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1、曲线与方程【学习目标】 1.了解曲线与方程的对应关系；2.进一步体会数形结合的基本思想；3.掌握求曲线方程的基本方法（直接法），了解求曲线方程的其他方法（待定系数法、定义法、转化法、参数法等）【学习策略】借助于实例去体会曲线的方程和方程的曲线的意义；理解求曲线方程的实质，求曲线方程的关键在于把曲线上任一点所满足的几何条件（或其坐标满足的条件）转化为任一点坐标满足的等量关系，要注意方程中量x（或y）的取值范围.【要点梳理】要点一、曲线与方程概念的理解一般地，在直角坐标系中，如果某曲线（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上所有点的坐标都是
2、方程的解；（2）以方程的解为坐标的点都在曲线上.那么，方程叫做曲线的方程；曲线叫做方程的曲线.要点诠释：（1）如果曲线的方程为，那么点在曲线上的充要条件为；（2）曲线可看成是平面上满足一定条件的点的集合，而正是这一定条件的解析表示.因此我们可以用集合的符号表示曲线：.（3）曲线也称为满足条件的点的轨迹.定义中的条件(1)叫轨迹纯粹性，即不满足方程的解的点不在曲线上；条件(2)叫做轨迹的完备性，即符合条件的所有点都在曲线上.“纯粹性”和“完备性”是针对曲线是否为满足方程的点的轨迹而言.（4）区别轨迹和轨迹方程两个不同的概念，轨迹是“形”，轨迹方程是“数”要点二、坐标法与解析几何解析几何是在坐标系
3、的基础上，用代数的方法研究几何问题的一门数学学科.解析几何的两个基本问题：1.根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；2.通过方程，研究平面曲线的性质.根据曲线与方程的关系可知，曲线与方程是同一关系下的两种不同的表现形式.曲线的性质完全反映在它的方程上，而方程的的性质也完全反映在它的曲线上，这正好说明了几何问题与代数问题可以互相转化，这就是解析几何的基本思想方法，也就是数形结合，形与数达到了完美的统一.x，y的制约关系（代数意义）按某种规律运动（几何意义）点坐标曲线C（动点的集合）方程解集我们把这种借助坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法，又称解析法. 定义：在直角坐标系中，用坐标表示点，把曲线看
4、成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x，y）所满足的方程表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这就是坐标法.要点三、用直接法求曲线方程的步骤坐标法求曲线方程的一般步骤：建立适当的直角坐标系，并设动点P(x,y).写出动点P满足的几何条件.把几何条件坐标化，得方程F(x, y)=0.化方程F(x, y)=0为最简形式，特殊情况，予以补充说明，删去增加的或者补上丢失的解。证明方程F(x, y)=0是曲线的方程。判断点是否在曲线上的方法把点的坐标代入曲线的方程：点P(x0，y0)在曲线C：f(x，y)=0上点P(x0，y0)不在曲线C：f(x，y)=0上求两曲线f（x，y
5、）=0与g（x，y）=0的交点坐标方法联立f（x，y）=0与g（x，y）=0，方程组的解即为两曲线的交点坐标，解的个数为交点的个数要点诠释：求曲线的方程时，首先应观察原题条件中有没有坐标系，没有坐标系时应先建立坐标系，否则曲线不能转化为方程.建系要适当，经常利用特殊点以及曲线的对称性，以尽可能方便写相关点坐标为基本原则，这样可使运算过程简单，所得的方程也较简单.根据曲线上的点适合的条件列出等式，是求方程的重要一环，在这里常用到一些基本公式.仔细审题，分析已知条件和曲线的特征，抓住与曲线上任意点M有关的相等关系，结合基本公式列出等式，并进行化简.化简前后解集没变可省略证明。但别忘记删去增加的或者
6、补上丢失的解要点四、求轨迹方程的常用方法：求动点的轨迹方程既是平面解析几何中的主要问题之一，又是高考中的一个热点问题.求动点轨迹方程的方法主要有以下几种(1)直接法；(2)间接法；(3)参数法经典例题透析类型一：曲线与方程的概念例1. 已知坐标满足方程的点都在曲线上，那么（ ）.（A）曲线上点的坐标都满足方程（B）坐标不满足方程的点都不在曲线C上（C）不在曲线上的点，其坐标必不满足方程（D）不在曲线上的点，其坐标有些满足方程，有些不满足方程.【解析】由曲线与方程的定义，（A）、（B）不一定正确，（C）命题是原命题的逆否命题，它们是等价命题，故选（C）.【总结升华】在判定曲线的方程和方程的曲线时
