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1、机器人学基础运动学及动力学 43第1章 机器人学的数学基础21.1 机器人运动学的矩阵表示21.1.1 空间向量的表示21.1.2 坐标系在固定参考坐标系原点的表示21.1.3 刚体的表示31.2 变换的表示31.2.1 纯平移的变换41.2.2 绕轴纯旋转变换41.2.3 复合变换61.2.4 变换矩阵的逆7第2章 机器人的正运动学解82.1 位置的正运动学方程82.1.1 直角（台架坐标）82.1.2 圆柱坐标82.1.3 球坐标82.2 姿态的正运动学方程92.2.1 滚动角、俯仰角和偏航角92.2.2 欧拉角102.3 位姿的正运动学102.4 机器人正运动学方程的D-H表示102.5
2、 微分运动的正运动学分析132.5.1 坐标系的微分运动13第3章 机器人的逆运动学解163.1 位姿的逆运动学解163.1.1 欧拉变换的逆运动学解163.1.2 RPY变换的逆运动学解183.1.3 球坐标系变换的逆运动学解193.2 逆运动学方程解的步骤203.3 微分逆运动学26第4章 机器人动力学294.1 动力学问题概述294.2 动力学建模方法介绍304.2.1 Newton-Euler方法介绍304.2.2 拉格朗日法314.2.3 虚功原理法324.3 基于拉格朗日函数的机械臂的动力学建模324.3.1动力学建模概述324.3.2 建立机器人动力学方程推导过程的步骤334.3
3、.3 机械臂连杆质点速度的计算334.3.4 机械臂连杆质点动能计算354.3.5 机械臂连杆质点势能的计算364.3.6 机械臂的动力学方程374.3.7 二自由度机械臂动力学建模实例384.4 机器人的动态特性和静态特性404.4.1 机器人的动态特性414.4.2 结论414.5 机器人的静态特性424.5.1 静力和力矩表示方法424.5.2 不同坐标系间静负荷的变换424.6 总结42参考文献（References）43 机器人位置运动学运动学主要研究机器人的正逆运动学。当所有的关节变量已知时，可用正运动学来确定机器人末端手的位姿。如果要使机器人末端手放在特定的点上并且具有特定的姿态
4、，可用逆运动学来计算出每一关节的变量的值。首先利用矩阵建立物体、位置、姿态及运动的表示方法，然后研究直角坐标型、圆柱坐标型及球坐标型等不同构型机器人的正逆运动学，最后利用Dnavir-Hartenberg表示法来推导机器人的正逆运动学方程，这种方法适用于所有可能的机器人构型，而不管关节数量的多少、关节顺序的不同及关节轴之间是否存在偏移与扭曲等。机器人动力学分析 动力学方程明确的描述了机器人力和运动之间的关系。动力学包括正逆动力学。正动力学是在给定外力的情况下，计算力所引起的关节速度及关节加速度的变化。逆动力学是在已知某一时刻机器人各关节的位置、关节速度及关节加速度，求此时施加在机器人手的驱动力
5、或力矩。动力学研究的是物体的运动和受力之间的关系。包括机构的惯性计算、受力分析、动力平衡、动力学模型的建立、计算机动态仿真、动态参数识别、弹性动力分析等方面。 第1章 机器人学的数学基础1.1 机器人运动学的矩阵表示1.1.1 空间向量的表示对于图1.1空间中任一点p的位置可用列矢量P=axbycz来表示，其中ax，by，cz是点P在坐标系中的三个坐标分量。图 1.1 向量空间的表示1.1.2 坐标系在固定参考坐标系原点的表示坐标系通常由3个互相正交的轴来表示（例如x、y、z）。因为在任意给定的时间可能有多个坐标系，因此用x、y和z轴表示固定的全局参考坐标系Fx,y,z，用n，o和a轴表示相对
