苏州大学考研高等代数真题00-16年

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1、苏州大学苏州大学 2016 年硕士研究生招生考试年硕士研究生招生考试 高等代数试题高等代数试题 招生单位代码及名称： 考 试 科 目 代 码 及 名 称 ： 一、（25）设 3-10 3-01 1-00 A，求 2016 A 二、（25）设复数是xQ中一个非零多项式的根，令集合 0)f(:Qxf(x)W （1）证明：在W中存在一个首项系数为 1 的多项式)(xp，使得)(xp整除W中每一个多 项式)(xf，其中Q是有理数域. （2）证明：)(xp在)(xQ中不可约. （3）如果3-2，求)(xp. 三、（20）设 A 为 n 阶方阵，18A，且 n EAA153 ，其中 A为 A 的伴随矩阵

2、（1）求 A 得最小多项式； （2）求 A 的若尔当标准型. 四、（20）设 S 是 n 阶非零的实反对称矩阵，证明： （1）S 的特征值为 0 或纯虚数； （2）, 0 SEn其中 n E是 n 阶单位阵； （3）若 A 为 n 阶正定阵，则ASA. 五、（20）设 V 为数域 P 上的 n 维线性空间，是 V 上的线性变换，证明：存在正整数 k， 使得)(kerVV kk ，其中 k ker表示 k 的核 六、（20）设，均为对称变换，且有，试证在某个标准正交基下的矩阵均为对 角阵 七、（20）设 A,B 是数域 P 上的 n 阶复方阵，满足ABAAB，证明： （1）对任意正整数 k， k

3、 A的迹)( k ATr都为 0； （2）A 只有 0 特征值； （3）A,B 有公共的特征向量. 硕士生入学考试初试 招生单位自命题科目答题纸 招生单位代码及名称_ 考试科目代码及名称_ 报考专业_姓名_ 考生编号 题号分数阅卷人 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 十三 十四 十五 总分 附注： 文档由 16 级硕士研究生 CJ,XIE 编写， 有何问题可以发送至邮箱 1824289428 ， 此篇文档仅供参考.特别说明：知识无价，且行且珍藏，不可用于商业用途，否则将追版权. 注 意 事 项 1.考生编号、姓名、报考专业必须写在装订 线内指定位置。 2.所有答案必须写在答题

4、纸上，做在试题纸 或草稿纸上的一律无效。 3.答题时必须写清题号。 4.自己要清楚，保持卷面整洁，一律使用蓝 色或黑色钢笔或签字笔。 5.考生答完试题后，在“共 页”处填写答卷 的总共页数（包括第 1 页）。 6.统考、联考科目不使用此答题纸。 7.禁止做任何与考试无关的标记。 2012 年苏州大学高等代数考研试题年苏州大学高等代数考研试题年苏州大学高等代数考研试题年苏州大学高等代数考研试题 1. （ 18）设设设设( )fx是是是是n次多项式次多项式次多项式次多项式，则则则则( )fx有有有有n重根的充要条件是重根的充要条件是重根的充要条件是重根的充要条件是( )( ) fxf x. 2.

5、（ 18）设设设设A为为为为n阶阶阶阶实实实实矩阵矩阵矩阵矩阵，证明证明证明证明: ( )()rank Arank A A =. 3. （ 18）,A J为为为为n阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵.证明证明证明证明： （1）AJJA=的充要条件条件是的充要条件条件是的充要条件条件是的充要条件条件是 21 1112131 + n nn Aa Ea J a Ja J =L. 其中其中其中其中 00001 10001 01001 00001 00011 J = L L L MMMOMM L L . （2）令令令令( )|C JA AJJA=，求求求求( )C J的维数的维数的维数的维数. 4. （ 18 ）

6、设设设设n维列向量维列向量维列向量维列向量 1 2 = n a a a M ，且且且且=2 . （1）求求求求 n E . （2）求求求求() 1 n E . 5. （ 18 ）设设设设,A B分别为分别为分别为分别为,m n阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵，并且并且并且并且,A B没有公共特征值没有公共特征值没有公共特征值没有公共特征值。 证明证明证明证明：矩阵方程矩阵方程矩阵方程矩阵方程AXXB=仅有零解仅有零解仅有零解仅有零解。 6. （ 18 ）设设设设是数域是数域是数域是数域P上的线性变换上的线性变换上的线性变换上的线性变换，且且且且 2= .证明证明证明证明： (1)( )ker|V =.