7、，两个条件缺一不可，是不可分割的整体，解答本题时，应注意不要被问题的表面现象所迷惑，应根据“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念逐一辨别其选项的真假.举一反三：【变式】 “曲线上的点的坐标都满足”是“方程是曲线的方程”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B例2. 已知方程的曲线经过点O（0，0）和点A（0，12），求a、b的值.【思路点拨】若点在曲线上，则点的坐标满足曲线的方程.【解析】点O、A都在方程表示的曲线上，点O、A的坐标都是方程的解.，解得即a=0，b=6为所求.【总结升华】方程与曲线的问题也就是解与点的关系，判断点是否在曲线上，只需将
8、点的坐标代入方程，等号成立即在曲线上，否则就不在举一反三：【变式1】曲线上有点，则= 【答案】【变式2】已知，点在曲线上，则的值为（ ）A B C或 D或【答案】C例3. 求证：圆心为、半径等于的圆的方程是.【解析】（1）设是圆上任意一点，则点M到圆心的距离等于，即，也就是，因此是方程的解.（2）设是方程的解，则有，两边开方取算术平方根，得，于是点到点（a，b）的距离等于r，点是这个圆上的点.由（1）（2）可知是圆心为，半径为r的圆的方程.【总结升华】证明方程的曲线或曲线的方程需证明纯粹性和完备性两方面：曲线上的点的坐标都是方程的解；以这个方程的解为坐标的点都在曲线上.举一反三：【变式1】证明
9、圆心在坐标原点，半径为5的圆的方程是x2+y2=25，并判断点M1(3,-4),是否在这个圆上.【解析】（1）设M(x0，y0)是圆上任意一点，因为点 M到原点的距离为5，所以，即，所以(x0，y0)是方程x2+y2=25的解.（2）设(x0，y0)是方程x2+y2=25的解，那么，也就是说，点M到原点的距离为5，所以点M在这个圆上由（1）（2）知，x2+y2=25是圆心在坐标原点，半径为5的圆的方程把M1(3，-4)代入x2+y2=25，等号成立，所以点M1在圆上，把代入x2+y2=25，等号不成立，所以点M2不在圆上.【变式2】设A（2，0）、B（0，2），能否说线段AB的方程是x+y2=
10、0？为什么？【答案】不能.以A（2，0）、B（0，2）为端点的线段AB上的点的坐标都是方程x+y2=0的解，但以方程x+y2=0的解为坐标的点并不都在线段AB上，而是直线AB.类型二：坐标法求曲线的方程例4已知点A与B为平面内两定点，若平面内动点P到点A与B的距离之比，求动点P的轨迹.【思路点拨】求动点P的轨迹方程，即是求P点的横、纵坐标所满足的关系式，因此应先建系设点P（x,y）.【解析】以线段AB所在直线为x轴，以线段AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，设则，设P(x,y)则由得化简整理得所以动点P的轨迹是圆【总结升华】（1）求曲线的方程一般有下面几个步骤:建立适当的直角坐标系，并设动点P
11、(x,y).写出动点P满足的几何条件.把几何条件坐标化，得方程F(x, y)=0.化方程F(x, y)=0为最简形式.证明方程F(x, y)=0是曲线的方程.（2）求曲线的方程时，首先应观察原题条件中有没有坐标系，没有坐标系时应先建立坐标系，否则曲线不能转化为方程.建坐标系应建得适当，这样可使运算过程简单，所得的方程也较简单.（3）根据曲线上的点适合的条件列出等式，是求方程的重要一环，在这里常用到一些基本公式.仔细审题，分析已知条件和曲线的特征，抓住与曲线上任意点M有关的相等关系，结合基本公式列出等式，并进行化简.（4）证明可以省略不写.举一反三：【变式1】已知点A与圆，设点是圆上一动点，求线
12、段中点M的轨迹方程.【答案】【变式2】若点M到两条互相垂直的直线的距离相等，求点M的轨迹方程.【答案】取已知两条互相垂直的直线为坐标轴，建立直角坐标系，如图所示.RMQOx y设点M的坐标为（x，y），点M的轨迹就是到坐标轴的距离相等的点的集合P=M|MR|=|MQ|，其中Q、R分别是点M到x轴、y轴的垂线的垂足.因为点M到x轴、y轴的距离分别是它的纵坐标和横坐标的绝对值，所以条件|MR|=|MQ|可写成|x|=|y|，即xy=0. 下面证明是所求轨迹的方程.（1）由求方程的过程可知，曲线上的点的坐标都是方程的解；（2）设点的坐标是方程的解，那么，即，而、正是点到纵轴、横轴的距离，因此点到这两
13、条直线的距离相等，点是曲线上的点.由（1）（2）可知，方程是所求轨迹的方程，图形如上图所示.【变式3】设两定点F1(-4,0), F2(4,0)，求到F1和F2的距离的平方和是50的动点轨迹方程.【答案】x2+y2=9.类型三：两曲线的交点例4 已知曲线与直线有两个不同的交点，求k的取值范围.【思路点拨】两曲线f（x，y）=0与g（x，y）=0的交点的个数，即是方程组的解的个数。【解析】由得由得即时曲线与直线有两个不同的交点【总结升华】曲线的交点个数问题通常转化为方程根的个数问题，对于区间根的问题要利用方程根的分布理论求解.举一反三：【变式1】曲线x2xyy23x4y40与x轴的交点坐标是_答案：(4,0)和(1,0)【变式2】方程（表示的图形是（ ）A两个点 B四个点 C两条直线 D四条直线【答案】B【变式3】已知曲线，点A(3,0),B(0,3),求C与线段AB有两个不同交点时m的取值范围.【答案】
