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1、19871987 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，满分分，满分 1515 分分) ) (1) 设ln 1yax，其中a为非零常数，则y ，y . (2) 曲线arctanyx在横坐标为 1 的点处的切线方程是，法线方程是 . (3) 积分中值定理的条件是，结论是. (4) 2 lim 1 n n n n . (5)( )fx dx ；(2 ) b a fx dx . 二、二、( (本题满分本题满分 6 6 分分) ) 求极限 0 11 lim 1 x x xe .
2、 三、三、( (本题满分本题满分 7 7 分分) ) 设 5sin 5 1 cos xtt yt ，求 2 2 ,. dy d y dx dx 四、四、( (本题满分本题满分 8 8 分分) ) 计算定积分 1 0 arcsinxxdx . 五、五、( (本题满分本题满分 8 8 分分) ) 设D是由曲线sin1yx与三条直线0,0xxy围成的曲边梯形，求D绕 Ox轴旋转一周所生成的旋转体的体积. 六、证明题六、证明题( (本题满分本题满分 1010 分分) ) （1）若 f x在, a b内可导，且导数 fx恒大于零，则 f x在, a b内单调增加。 （2）若 g x在xc处二阶导数存在，
3、且 0,0,g cgc则 g c为 g x的一 个极大值. 七、七、( (本大题满分本大题满分 1010 分分) ) 计算不定积分 2222 1 sincos dx axbx ,其中, a b是不全为 0 的非负数. 八、八、( (本题满分本题满分 1010 分分) ) （1）求微分方程 dy xxy dx 满足条件 2 0 x y 的特解. （2）求微分方程2 x yyyxe的通解. 九、选择题九、选择题( (本题共本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，满分分，满分 1616 分分) ) (1) cos sin x f xxx ex 是() (A)有界函数(B)单调函数(C)
4、周期函数(D)偶函数 (2) 函数 sinf xxx() (A)当x 时为无穷大(B)在, 内有界 (C)在, 内无界(D)当x 时有有限极限 (3)设 f x在xa处可导，则 0 lim x f axf ax x 等于() (A) fa(B) 2 fa(C)0(D)2fa (4)设 0 ( ), s t Itf tx dx 其中( )f x连续，0,0st，则I的值() (A)依赖于, s t(B)依赖于, ,s t x (C)依赖于, t x，不依赖于s(D)依赖于s，不依赖于t 十、十、( (本题满分本题满分 1010 分分) ) 在第一象限内求曲线 2 1yx 上的一点，使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴所 围成的图形面积最小，并求此最小面积。
