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1、1.3绝对值拓展内容 绝对值与非负数一、知识讲解我们称不是负数的有理数为非负有理数,简称非负数。当我们说x是一个非负数时,用数学符号表示就是x0.值得注意的是,有的同学们往往用x0表示任意一个非负数,而忘掉等号!这是因为他们错将非负数理解为负数的相反数了!尽管只是丢掉一个零,在数轴上只差一个点,但就全体有理数而言,却是丢掉了三类有理数中的一类。也就是说,|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。我们看到,任何有理数的绝对值都是一个非负数,而任何一个非负数都可表示为某数的绝对值。即对任意有理数x 有|x|0,这一点至关重要。只有牢牢掌握绝对值总是非负数并且清楚地认识到什么是非负数,才会正确地处理
2、各种问题。例1. 若a为任意实数,则下列式子中一定成立的是( )A|a|0 B|a|a C. D. 对这个问题的分析首先要注意到绝对值都是非负数,而非负数包括零。如此就很容易淘汰掉A、B,而C需从a的取值范围来讨论,如,则C不对,至于D有非负数的性质:“一个非负数加上一个正数,得正数”,即可知其正确。例2. 已知a0c,ab0,|b|c|a|,化简|a+c|+|b+c|-|a-b|解:分析这个题目的关键是确定a+c、b+c、a-b的符号,根据已知可在数轴上标出a、b、c的大致位置,如图所示:很容易确定a+c0,b+c0,a-b0,由绝对值的概念,原式(a+c)-(b+c)-(a-b)a+c-b
3、-c-a+b0用数轴上的点来表示有理数,用这样的点与原点的距离来表示有理数的绝对值,这里运用了数形结合的思想。二、实战模拟1. 已知m0,则化简m+|m-|m|_2. 已知实数a、b在数轴上的对应位置如图所示,化简|a|-|b|+|a-b|-|b-a|_3. 已知|m|1,|n|2求m+n4. x为何值时,-4|1-x|-5有最大值,最大值是多少?5. 已知a-20b2,去掉下列三式的绝对值符号:6. 试去掉|x2-x-2|的绝对值符号7. 化简|3x+1|-|x|+|1-x|8. 化简|x+3|+|x-2|+|x-5|9. 五个有理数a、b、c、d、e满足|abcde|-abcde,试求的最
4、大值。答案:1. 解 原式m+|m-(-m)|m+|2m|m-2m-m2. 解 由图可知a0,b0,故a-b0,b-a0原式a-(-b)+(a-b)-(b-a)a+b+a-b+b-aa+b说明:本题是根据图形定正负去符号,这种方法可归纳为:“看图形,定性质,去符号”。3. 解 m1,n2,当m1,n2时,m+n3;当m1,n-2时,m+n-1;当m-1,n2时,m+n1;当 m-1, n-2时, m+n-34. 解 当x1时,|1-x|取最小值0,-4|1-x|-5有最大值-55. 解: (1)(2)(3) 6. 解:因为x2-x-2是变量,可以是非负数也可以是负数,所以应当分两种情形去掉绝对
5、值符号:由x2-x-20,得x2或x-1,由x2-x-20,得-1x2 当x2或x-1时,|x2-x-2|=x2-x-2,当-1x2时,|x2-x-2|=-(x2-x-2)=-x2+x+27. 解:式中含有三个变量,即3x+1,x,1- x它们分别为非负数、负数时的x的取值范围是彼此不一样的,可以采用找零点、分区间的办法去绝对值符号: 由即这三个点把数轴分成四个区间: 原式3x+1-(-x)+1-x3x+2当0x1时,3x+10,x0,1-x0,故原式3x+1-x+1-xx+2当x1时,3x+10,x0,1-x0,故原式3x+1-x+-(1-x)=3x8. 分析与略解:本题由于x的取值范围不定
6、,所以我们必须分类讨论x的取值范围情况,分别由x+30,x-20,x-50,得x-3,x2,x5由下面的图可以发现,当x分别取-3、2、5三数左右两边的数时,三个代数式x+3,x-2,x-5的值的符号都不同,因此,有必要从下面的四个x取值所在的区间去讨论化简结果;当x-3时,原式-x-3-x+2-x+5-3x+4;当-3x2时,原式x+3-x+2-x+5-x+10;当2x5时,原式x+3+x-2-x+5x+6;当x5时,原式x+3+x-2+x-53x-49. 解 由题设条件知,abcde0,而 a、b、c、d、e满足abcde 0仅有三种情况:二正三负;四正一负;五负又因为对于任意非零有理数a,有故S最大值是在四正一负时取得,即S最大值。5