华东师范大学 博士学位论文 高维空间中的同宿环和异维环分支问题 姓名：邓桂丰 申请学位级别：博士 专业：应用数学 指导教师：朱德明 20080401 摘要 本文主要研究四维空间中的具有双轨道翻转的同宿环分支问题，由具有l 维不 变子空间的对合所确定的3 维反转系统中的异维环分支问题，以及近可积耦合非线 性S c h r 6 d i n g e “N L S ) 方程所对应的动力学系统的异宿轨线的存在性，具有偶的周期 边界条件的扰动N L S 方程的孤立子( 同宿轨线) 的保存性及其相应的混沌性态问题． 第一章主要介绍了本论文的研究背景、意义及主要结果． 在第二章中研究了双向分别沿强稳定和强不稳定方向趋于实鞍点的同宿轨线的 分支问题．由于通有性的丧失，这类问题变得非常复杂．本章证明了在参数空间的 原点小邻域内存在余维l 的同宿轨分支曲面和2 重周期轨线分支曲面，同宿轨分支 曲面与2 重周期轨线分支曲面的交构成了余维2 的同宿轨与2 重周期轨线分支曲 面，同时得到了2 个2 重周期轨线分支曲面相交融合而成1 个余维2 的3 重周期轨 线分支曲面，指出了对任意尼 n ，有 以( f ) 竺D ．厂( r ( ￡) ) = A l + D ( 6 e —p 27 。
) 0 D ( 6 e 一以r ) 0 D ( 万e 一职r )一伪+ O ( 6 e —p 2 r )0 ( 6 e —p 2 T ) 0 O ( 巧e —p 2 f ) 0 入2 + O ( 6 e —P 2 丁) 0 O ( 6 e —p 2 r ) D ( 6 e —p 2 r )0 ( J e 一以丁)一p 1 2 + O ( 6 e —p 2 r ) l O 第二章四维空间中具有双轨道翻转同宿环分支问题 上述关系式即意味着当t ≥丁时，≯1 ( ￡) 和≯3 ( ￡) 在坐标分量可和u 上的投影为0 ．另 一方面，由规范型( 2 ．2 ．1 ) 知：当￡ T 时有甄( 7 ’( ￡) ，o ) = ( 0 ，0 ，o ，夕4 ( 7 _ ( f ) ，0 ) ) + 成立， 由此可得饼( ￡) 乳( r ( t ) ，o ) = 0 ，其中t = l ，3 ．我们可以类似证得当￡ o ) 则对应 1 一周期轨线．为了便于研究分支方程，我们引入如下记号： L ( s ，p ) = 一狮1 2 ％p s 一叫1 2 M 1 p + D ( 1p1 2 ) ， Ⅳ( s ，肛) = 叫1 2 硼3 1 蚶如沁( 弘) ／A 1 ( p ’+ s p l ( p ) n 1 ( 口) 坛p —t 啦2 彬矗d s 艘( p ) ／^ l ( p ) 一缸，1 2 u } 蠹6 s A 2 ( p ) ／A l ( p ) + 1 + ^ ．D ．亡．， D + = { ‘‘：埘1 2 ％p o ) ，D 一= { 肛：加1 2 舰p o ) ，n = { 弘：似1 2 ％，‘ o ) ，兄一= { p ：A 以p A 1 + A 2 时，在参数区域．【p I( Ⅲ1 2 地p ) 舰p o ) 内有唯一的对应分支方程2 重正解的分支曲面．当叫3 1 = 0 和晚 A 1 + 入2 和叫3 3 ％p o 时，取九：s 呼， 霸( ^ ) = 入1 “ 1 2 舰p + J 9 1 尬p 危和正( 危) ：( A 1 + A 2 ) 叫1 2 似蠹6 ，l 格，那么( 2 ．3 ．1 ．3 ) 等 第二章四维空间中具有双轨道翻转同宿环分支问题 价于乃( ^ ) = 死( ^ ) + ^ ．o ．t ．．不难发现当参数p ∈点■n 见p ( 此时伽1 2 叫3 3 0 ) 时，直线W = 五( ^ ) 和w = 死( j } 1 ) 相交于一个唯一 的点． 当叫3 1 = 0 和仡 0 和( 锃，1 2 ^ 如，z ) A 如肛 0 时有 否：[ 毪瓣] 击⋯t ． 将上式代入到( 2 ．3 ．1 ．7 ) 和( 2 ．