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1、1.3绝对值拓展内容 绝对值与非负数一、知识讲解我们称不是负数的有理数为非负有理数，简称非负数。当我们说x是一个非负数时，用数学符号表示就是x0.值得注意的是，有的同学们往往用x0表示任意一个非负数，而忘掉等号！这是因为他们错将非负数理解为负数的相反数了！尽管只是丢掉一个零，在数轴上只差一个点，但就全体有理数而言，却是丢掉了三类有理数中的一类。也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。我们看到，任何有理数的绝对值都是一个非负数，而任何一个非负数都可表示为某数的绝对值。即对任意有理数x 有|x|0，这一点至关重要。只有牢牢掌握绝对值总是非负数并且清楚地认识到什么是非负数，才会正确地处理
2、各种问题。例1. 若a为任意实数，则下列式子中一定成立的是( )A|a|0 B|a|a C. D. 对这个问题的分析首先要注意到绝对值都是非负数，而非负数包括零。如此就很容易淘汰掉A、B，而C需从a的取值范围来讨论，如，则C不对，至于D有非负数的性质：“一个非负数加上一个正数，得正数”，即可知其正确。例2. 已知a0c，ab0，|b|c|a|，化简|a+c|+|b+c|-|a-b|解：分析这个题目的关键是确定a+c、b+c、a-b的符号，根据已知可在数轴上标出a、b、c的大致位置，如图所示：很容易确定a+c0，b+c0，a-b0，由绝对值的概念，原式(a+c)-(b+c)-(a-b)a+c-b
3、-c-a+b0用数轴上的点来表示有理数，用这样的点与原点的距离来表示有理数的绝对值，这里运用了数形结合的思想。二、实战模拟1. 已知m0，则化简m+|m-|m|_2. 已知实数a、b在数轴上的对应位置如图所示，化简|a|-|b|+|a-b|-|b-a|_3. 已知|m|1，|n|2求m+n4. x为何值时，-4|1-x|-5有最大值，最大值是多少？5. 已知a-20b2，去掉下列三式的绝对值符号：6. 试去掉|x2-x-2|的绝对值符号7. 化简|3x+1|-|x|+|1-x|8. 化简|x+3|+|x-2|+|x-5|9. 五个有理数a、b、c、d、e满足|abcde|-abcde，试求的最
4、大值。答案：1. 解 原式m+|m-(-m)|m+|2m|m-2m-m2. 解 由图可知a0，b0，故a-b0，b-a0原式a-(-b)+(a-b)-(b-a)a+b+a-b+b-aa+b说明：本题是根据图形定正负去符号，这种方法可归纳为：“看图形，定性质，去符号”。3. 解 m1，n2，当m1，n2时，m+n3；当m1，n-2时，m+n-1；当m-1，n2时，m+n1；当 m-1， n-2时， m+n-34. 解 当x1时，|1-x|取最小值0，-4|1-x|-5有最大值-55. 解： （1）（2）（3） 6. 解：因为x2-x-2是变量，可以是非负数也可以是负数，所以应当分两种情形去掉绝对
5、值符号：由x2-x-20，得x2或x-1，由x2-x-20，得-1x2 当x2或x-1时，|x2-x-2|=x2-x-2，当-1x2时，|x2-x-2|=-(x2-x-2)=-x2+x+27. 解：式中含有三个变量，即3x+1，x，1- x它们分别为非负数、负数时的x的取值范围是彼此不一样的，可以采用找零点、分区间的办法去绝对值符号： 由即这三个点把数轴分成四个区间： 原式3x+1-(-x)+1-x3x+2当0x1时，3x+10，x0，1-x0，故原式3x+1-x+1-xx+2当x1时，3x+10，x0，1-x0，故原式3x+1-x+-(1-x)=3x8. 分析与略解：本题由于x的取值范围不定
6、，所以我们必须分类讨论x的取值范围情况，分别由x+30，x-20，x-50，得x-3，x2，x5由下面的图可以发现，当x分别取-3、2、5三数左右两边的数时，三个代数式x+3，x-2，x-5的值的符号都不同，因此，有必要从下面的四个x取值所在的区间去讨论化简结果；当x-3时，原式-x-3-x+2-x+5-3x+4；当-3x2时，原式x+3-x+2-x+5-x+10；当2x5时，原式x+3+x-2-x+5x+6；当x5时，原式x+3+x-2+x-53x-49. 解 由题设条件知，abcde0，而 a、b、c、d、e满足abcde 0仅有三种情况：二正三负；四正一负；五负又因为对于任意非零有理数a，有故S最大值是在四正一负时取得，即S最大值。5