6、于参考坐标系的另一个运动坐标系Fn,o,a。如图1.2所示，位于参考坐标系Fx,y,z原点的坐标系Fn,o,a，用相对参考坐标系的3个方向余弦来表示。因此坐标系的3个轴就可以用矩阵形式的3个向量表示为F=nxoxaxnyoyaynzozaz。图1.2 坐标系在参考坐标系原点的表示1.1.3 刚体的表示一个物体在空间的表示可以这样实现：通过在它上面固连一个坐标系，再将该固连的坐标系在空间表示出来。由于这个坐标系一直固连在该物体上，所以该物体相对于坐标系的位姿是已知的。因此，只要这个坐标系可以在空间表示出来，那么这个物体相对于固定坐标系的位姿就是已知的。于是Fobject=nxoxaxpxnyoy
7、aypynzozazpz0001。在一个空间中一个刚体有6个自由度，它不仅可以沿着x、y和z这三个轴移动，而且还可以绕着这三个轴旋转。1.2 变换的表示变换有以下几种形式：纯平移绕一个轴的旋转平移与旋转的结合1.2.1 纯平移的变换 如果坐标系（也可能是一个物体）在空间以不变的姿态运动，那么该变换就是纯平移。在这种情况下，它的方向单位向量保持同一方向不变，所有改变的只是坐标系原点相对于参考坐标系的变化，如图1.3所示。相对于固定参考坐标系，新的坐标系的位置可以用原来坐标系的原点位置向量加上表示位移的向量来表示。若用矩阵形式，新的坐标系可以通过坐标系左乘变换矩阵得到。因为在纯平移中方向向量不改变
8、，变换矩阵T可以简单地表示为T=100dx010dy001dz0001。其中dx、dy和dz是纯平移向量d相对于参考坐标系x、y和z轴的3个分量。矩阵的前3列表示没有旋转矩阵（等同于单位阵），而最后1列表示平移运动。新的坐标系位置为Fnew=Trans(dx,dy,dz)Fold首先可以看到，新坐标系位置可通过在原坐标系矩阵前面左乘变换矩阵得到。图1.3 空间纯平移变换的表示1.2.2 绕轴纯旋转变换假设坐标系Fn,o,a位于参考坐标系Fx,y,z的原点，在旋转前P点在两个坐标系中的坐标是相同的，当坐标系Fn,o,a绕Fx,y,z坐标系中的X轴旋转一个角度时，点P在Fn,o,a坐标系中的坐标没
9、有改变，但在Fx,y,z坐标系的坐标却发生了改变（见图1.4）.图1.4 旋转坐标系上的点的坐标在旋转前后的变化由图1.5可知，Px不随坐标系绕x轴的转动而变化，而Py和Pz却改变了，写成矩阵形式为PxPyPz=1000cos-sin0sincosPnPoPa，即则Pxyz=Rot（x，）Pnoa。则绕x轴旋转的旋转矩阵为用同样的方法来分析绕y和z轴的旋转矩阵，则，图1.5 相对于参考坐标系的点的坐标和从x轴上观察的旋转坐标系1.2.3 复合变换复合变换可以分解为按一定顺序的一组平移变换和旋转变换。假定坐标系相对于参考坐标系依次进行下面3个变换：1、绕x轴旋转度；2、分别沿x、y、z轴平移；3
10、、最后绕y轴旋转度。注：矩阵相乘的顺序不能改变；相对于参考坐标系的每次变换，变换矩阵都是左乘的。假定所有的变换都是相对于当前的运动坐标系的：1、绕n轴旋转度；2、分别沿n、o、a轴平移；3、最后绕o轴旋转度。注：相对于运动坐标系或当前坐标系的轴的变化，需要右乘变换矩阵；复合变换是有一系列的平移变换和旋转变换所组成的。1.2.4 变换矩阵的逆计算矩阵逆的步骤：计算矩阵的行列式；将矩阵转置；将转置矩阵的每个元素用它的子行列式代替（称为伴随矩阵）；用上述经过转换的伴随矩阵除以行列式。因此，关于x轴的旋转矩阵的逆与它的转置矩阵相同。即 具有这种性质的矩阵称为酉矩阵，也就是说所有的旋转矩阵都是酉矩阵。对