3 ．1 ．8 ) 中，这样就得到当( 叫1 2 朋3 弘) ^ 如p O 时， F ( s ，p ) 只有唯一的零点s 1 ：0 7 矽∥当地l2 0 、晚 A 1 + A 2 、肛∈∑、叫3 3 她p 0 和m 1 2 地弘) 尬p 0 7 Ⅳ砂如果蚴l2 o 、p 2 o 和( 彬1 2 地，‘) 舰肛 0 ，再加一个关系式l 尬肛f 《f 飓f z l ；嚣， 则此时F ( s ，弘) 有两个非负的零点s 1 = o 和s 2 0 7 Ⅳ7 砂当彬3 12 o 、应 0 ． 如果其它条件不变，仅将最后一个条件换为J 伽1 2 ％p I I I ％( 肛) | ，则F ( s ，芦) 只有一 个非负的零点s ，：0 ．婪中 嘲萨一篝尬p ( ％等警) 糟； ( 2 ．3 ．1 ．1 ．1 ) ∥砂在条件耽1 = 0 ， 戊 0 和s 3 0 份别地，恰有两个非负的零点s 2 0 和s 3 叫．但是若 将条件L ( 0 ，p ) = o 改为0 0 和s 3 0 份别地，没有非负的零点j ? 和桫如果将情形缈中的条件己( o ，∥) = o 改成o o ．若将条件L ( o ，p ) = o 改成 0 凰( o ) = 0 、 日i ( ^ ) = 0 ，2 叫3 ，加蠹6 o ．注意到妥；安 1 ，所以当川《1 时日1 ( ^ ) A l + A 2 和p ∈∑时，我们可以把分支方程写成新的 形式Q 1 ( A ) = Q 2 ( ^ ) + 九．D ．￡．，其中忍= s 节、Q 1 ( ^ ) = 加1 2 ％肛+ 尬弘，7 和 Q 2 ( 危) = 叫1 2 叫蠹6 ^ 万≈．容易求得在区域叫3 3 ％p o 内有两个子区域，分别是当 ( 训1 2 蝎p ) 地肛 0 内，则令^ = 叫1 2 地p ／尬p ．由于矸( 0 ) = 加1 2 ^ 磊弘 1 8 第二章四维空间中具有双轨道翻转同宿环分支问题 鲁( 鼍考竽) 箐鲁= 噩( 五) ，所以我们可以得到在区间( o ，元) 内曲线Ⅳ= 乃( 危) 和 Ⅳ= 死( I } 1 ) 相交于一个小的正解． 子类3 ．若关系式仇 0 和s 3 0 ( 分别地，s 1 = O ) ．从而证得情形2 ) 中的( i i i ) 和( i v ) ． 子类4 ．当．1 9 2 o 、 B ( o ) = o 、当o o 和L 2 ( + o 。
) = 一．所以我们可以求得在参 数区域l 叫1 2 地p I l ％( p ) I ) 和o 0 、s 2 0 和s 3 0 ( 分别地，1 个小的解8 l 0 ) ；在参数区域I 叫1 2 ％p I l ％( p ) I ) 和0 O ，s 3 0 ．其余子情形可类似讨论． 1 9 子类6 ．考虑子类优 0 7 力例当u J 3 1 = 0 、p 2 A 1 + A 2 、 叫3 3 舰p O 和( 叫1 2 舰p ) 尬p s 1 0 ，其中 ％( “) = 一 晚一p 1 尬p ( 筹竽) 煮； ·( 2 ．3 工1 2 ) ∥砂当彬3 1 = 0 ， 纯 o 份别地， o 和( 叫1 2 M 弘) 舰弘 0 ．不难验证在上述参数区域内 不等式l 叫1 2 脑弘l o ) ，D 一= { ∥：坩1 2 J ，l ，￡ o ) ，E 一= { ，z ：“ 1 2 ％肛 o ) ，R 一= { ，l ：J 厶，l o 和加4 2 t ￡，4 4 地弘 o 、伽1 2 地肛( 地卢) o 和I 坞p l 《I 批，| l 成立时，系统有唯一 的对应于F ( ·，p ) 的2 重正零点s 。
