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1、1.2 点、线、面的投影,1.2 点的投影,点、线、面是构成物体形状的基本几何元素。为正确表达物体形状，必须先掌握这些基本几何元素的投影规律。,1.2.1 点在一个投影面上的投影,过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。,采用多面投影。,过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。,点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。,1、点在一个投影面上的投影,a,1.2 点的投影,二、点的三面投影,投影面,正面投影面（简称正 面或V面）,水平投影面（简称水 平面或H面）,侧面投影面（简称侧 面或W面）,投影轴,OX轴 V面与H面的交线,OZ轴 V面与W面的交线,OY
2、轴 H面与W面的交线,三个投影面互相垂直,空间点A在三个投影面上的投影,空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,向右翻,向下翻,不动,投影面展开,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,点的投影规律:, aaOX轴, aax= aaz=y=A到V面的距离,aax= aay=z=A到H面的距离,aay= aaz=x=A到W面的距离,aaOZ轴,例：已知点的两个投影，求第三投影。,a,a,ax,az,az,解法一:,通过作45线使aaz=aax,解法二:,用圆规直接量取aaz=aax,例题1 已知点A的正面与侧面投影，求点A的水平投影。,例题
3、2 已知A点的坐标为x=20mm，y=10mm，z=15mm，即A(20、10、15)，求作A点的三面投影图。,例题3 已知点A的三面投影，试确定 点A的空间位置。,x=12,z=20,y=18,例题4 已知点A在H面上，点B在W面上， 点C在V面上，试求各点的投影。,O,三、两点的相对位置,两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。,判断方法：, x 坐标大的在左, y 坐标大的在前, z 坐标大的在上,b,a,a,a,b,b,B点在A点之前、之右、之下。,X,YH,YW,Z,2.比较两点的相对位置,重影点：,空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点
4、。,A、C为H面的重影点,a,a,c,被挡住的投影加( ),( ),a c,立体上的重影点,E,B,D,C,b,e,d,c,b“,(a),(b),(c),A,1.2.2 直线的投影,直线的投影可由直线上任两点的同名投影来确定。 如图所示，分别作出直线AB上两端点A、B的三面投影，用直线连接两点的同面投影得到ab、ab和ab即为AB的三面投影。,各种位置直线的投影,投影面平行线,投影面垂直线,正平线（平行于面）,侧平线（平行于面）,水平线（平行于面）,正垂线（垂直于面）,侧垂线（垂直于面）,铅垂线（垂直于面）,一般位置直线,统称特殊 位置直线,平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜,垂直于某一投
5、影面,与三个投影面都倾斜的直线,(1) 投影面平行线的投影特性,b,O, 在其平行的那个投影面上，投影反映实长并反映直线与另两投影面倾角。, 另两个投影面上，投影平行于相应的投影轴。,水平线,侧平线,正平线,投 影 特 性：,实长,实长,实长,(2) 物体上平行线的投影分析,（1）投影面垂直线的投影特性,铅垂线,正垂线,侧垂线, 在另外两个投影上，反映线段实长且垂直于相应的投影轴。, 在其垂直的投影面上，投影有积聚性。,投影特性:,（2）物体上垂直线的投影分析,一般位置直线,投影特性：,三个投影都缩短了。即: 都不反映空间线段的实长及与三个投影面夹角，且与三根投影轴都倾斜。,例1：判别下列直线
6、的空间位置,铅垂线,正平线,一般位置线,例1：判断形体中直线的空间位置,AB是 线 AC是 线 CD是 线,侧垂线,铅垂线,水平线,例2：试分析立体表面上各线段的空间位置。,例题：判断下列直线的位置,直线上点的投影,（1） 若点在直线上, 则点的投影必在直线的同名投影上。,若点的投影有一个不在直线的同名投影上， 则该点必不在此直线上（即不满足从属性）。,判别方法：,AC/CB=ac/cb= ac / cb,等比性,从属性,（2）直线上的点分割直线之比与其投影分割直线投影之比相等。即：,点C不在直线AB上,例1：判断点C是否在线段AB上。,点C在直线AB上,例2：判断点K是否在线段AB上。,a,