11、于44的变换矩阵求逆可以分为两部分。矩阵的旋转部分仍是酉矩阵，只需简单转置；矩阵的位置部分是向量p分别于向量n、o、a的点积的负值，其结果为：，第2章 机器人的正运动学解2.1 位置的正运动学方程2.1.1 直角（台架坐标）直角坐标是机器人沿着x、y和z轴做线性运动。机器人手位置的正运动学变换矩阵为2.1.2 圆柱坐标 圆柱型坐标的运动顺序为：先沿x轴移动r，再绕z轴旋转角，最后沿z轴移动l，因此这三个所产生的总变换可以通过依次左乘每个矩阵而求得：2.1.3 球坐标球坐标的运动顺序为：先沿z轴平移r，再绕y轴旋转和绕z轴旋转。这三个变换所产生的总变换通过依次左乘得到。2.2 姿态的正运动学方程
12、在不改变机器人位置的情况下通过使其绕当前坐标系旋转可以改变机器人的姿态。考虑一下3种常见的构型配置：（a）滚动角、俯仰角、偏航角（Roll，Pitch，Yaw，RPY）（b）欧拉角（c）链式关节2.2.1 滚动角、俯仰角和偏航角RPY:如果当前运动坐标系不平行于参考坐标系，那么机器人手最终的姿态将是先前的姿态与RPY右乘的结果。RPY旋转的顺序包括以下几种：绕a轴（运动坐标系的z轴）旋转a，称为滚动；绕o轴（运动坐标系的y轴）旋转o，称为俯仰；绕n轴（运动坐标系的x轴）旋转n，称为偏航。2.2.2 欧拉角 表示欧拉角的转动如下：绕a轴（运动坐标系的z轴）旋转；接着绕o轴（运动坐标系的y轴）旋转
13、；最后再绕a轴（运动坐标系的z轴）旋转。表示欧拉角姿态变化的矩阵是该矩阵只是表示了由欧拉角所引起的姿态变化，相对参考坐标系，这个坐标系的最终姿态是由表示位置变化的矩阵和表示欧拉角的矩阵的乘积决定。2.3 位姿的正运动学机器人最终的位姿矩阵是前面矩阵的组合，该矩阵取决于所用的矩阵。假设机器人的运动是由直角坐标和RPY的组合关节组成的，那么机器人最终的位姿是两个矩阵的乘积，即=Tcart（Px，Py，Pz）RPY（a，o，n）2.4 机器人正运动学方程的D-H表示机器人一般是由一系列的关节和连杆按任意的顺序连接而成。这些关节可能是滑动（线性）的或旋转的，它们可能不在一个平面。为了对机器人进行建模和
14、分析，我们必须对每一个关节建立相应的坐标系，将所有关节的变换矩阵结合起来就得到了机器人总的变换矩阵。为了用D-H表示法对机器人进行建模，首先要对每一个关节建立一个本地的参考坐标系。因此，对每一个关节都必须指定x轴和z轴，一般不需要指定y轴。指定本地参考系的步骤： 所有关节，无一例外地使用z轴表示。如果关节是旋转的，那么z轴位于按右手规则旋转的方向。如果关节是滑动的，那么z轴为沿直线运动的方向。对于旋转关节，绕z轴的旋转角是关节变量。对于滑动关节，沿z轴的长度d是关节变量。表示与之间的公垂线，则的方向将是沿的方向。两个关节之间的公垂线不一定相交或共线，因此两个相邻坐标系原点的位置也可能不在同一个
15、位置。在这种情况下就要考虑下面介绍的特殊情况，就可以为所有的关节定义坐标。 如果两个关节的z轴平行，它们之间就有无数条公垂线。这时可挑选与前一关节的公垂线共线的一条公垂线，这样可以简化模型。 如果两个相邻关节的z轴是相交的，那么它们就没有公垂线，这时可将垂直于两条轴线构成的平面的直线指定为x轴。图 2.1在图2.1中，表示绕z轴旋转的角度，d表示在z轴上两条公垂线之间的距离，a表示每条公垂线的长度，表示两个相邻的z轴之间的角度。根据D-H常规步骤，按照如下从一个坐标系到下一个坐标系所必须的4个变换。（1） 绕轴旋转，使和平行；（2） 沿轴平移，使和共线；（3） 沿已经旋转过的轴平移的距离，使和原点重合；（4） 将轴绕轴旋转，使轴与对准。
