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1、高二 第期 27 1 高二 J 选修 3-4第27期 物理长廊 适用于 J 选修 3 - 4 广告经营许可证号：2301004000015育才报 社地址：哈尔滨市道里区田地街 100 号邮编：150010 印刷： 北京世纪华彩印务有限责任公司本学期总定价： 13.00 元编辑部质量反馈热线：0431-81041508刘老师投诉电话：0791-86855729张老师 简谐运动是高中阶段所学的最复杂的运动形式,但 是它又具有鲜明的特点， 主要表现为周期性、 往复性、 对 称性。深刻理解这几个特点， 对我们解决相关问题有很 大的帮助， 下面具体分析一下周期性与往复性。 巧用简谐运动的周期性 做简谐运
2、动的物体在时间上具有周期性， 即运动的 重复性， 物体的位移、 加速度、 速度、 回复力、 动能和势能 等都随时间做周期性变化。 振动物体在一个周期内通过的路程为 4A （A 为振 幅） ， 半周期内通过的路程为 2A， 但四分之一周期内的 路程就可能大于、 等于或小于 A， 这与计时起点位置有 关。 例一弹簧振子做简谐运动， 周期为 T， 则下列说法 中正确的是（） A援 若 t 时刻和 （t + 驻t） 时刻振子运动位移的大小相 等、 方向相同， 则 驻t 一定等于 T 的整数倍 B援 若 t 时刻和 （t + 驻t） 时刻振子运动速度的大小相 等、 方向相反， 则 驻t 一定等于T 2
3、的整数倍 C援 若 驻t = T， 则在 t 时刻和 （t + 驻t） 时刻振子运动 的加速度一定相等 D援 若 驻t = T 2 ， 则在 t 时刻和 （t + 驻t） 时刻弹簧的长 度一定相等 解析：若 t 时刻和 （t + 驻t） 时刻， 振子运动的位移大 小相等、 方向相同， 表明两时刻振子只是处在同一位置， 其速度方向还可能相反， 则 驻t 不一定是 T 整数倍， 故选 项 A 错误。 若 t 时刻和（t + 驻t） 时刻， 振子运动的速度大小相 等、 方向相反， 这时振子可能处于平衡位置两侧的两个 对称的位置上， 也可能是两次处于同一位置上， 这都不 能保证 驻t 一定是T 2 的
4、整数倍， 故选项 B 错误。 振子每经过一个周期， 必然回到原来的位置， 其对 应的加速度一定相等， 故选项 C 正确。 经过半个周期， 弹簧的长度变化大小相等、 方向相 反， 即一个对应弹簧被压缩， 另一个对应弹簧被拉伸， 这 两种情况下弹簧的长度不相等， 故选项 D 错误。综上所 述， 选项 C 正确。 答案：C 点拨：对于简谐运动而言， 周期性表现在各物理量 每经过一定的时间变为原来的值， 要搞清各物理量变化 的周期。 简谐运动是在特定回复力的作用下的振动形式， 振 动过程中， 其机械能守恒。认真理解简谐运动振动过程 中能量的转化问题，有助于加深对简谐运动的理解， 以 期达到牢固掌握的目
5、的。 一、 简谐运动的能量 1援 简谐运动的能量概念 简谐运动的能量是指做简谐运动的物体在振动过 程中经过某一位置时所具有的动能和势能之和， 即指做 简谐运动物体所具有的机械能。 2援 做简谐运动的物体能量的变化规律 简谐运动过程是一个动能和势能不断相互转化的 过程， 在不考虑摩擦等阻力的情况下， 在任意时刻动能 和势能之和保持不变， 即机械能守恒。对于弹簧振子来 说， 振子向平衡位置运动的过程中， 弹簧的弹性势能转 化为振子的动能； 振子远离平衡位置时， 振子的动能转 化为弹簧的弹性势能。 3援 振幅与振动能量的关系 把原来静止的弹簧振子拉离平衡位置时， 需要外力 对物体做功， 把其他形式的
