模型。若广告宣传只进行有限时间 ，且广告费为常数 ，问 如何变化？)(ts a)(ts5.9 对于技术革新的推广，在下列几种情况下分别建立模型（1）推广工作通过已经采用新技术的人进行，推广速度与已采用新技术的人数成正比，推广是无限的。（2）总人数有限，因而推

6、广速度随着尚未采用的新技术人数的减少而降低。（3）在（2）的前提下还要考虑广告等媒介的传播作用。5.10 某种细菌的增长率不知道，但假设它是常数，试验开始时估计大约有 11500 个细菌，一时后有 2000 个，问四时后大约有多少细菌？5.11 假设某生物种群的增长率不是常数，它以某种的方式依赖于环境的温度。如果已知温度是时间的函数，试给出初始为 的生物种群的增长模型。证明种群以指数增长系0N数 而增长或衰减，即 ，这个增长系数等于时间依赖增长的平均值。)(tRE tRE)(5.12 只考虑人口的自然增长，不考虑人口的迁移和其它因素，纽约人口满足方程 261052dt若每年迁入人口 6000

7、人，而每年约有 4000 人被谋杀，试求出纽约的未来人口数，并讨论长时间后纽约的人口状况。5.13 一群体的增长受自限规律制约。设在一定环境下该群体的生存极限数为 ，8105当群体中生物很少时，每 40mm 增加一倍。若开始时动物分别为 和 ，求 2h 后群体7108中动物的总数。5.14 某地有一池塘，其水面面积约为 ，用来养殖某种鱼类。在如下的假210m设下，设计能获取较大利润的三年的养鱼方案。（1）鱼的存活空间为 ；2/1mkg（2）每 鱼每需要的饲料为 ，市场上鱼饲料的价格为 ；kk05. kg/2.0元（3）鱼苗的价格忽略不计，每 鱼苗大约有 500 条鱼；kg1（4）鱼可四季生长，

8、每天的生长重量与鱼的自重成正比，365 天长成为鱼，成鱼的重量为 ；kg2（5）池内鱼的繁殖与死亡均忽略；（6）若 为鱼重，则此种鱼的售价为 q25.1 İ/ .q Q （7）该池内只能投放鱼苗。5.15 人工肾是帮助人体从血液中带走废物的装置，它通过一层薄膜与需要带走废物的血管相通如下图，人工肾中通以某种液体，其流动方向与血液在血管中的流动方向相反，血液中的废物透过薄膜进入人工肾设血液和人工肾中液体的流速均为常数，废物进入人工肾的数量与它在这两种液体中的浓度差成正比。人工肾总长 建立单l位时间内人工肾带走废物数量的模型5.16 在鱼塘中投放 尾负苗，随着时间的增长，尾数将减少而每尾的重量将增

9、加.0n（1）设尾数 的(相对)减少率为常数；由于喂养引起的每尾鱼重量的增加率与鱼t表面积成正比，由于消耗引起的每尾鱼重量的减少率与重量本身成正比分别建立尾数和每尾鱼重的微分方程，并求解（2）用控制网眼的办法不捕小鱼，到时刻 T 才开始捕捞，捕捞能力用尾数的相对减少量 表示，记作 E，即单位时间捕获量是 问如何选择 T 和 E，使从 T 开始的捕n )(tEn获量最大.5.17 建立肿瘤生长模型通过大量医疗实践发现肿瘤细胞的生长有以下现象：1)当肿瘤细胞数目超过 1011时才是临床可观察的；2)在肿瘤生长初期，几乎每经过一定时间肿瘤细胞就增加一倍；3)由于各种生理条件限制，在肿瘤生长后期肿瘤细

10、胞数目趋向某个稳定值(1)比较 Logistic 模型与 Gompertz 模型： ，其中 是细胞数，N 是ndtl)(t极限值， 是参数液体流动方向薄膜血管 血液流动方向人工肾(2)说明上述两个模型是 Usher 模型： 的特例5.18 药物动力学中的 Michaelis-Menton 模型为 dtx（ ） ， 表示人体内药物在时刻 的浓度研究这个方程的解的性质. xak0,)(txt（1）对于很多药物(如可卡因)， 比 大得多，Michadis-Menton 方程及其解如何a)(x简化（2）对于另一些药物(如酒精)， 比 大得多，Michaeli-Menton 方程及其解如何)(t简化5.