的分支曲面s 明，而且可以求得s 满足如下关系 式； 0 1 和叫1 2 j 如，z 叫4 2 训4 4 l 凰( 胪) l 导出方程式H 1 ( ^ ) = 日2 ( 『J ) + | } 2 ．．D ．￡．有2 个不同的小的正 解．不等式I 局( 矿) l l 玩( 扩) I 等价于l 加1 2 捣，叫 l I H ( p ) I 时，方程式日l ( 厅) = 吼( ^ ) + 厅．o ．f ．没有小的正 解．由此可以导出结论2 ) ． 最后，当彬1 2 慨p ( 尬p ) 0 和础4 2 叫4 4 A 厶# ￡ O 时，方程式日l ( ^ ) 一A l 叫1 2 ％p = 凰( ^ ) 有唯一的小正解元= ( 訾) 糟．由于筹安 1 ，那么在参数区域 I 舰p I 《l 舰肛I 内方程H - ( ^ ) = 凰( ^ ) + ^ ．D ．￡．有唯一正解元∈( o ，j ；+ ％害装潞) ． 这就证明了结论4 ) ．口 注2 ．3 ．2 ．J ．等式伽1 2 A 如p = } n ( 弘) + ^ ．o ．￡．所定义的曲面包含一个对应于分支方程 F ( s ，肛) = O 的3 重正解的分支曲面，将在性质2 ．3 ．2 ．3 详细讨论此曲面． 性质2 ．3 ．2 ．2 ．假设有R 倪钆足( A 矗，慨，她) = 3 、O 0 内分支方程 F ( ·，弘) = 0 没有小的正解； 矽当参数属于3 个集合{ 肛| 叫4 2 彬“J 厶，‘ 0 ，( A 厶，‘) 叫1 2 ^ - 3 p o ，l M p l 《I 』协p 1 ) 、{ plt u 4 2 t 蛳4 A 厶，t o ，M m 磊，￡) o ，( M l ∥) “f 1 2 ％『l o ．№鹄川 o 、( 拙p ) 咖％p o 所定义 的区域内时我们不难得到直线I y = 瓦( 8 ) 和曲线I I ，7 = 正( s ) 没有正的交点·由此 得出结论1 ) ． 当呲2 伽4 4 地p l 成立，当参数在区域毗2 叫4 4 尬p o 和( 尥肛) 叫，2 ％p 0 和( 尬p ) 彬1 2 地p O 时，首先不难求得方 程疋( s ) = o 的正解s t = ( 鼍警) 渤．令死( s ) = 一％产弛弘( 鼍案笋) 筹者( s 一 ( 訾) ≯赢) ，根据表达式《( 8 ) 和《’( s ) 的符号正负情况，我们可以得到在区间 ( s 1 ，+ 。
o ) 上恒有l 疋( s ) I I 死( s ) | ．当l 虹，1 2 A 如』‘| I 乃( s z ) I 成立， 则方程式死( s ) = 正( s ) 有2 个小的正解，分别记为季和蚕．不等式I 兀( s f ) l l 乃( s f ) I 等价于下式 №2 驯{ 学M 删警) 格．∥1‘∥1w 4 2 u 最后给出关于吾和蚕的估计式：‘ 0 和 ( 尬肛) 伽1 2 飓p 疋( s 2 ) 同时成立 时曲线Ⅳ= 正( s ) 和彤= 疋( s ) 有2 个交点．因此得到分支方程F ( ·，p ) = 0 有2 个小的正解．另一方面，由不等式一叫1 2 尬p 噩( s ) 恒成立．所以此时F ( ·，p ) = o 没有正解．可以类似地证得当 地肛 o 、一加1 2 地弘s 2 死( s 2 ) 成立时F ( ·，肛) = 0 没有小的正解．由 此证得结论4 ) ．’ 当参数在区域切4 2 伽4 4 尬弘 0 、M ，￡( J 如，t ) I 瓦( s 2 ) I 成立，则方程瓦( s ) = 正( s ) 有2 个不等实根§和§且 有估计式o o 、Ⅲ4 j u ，4 4 M l ∥ o 和l 地弘l 《I ^ ，，4 川成立时或者 当p ∈∑、加1 2 ％弘( 眦，1 ) 0 和彬4 2 u ，4 4 ^ 厶p 0 和s 3 0f ，分别地，s 1 = 0 夕，其中 酬= 一篝尬p ( ％端警) 糟； ( 2 ．3 ．2 ．8 ) 华东师范大学博士论文 砂当p ∈∑、伽4 2 叫4 4 尬肛 0 和叫1 2 慨p ( 尬∥) o 的余维2 的分支曲面s 研，且可以 表示如下 s 月{ = 1 [ ∥：￡( o ，p ) = o ，叫1 2 A 如弘= I l ，2 ( p ) + ^ ．D ．t ．) 当叫4 2 叫4 4 。