7、 (2)如果如果如果如果是是是是V的线性变换的线性变换的线性变换的线性变换，ker和和和和( )V都是都是都是都是的不变子空间的不变子空间的不变子空间的不变子空间. 7. () 20设设设设是欧氏空间是欧氏空间是欧氏空间是欧氏空间V的线性变换的线性变换的线性变换的线性变换，且且且且 3+ =0 .证明证明证明证明：的迹为的迹为的迹为的迹为0. 8. () 20设设设设A为为为为n阶实可逆矩阵阶实可逆矩阵阶实可逆矩阵阶实可逆矩阵.证明证明证明证明：存在正交矩阵存在正交矩阵存在正交矩阵存在正交矩阵 12 ,Q Q ,使得使得使得使得 12 Q AQ 为对角阵为对角阵为对角阵为对角阵. 且对角线元素

8、全大于且对角线元素全大于且对角线元素全大于且对角线元素全大于0. 2008 年苏州大学高等代数考研试题 1. 计算n阶行列式 2100000 1210000 0120000 0000121 0000012 。 2. 设实二次型 222 1231 21 323 2fxxxt x xx xx x。 问当t取何值时，f是正定的、 半正定的？ 3. 设 300 114 311 A 。求（1）A的初等因子； （2）A的Jordan标准型。 4. 设n维线性空间V上的线性变换的最小多项式与特征多项式相同。求证：必存在某个 V，使得 21 , n 为V的一个基。 5. 设A，B都是m n矩阵，线性方程组0A

9、X 与0BX 同解，则A与B的行向量组 等价。 6. 设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量1,2, 1 T ，0, 1,1 T 是 线性方程组0AX 的两个解。 （1） 求A的特征值与特征向量； （2） 求正交矩阵Q和对角矩阵B，使得 T Q AQB。 7. 若A是n阶实矩阵， n E为n阶单位矩阵，且 T n AAE，其中 T A是A的转置矩阵， 则A是可逆矩阵。 8. 设V是有理数域Q上的线性空间， 设是V的一个线性变换， 设 2 1g xx xx。 证明：如果的多项式 0g，则V是的核与值域的直和。 2007 年苏州大学高等代数考研试题 1. 化二次型 1231 2231 3 ,

10、222f x x xx xx xx x为标准型， 并给出所用的非退化线性替换。 2. 求三阶矩阵 126 1725 027 的Jordan标准型。 3. 设, n 且长度为2，矩阵 TT n AE。求A的特征多项式。 4. 设A是n阶反对称矩阵， n E为单位矩阵。证明： （1） EA可逆； （2） 设 1 QEAEA ，求证：Q是正交矩阵。 5. 设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量1,2, 1 T ，0, 1,1 T 是 线性方程组0AX 的两个解。 （3） 求A的特征值与特征向量； （4） 求正交矩阵Q和对角矩阵B，使得 T Q AQB。 6. 设P是一个数域， p x是 P x

11、中次数大于零的多项式。 证明： 如果对于任意的 f x， g x，由 |p xf x g x可以推出 |p xf x或 |p xg x，那么 p x是不可 约多项式。 7. 设 欧 氏 空 间 中 有 12 ,0 n ， 112 , n WSpan ， 212 , n WSpan 。 证 明 ： 如 果,0 ,1 , 2 , i in ， 那 么 12 dimdimWW。 8. 设是n维欧氏空间中的一个对称变换，则 kerVV。 2006 年苏州大学高等代数考研试题 1 用正交线性替换将实三元二次型 222 12311 21 32233 ( ,)44282f x x xxx xx xxx xx

12、 变成标准形，并写出所用的非退化线性变换。 2 设 212 254 115 A 。A是否相似于一个对角矩阵？如果相似，则求出可逆矩阵C， 使得 1 C AC 为对角矩阵，且写出此对角矩阵。 3 设 1 110 ( ) nn nn f xa xaxa xa 是一个整系数多项式， 证明： 如果 0 + n aa是 一个奇数，则( )f x不能被1x整除，也不能被1x整除。 4 设A是一个n n矩阵，证明：如果A的秩等于 2 A的秩，则齐次线性方程组0AX 与 齐次线性方程组 2 0A X 同解。 5 设V是有理数域Q上的线性空间，id是V的恒等变换。又设是V的一个线性变换， 证明：如果 32 5i

13、d，则没有特征值。 6 设A是n n实对称矩阵，b是A的最大的特征值。 证明： 对任意n维非零的实列向量， 都有 (, ) ( , ) A b 。 7 设 5 VF x是F上全体次数5的多项式及零多项式构成的线性空间。 ( )f xV，定义映射( ( )( )f xr x，其中 2 ( )(1) ( )( )f xxq xr x，( )0r x 或 deg( ( )2r x。 （1） 证明映射是V的一个线性变换。 （2） 求在基 234 1, ,x xxx下的矩阵。 8设,A B都是n n矩阵，并且ABBA。证明：如果,A B都相似于对角矩阵，则AB 也相似于对角矩阵。 2005 年苏州大学高

14、等代数考研试题 1. 设,A B均为n阶方阵，A中的所有元素均为1，B中除左上角的元素为1外，其余元素 均为0。问：A与B是否等价？是否合同？是否相似？为什么？ 2. 设 102 1035 401 A 。是A的最大特征值。求A的属于的特征子空间的一个基。 3. 设 f x是一个整系数多项式。证明：如果存在一个偶数m和一个奇数n使得 f m和 f n都是奇数，则 f x没有整数根。 4. 设A是一个22nn的矩阵。 证明： 如果对于任意22n的矩阵B， 矩阵方程AXB都 有解，则A是可逆的。 5. 证明： 实系数线性方程组AXB有解的充要条件是用它的常数项依次构成的列向量B 与齐次线性方程组0A