6、能量转化为物体初始的势能 储存起来。 外力做的功越多， 物体获得的势能就越大， 它 开始振动时的振幅也越大， 因此， 振动的振幅大小反映 了振动能量的多少。 例水平方向做简谐运动的弹簧振子，其质量为 m， 最大速率为 v， 则下列说法中正确的是（） A. 振动系统的最大弹性势能为 1 2 mv2 B. 当振子的速率减为 v 2 时，此振动系统的弹性势 能为 mv2 4 C. 从某时刻起， 在半个周期内， 弹力做的功为零 D. 从某时刻起， 在半个周期内， 弹力做的功一定为 1 2 mv2 解析：A. 水平方向弹簧振子做简谐运动， 其质量为 m， 最大速率为 v， 当速率为零时， 弹性势能是最大
7、且为 1 2 mv2， 故 A 正确； B. 当振子的速率减为 v 2 时， 此振动 系统的弹性势能为3mv 2 8 ， 故 B 错误； C. 从某时刻起， 在 半个周期内， 由于位移大小具有对称性， 所以弹力做功 之和为零， 故 C 正确； D. 从某时刻起， 在半个周期内， 由 于位移大小具有对称性， 所以弹力做功之和为零， 故 D 错误， 故选 AC。 答案：AC 点拨：水平方向的弹簧振子看成简谐运动， 是理想 化模型， 在忽略振子的摩擦力情况下的运动。同时振子 半个周期内， 弹力做功一定为零， 当在 1 4 周期内， 弹力 做功不一定为零。 二、 简谐运动过程中能量以及其他物理量的变化
8、规律 以水平方向振动的弹簧振子 （如图所示） 为例， 见下表。 A OB A寅OO寅BB寅OO寅A 位移 x 逐渐减小 方向： O寅A 逐渐增大 方向： O寅B 逐渐减小 方向： O寅B 逐渐增大 方向： O寅A 回复力 F = -kx 逐渐减小 方向： A寅O 逐渐增大 方向： B寅O 逐渐减小 方向： B寅O 逐渐增大 方向： A寅O 加速度 a=-k m x 逐渐减小 方向： A寅O 逐渐增大 方向： B寅O 逐渐减小 方向： B寅O 逐渐增大 方向： A寅O 速度 v 逐渐增大 方向： A寅O 逐渐减小 方向： O寅B 逐渐增大 方向： B寅O 逐渐减小 方向： O寅A 动能 Ek逐渐
9、增大逐渐减小逐渐增大逐渐减小 势能 Ep逐渐减小逐渐增大逐渐减小逐渐增大 通过上表不难看出： 位移、 回复力、 加速度三者的大 小同步变化， 与速度的变化相反。通过上表要看出两个 转折点： 平衡位置 O 点是位移、 加速度和回复力方向变 化的转折点；最大位移处的 A 点和 B 点是速度方向变 化的转折点。通过上表还可以比较出两个过程， 即向平 衡位置靠近的过程 （A寅O 及 B寅O） 及远离平衡位置的 过程 （O寅B 及 O寅A） 的不同特点： 靠近 O 点时速度、 动 能变大， 远离 O 点时位移、 加速度、 回复力和势能变大。 一个可看做质点的小球与一根弹性很好且不计质 量的弹簧相连就组成
10、一个弹簧振子， 弹簧振子与质点一 样， 是一个理想的物理模型。由于简谐运动中物体的速 度、 位移、 加速度及回复力关于平衡位置呈现对称性和 周期性变化， 在后续的解题中会有重要应用， 能否准确 把握基本模型就成为了关键， 本文就对不考虑阻力的情 况下的两种弹簧振子模型进行了简单的阐述， 以期对同 学们起到抛砖引玉之效。 一、 水平弹簧振子 在水平方向上振动的弹簧振子的回复力是由弹簧 的弹力提供的， 回复力表达式为 F = -kx， 其中 k 为弹 簧的劲度系数。 系统能量的转化关系： 不计阻力的情况 下， 振子的动能和弹簧的弹性势能相互转化， 总能量保 持不变。 例 1 水平弹簧振子在 B、
11、C 间做简谐运动， O 为平 衡位置， BC 间距离为 10 cm， B寅C 运动时间为 1 s， 如图 1 所 示， 则 （） A援 从 O 寅 C 寅O 振子做 了一次全振动 B援 振动周期为 1s， 振幅是 10cm C援 经过两次全振动， 通过的路程是 20cm D援 从 B 开始经 3s， 振子通过的路程是 30cm 解析：振子从 O 寅 C 寅 O 的振动只是半次全振 动， 故 A 错。振子从 B 寅 C 是半次全振动， 故周期 T = 2 伊 1s = 2s， 振幅 A = OB = BC 2 = 5cm， 故 B 错。由全 振动的定义知， 振子从 B 寅 C 寅 B 为一次全振
