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1、新疆大学毕业论文(设计)题 目: 分拆理论与组合恒等式 指导老师: 侯江霞学生姓名： 吴晓鸿所属院系： 数学与系统科学学院专 业： 数学与应用数学班 级： 2007-1班 完成日期： 2011年6月5日 声 明本人郑重声明该毕业论文（设计）是本人在候江霞老师指导下独立完成的，本人拥有自主知识产权，没有抄袭、剽窃他人成果，由此造成的知识产权纠纷由本人负责.声明人（签名）： 2011年 6月5 日吴晓鸿同学在本人的指导下，按照任务书的要求，独立完成了该毕业论文（设计），本人已经详细审阅了该毕业论文（设计）.指导教师（签名）：2011年 6 月5 日新 疆 大 学毕业论文（设计）任务书班 级：应数0
2、7-1 姓 名： 吴晓鸿 论文（设计）题目：分拆理论和组合恒等式 专 题：毕业论文 论文（设计）来源：指导老师指定 要求完成的内容： 1. 正整数分拆与欧拉对 2Bressoud的整数分拆的推广 3. 整数分拆与Durfee块 发题日期：2011年 3月 15日 完成日期2011年6月5日实习实训单位：数学学院 地点：数学学院 论文页数： 21页； 图纸张数： 指导教师： 侯江霞 教研室主任：赵飙 院 长：孟吉翔 摘 要本文首先陈述了一些基本概念，如排列组合、生成函数，整数分拆、Ferrers图，Durfee块的定义等。在第二节，我们给出了整数分拆的欧拉恒等式及其证明，并将欧拉恒等式的推广欧拉
3、对的形式进行讨论；第三节中我们得到了Bressoud的整数分拆的推广并给出证明.关键词：生成函数；整数分拆；Ferrers图；Durfeee块；欧拉定理.ABSTRACT In this paper, we introduce some basic notions such as combination, permutation, generation function，integer partition, Ferrers graphs, and Durfee square, etc. In section two, we present the classic Euler identitie
4、s and the Euler pairs of integer partitions are researched. We also extend Bressoud theorem and prove it in section three.Keywords: Generating function; Integer partition; Ferrers graphs; Durfee square; Euler theorem.目 录前言61基本概念71.1 排列组合的定义71.2正整数的分拆71.3 生成函数71.4整数分拆的生成函数 81.5 整数分拆的图形表示Ferrer图的定义.91
5、.6基本超几何级数. .102整数分拆的相关结论及证明112.1 欧拉恒等式.112.2欧拉恒等式的推广欧拉对的形式.122.3. 整数分拆与组合恒等式.153Bressoud的整数分拆的推广.163.1 Bressoud的整数分拆的结果.163.2 Bressoud的整数分拆的推广.164致 谢.195参考文献20前言整数分拆问题最早可以追溯到1669年莱布尼茨（Leibnitz）给J. 伯努利(J. Bernoulli)的一封信中提到的确定分拆数的问题.整数分拆的研究吸引了很多数学家，如欧拉(Euler)、哈代（Hardy）、拉马努金(Ramanujan)、Sylverster、Selbe
6、rg和Dyson等人，他们都对这个看似简单的数学问题的发展做出了很大的贡献.美国宾夕法尼亚大学的G. Andrews教授近几十年来在整数分拆问题、基本超几何级数及其恒等式方面得到了大量的精彩的研究结果，并且使得整数分拆这个经典的数学问题仍然是研究领域的热点问题之一.整数分拆是将一个正整数分成整数个部分的和，如果我们将各部分从大到小排序，欧拉在1748年得到了一个经典的结论：正整数分成奇数部分和分成互不相同的部分的个数相等.G. Andrews等人从这个的经典的结论推广到分拆部分限定在欧拉对（N，M）的情况；Bressoud等人将互不相同的部分推广到任意两个部分数相差至少为2的情况。本文在上述问