7、b,因k不在ab上 所以点K不在A上。,a,b,k,a,b,k,方法1：利用从属性,方法2：利用等比性,两直线的相对位置,空间两直线的相对位置分为：, 两直线平行,平行、相交、交叉等三种情况。,V,H,投影特性：,空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行，反之亦然。,a,b,c,d,c,a,b,d,例1：判断图中两条直线是否平行。,对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。,AB/CD,b,d,c,a,c,b,a,d,d,b,a,c,结论: 对于投影面平行线，只有这两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。若要用两个投影判断，其中应包括反映实长的投影。,求出侧面投影后可知
8、：,AB与CD不平行。,例1：判断图中两条直线是否平行。,求出侧面投影,如何判断？, 两直线相交,判别方法：,若空间两直线相交，则其同名投影必交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律（三等）。,例：过C点作水平线CD与AB相交。,先作正面投影,例题8 给出平面四边形ABCD的V投影及其两条边的H投影，试完成四边形的H投影。,1(2 ),3(4 ), 两直线交叉,投影特性：,（1） 同名投影可能相交，但 “交点”不符合空间一个点的投影规律。,（2） “交点”是两直线上的一 对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。,、在H面是重影点。,为什么？,两直线相交吗？,例、判定两直线是否相交,X,
9、YW,Z,YH,d,c,c,c,a,b,a,b,O,d,a,b,d,k,k,k,交点不符合 投影规律,O,X,a,b,c,d,a,b,c,d,1(2),1,2,4(3),3,4,例：判断两直线的位置关系,交叉,判断两重影点其积聚性投影的可见性时，需要看两重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。,判断三棱锥可见性,1(2),3(4),相互垂直的二直线的投影,（a）立体图,(b) 二直相交线垂直,(c) 二直相交线垂直,(d) 二直相交线垂直,定理一 垂直的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。 定理二 两直线在
10、同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。,1.2.3 平面的投影,一、平面的表示方法,平面通常用确定该平面的点、直线或平面图形等几何元素的投影表示，如图所示。,图1 用几何元素表示平面,平面的投影特性,投 影 特 性,a、平面平行投影面投影反映实形,b、平面垂直投影面投影积聚成直线,c、平面倾斜投影面投影类似原平面,实形性,类似性,积聚性,（1）平面对一个投影面的投影特性,（2） 各种位置平面的投影,平面对于三投影面的位置可分为三类：,投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,投影面垂直面,H,(1) 投影面垂直面的投影特性,a,b,c,a,c,b,
11、c,b,a,积聚性,铅垂面,投影特性：,在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。,另外两个投影面上的投影有类似性。,为什么？,是什么位置的平面？,主、左视图类似性,投影面平行面,投影面平行面的投影特性,实形性,投影特性：,在它所平行的投影面上的投影反映实形。,另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。,积聚性,积聚性,这是什么位置 平面？,水平面！,一般位置平面,c、 一般位置平面,三个投影都是类似形。,投影特性：,1.2.4 点、直线、平面的从属关系,判断直线在 平面内的方法,（1） 平面上取任意直线,a,b,c,b,c,a
12、,d,n,m,例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试 在平面内任作一条直线。,解法一：根据定理一,解法二：根据定理二,问：有多少解？,答：有无数解。,例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到 H面的距 离为10mm。,n,m,n,m,答：唯一解！,问：有多少解？,2. 在平面上作正平线和水平线,（2） 平面上取点,先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。,例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。,面上取点的方法：,首先面上取线,利用平面的积聚性求解,通过在面内作辅助线求解,例题 设在四棱台前侧面BCED上有一点A。已知它的水平投影a，求正面投影a。,b,k,b,例2：已知AC为正平线，补全平行四边形 ABCD的水平投影。,解法一,解法二,投影面垂直面上的点和直线,例题 给出两坡顶屋面上一点A的V 投影a,求a和a“。,1. 掌握正投影的基本概念和基本规律。 2. 熟练掌握点的投影规律并能正确绘制。 3. 熟练掌握面的投影规律，并能绘制相关投影。 4.熟练掌握绘制基本体的投影方法。 5.通过练习建立空间概念，熟练掌握空间点、线、面、体与投影的对应关系，并逐步提高空间想像力。,本 章 小 结,