12、动， 振子 路程为 s = 4A = 20 cm，所以两次全振动的路程是 2 伊 20cm = 40cm， 故 C 错。t = 3 s = 3 2 T， 即振子经历了 3 2 个全振动， 路程 s = 4A + 2A = 30cm， 故 D 正确， 正确答 案是 D。 答案：D 例 2如图 2 所示， 物体系在两弹簧之间， 弹簧劲度 系数分别为 k1和 k2， 且 k1= k， k2= 2k， 两弹簧均处于自然 状态。现在向右拉动物体， 然后释放， 物体在 B、 C 间振动， O为平衡位置 （不计阻力） ， 则下列判断正确的是（） A援 物体做简谐运动， OC = OB B援 物体做简谐运动，
13、 OC屹OB C援 回复力 F = -kx D援 回复力 F = -3kx 解析：如图 3， 设在 A 处物体的位移为 x， 则在 A 处 物体所受水平方向的合力为 k2x + k1x =（k2+ k1)x， 考虑 到 F 与 x 的方向关系， 有 F = - （k2+ k1） x = -3kx， 选项 D 正确， C 错误； 可见物体做的是简谐 运动， 由简谐运动的对称性 可得 OC = OB， 选项 A 正确， B 错误。 正确答案为 A、 D。 答案：AD 二、 竖直弹簧振子 在竖直方向上振动的弹簧振子的回复力是由弹簧 弹力和振子重力的合力提供的。系统能量的转化关系： 不计阻力的情况下，
14、 振子的动能、 重力势能和弹簧的弹 性势能相互转化， 总能量保持不变。 例 3试证明， 在竖直方向上做自由振动的弹簧振 子是做简谐运动。 分析：这是一个沿一条直线做振动的实例， 要证明 它做简谐运动， 只需证明它所受合力符合 F = -kx 即可。 证明：如图 4 所示，设振子平衡时弹簧被拉长 x0， 则有 kx0= mg， k 为弹簧的劲度系数， x0为弹簧从自由长 度被拉伸的量。 当振子从平衡位置有向下的位移 x 时， 振子所受合 力 F = mg - k （x0+ x）= -kx， 方向向上。 当振子从平衡位置有向上的位移 x 时， 振子所受合力 F = k （x0- x）- mg =
15、-kx， 方向向下， 可见， 振子在振动过程中， 其回复力 （合力） F与位移 x 满足 F = -kx 关系， 故其振动为简谐运动。 例 4如图 5 所示， 在质量为 M 的无下底的木箱顶 部用一轻弹簧悬挂质量均为 m（M 逸 m）的 D、 B 两物 体。箱子放在水平地面上， 平衡后剪断 D、 B 间的连线， 此后 D 将做简谐运动， 当 D 运动到最高点时， 木箱对地 的压力为（） A. Mg B援（M - m） g C援（M + m） g D.（M + 2m） g 解析：一般说来， 弹簧振子在振 动过程中的振幅的求法均是先找出 其平衡位置， 然后找出当振子速度为零时的位置， 这两 个位置
16、间的距离就是振幅。 解题时要注意弹簧振子运动 的对称性。 当剪断 D、 B 间的连线后，物体 D 与弹簧一起可当 做弹簧振子， 它们将做简谐运动， 其平衡位置就是当弹 力与 D 的重力相平衡时的位置。初始运动时 D 的速度 为零，故剪断 D、 B 连线瞬间 D 相对以后的平衡位置的 距离就是它的振幅，弹簧在没有剪断 D、 B 连线时的伸 长量为 x1= 2mg k ，在振动过程中的平衡位置的伸长量 为 x2= mg k ，故振子振动过程中的振幅为 A = x1- x2= mg k 。 D 在运动过程中， 能上升到的最大高度是离其平衡 位置为 A 的高度， 由于 D 振动过程中的平衡位置在弹 簧自由长度以下 mg k 处，刚好弹簧的自由长度处就是 D 运动的最高点，说明了当 D 运动到最高点时， D 对 弹簧无作用力， 故木箱对地的压力为木箱的重力 Mg。本 题选 A。 答案：A 四川杨国栋 知识拓展 重点讲解 河北王广北 本期内容 简谐运动 单摆 本期亮点 1. 剖析简谐运动中的能量问题 2. 对单摆周期公式的理解 两 种 弹 簧 振 子 模 型 振幅、 位移和路程是在描述简谐运