7、题的基础上，分别在第二节和第三节中讨论了对欧拉对中取特殊的N和M 的分拆问题以及Bressoud的整数分拆定理的推广问题.1.基本概念1.1排列组合的定义 (1). 排列：设S是n元集，如果序列，.中的r个元，.都属于S且彼此相异，则称序列，.是n元集S的一个r-排列，并称（1kr）是该r-排列的第k个元或称在该r-排列中排在第k位，如果序列，.中的元素都属于S，则称序列，.是n元集S的一个r-可重复排列. (2). 组合：集合S的含有r个元素的子集称为S的一个r-组合，若从集合S中可重复的选取r个元做成的多重集，则为集合A的一个r-可重复组合. 1.2正整数的分拆定义1.2.1【1】： 把正
8、整数n表示成 k个正整数之和的一种表示法n=称为n的一个k部分拆，每个被加数称为此分拆的一个分部，也记作分拆=. p(n,k) 记为n的k部分拆的个数，n的所有分拆的个数记为p(n), 即. 例如：n=4：4=4 4=1+3 4=2+1+1 4=1+1+1+1 4=2+2 若k=2, 则p(4, 2)=2, p(4)=5 n=6：6=6 6=1+5 6=1+2+3 6=1+1+1+4 6=1+1+1+1+2 6=1+1+1+1+1+1 6=2+4 6=2+2+2 6=1+1+2+2 6=3+3 6=1+1+3+1 若k=2, 则p(6, 2)=3 ； 若k=4, 则p(6, 4)=3 而p(6
9、)=11. 1.3生成函数生成函数诞生于18世纪，通常分为普通型生成函数和指数型生成函数，常用于计算数列的通项表达式、排列与组合的计数问题以及分拆数的计数问题等.1.3.1形式幂级数定义1.3.1【4,5,6】：设t是一个不定元,(i=0,1,2,)为实数,称 为以t为不定元的一个形式幂级数.我们定义形式幂级数的加法：该形式幂级数的乘法为：在定义的形式幂级数的加法和乘法运算下，可以把原来收敛幂级数之间的运算推广到任意形式幂级数。这样，对收敛和发散的幂级数统一到同一个代数系统形式幂级数环中了.1.3.2. 数列的生成函数为了获得一个数列的知识，我们用一个形式幂级数整体的表示这个数列,称g(x)是
10、数列:k0的生成函数（generating function），也称母函数或发生函数.于是对原数列的研究就转化成对函数的研究，欲求未知数列，可先求出此数列的幂级数的和函数g(x),再反过来把g(x)展开成幂级数，比较等式两边关于的系数以求出.若两个数列的生成函数相等，则这两个数列相同.1.4整数分拆的生成函数 历史上欧拉在1740年就曾用生成函数来研究正整数分拆的性质，这也是生成函数方法产生并发展的一个重要源头.p(n)为n的所有分拆个数，则它的生成函数为.设nN,HN,用记n的各分部都属于H的分拆的个数，如对rN, 是n的各分部都属于r的分拆的个数.若D为互不相同的正整数的集合，则p(n|n
11、D)的生成函数为.若O为所有的正奇数的集合，则p(n|nO)的生成函数为.若M表示所有不超过m的正整数的集合，则对n的分拆=最大部分不超过m的分拆的生成函数为.1.5 整数分拆的图形表示Ferrers图设n=是任一个部分数为k的n-分拆，则它对应于这样的一个由n个点构成的行数为k，列数为的点阵图; 第i（i=1,2,3.k）行有个点. 这个点阵图称为该分拆的Ferrers图。有时我们也用方格来表示点，在本文中所用的Ferrers图都是按部分数从大到小的顺序排列，即.例如：分拆10=5+3+2的Ferrers图为：设F是n的分拆=的Ferrers图，其中.如果它的第j(j=1.2.3.n)列有个
12、点，则由Ferrers图的构造方法知道, 且n=,其中s=. n=称为n的分拆=的共轭分拆，例如：10=3+3+2+1+1是10=5+3+2的共轭分拆. 设是任一个n-分拆，以表示的共轭分拆，如果=，则称是一个自共轭分拆，例如12=5+3+2+1+1的Ferrers图为： 设n=是一个自共轭分拆，F是它的Ferrer图，则F的第i(i=1,2,.k)行与第i列均有个点，于是若以l表示过F的第一行的第一个点及F的第二行的第二个点的直线，则F关于直线l对称，设l上属于F的点有m个，则F的左上角有一个由个点构成的正方形点阵图，该点阵图称为F的Durfee块。若从F中删去一个Durfee块，就得到两个较小的Ferres图.1.6