11、19 考虑一个受某种物质污染的湖水，假设这个湖的湖水体积 （以立方米计）不V变，且污染物质均匀地混合于湖水中。以 记在任一时刻 每立方米湖水所含污染物的)(txt克数，这是污染程度的一种合适量度，习惯称它为污染浓度。令 记每天流出的湖水立方r米数，由假设，这也等于每天流入湖里的水量。我们的问题是：如果某时刻污染物质突然停止进入湖水，那么需要经过多长时间才能使湖水的污染浓度下降到开始时污染的 5%？5.20 两棵不同类别的植物种在一起，按比例吸取养料，试建立它们的生长模型。5.21 构造一个在接种疫苗成为有效防疫手段之前一种传染病蔓延如麻疹的模型。麻疹的潜伏期为 0.5 周，在这段时间内一个被感

12、染的孩子表面上看来是正常的，但却会传染给别人。过了这段时间后，患病的孩子一直隔离到病愈为止。病愈后的孩子是免疫的。粗略地说，麻疹流行隔年更为严重。（1）构造一个适用于三种情况的简单的微分方程模型：容易感染的、传染的以及被隔离（或痊愈） 。也适用于由于出生而大量增加易感染者的情况。假设每个感染者随机地与居民接触，并以概率 P 传染给被感染者。（2）证明你的模型有某种周期性质。如果它不是，就加以修改，因为麻疹流行肯定是趋于周期式地出现的。（3）估计你的模型中的参数以拟合 0.5 周期的潜伏期及 2 年的周期流行的观察结果。估计出的参数值是否实际？5.22 用放射性同位素测量大脑局部血流量的方法如下

13、：由受试者吸入含有某种放射性同位素的气体，然后将探测器置于受试者头部某固定处，定时测量该处的放射性记数率（简称记数率）同时测量他呼出气的记数率。由于动脉血将肺部的放射性同位素输送到大脑，使脑部同位素增加，而脑血流量又将同位素带离，使同位素减少。实验证明脑血流引起局部地区记数率下降的速度与当时该处的记数率成正比。其比例系数反映该处的脑血流量，被称为血流量系数。只要确定该系数即可推算出脑血流量。动脉血从肺部输送同位素至大脑引起脑部记数率上升的速度与当时呼出的记数率成正比。若某受试者的测试数据如下：时间（分） 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50 2.75 3.00头

14、部记数率 1534 1528 1468 1378 1272 1162 1052 947 348呼出气记率 2231 1534 1054 724 498 342 235 162 111时间（分） 3.25 3.50 3.75 4.00 4.25 4.50 4.75 5.00 5.25头部记数率 757 674 599 531 471 417 369 326 288呼出记数率 76 52 36 25 17 12 8 6 4时间（分） 5.50 5075 6.00 6.25 6.25 6.75 7.00 7.25 7.50头部记数率 255 255 199 175 155 137 121 107 9

15、4呼出气记率 3 2 1 1 1 1 1 1 1时间（分） 7.75 8.00 8.25 8.25 8.75 9.00 9.25 9.50 9.75头部记数率 83 73 65 57 50 50 39 35 31呼出气记率 0 0 0 0 0 0 0 0 0试 建 立 确 定 血 流 系 数 的 数 学 模 型 并 计 算 上 述 受 试 者 的 脑 血 流 系 数 。5.23 给狗一次快速静脉注射常咯啉 ，测得血药浓度的动态数据如下：kgm/2时间 ht/0 0.25 0.5 1 2 4 6浓度 mlg12.23 3.53 2.68 2.38 1.99 1.20 0.78利用这些数据估计有关

16、二室模型的参数。5.24 多数药物是口服或静脉注射的，并且被血液吸收需要时间。同时药物将由肾排除出。给出这种情况的药物动力学模型。下列是一些关于药物动态的数据。第一种药物是磺胺嘧啶，第二种药物是水扬酸钠。用 O 表示口服，I 表示静脉注射，第 2 列中的“克”表示原服用量，其余的表示用药后各时刻的血药浓度。检验你的模型拟合的程度？对于不一致的现象你能怎样解释？药物动态数据用法 克 1 时 2 时 4 时 6 时 8 时 10 时 12 时 24 时OOII4.040.1.81.82.31.83.83.72.72.83.43.33.63.92.62.73.03.52.12.32.62.02.2OII10102015.039.456.714.431.443.015.724.235