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1、课堂上教师应如何发挥重要的指导作用-“平角、周角的认识”教学案例与反思 执教： 山东省宁阳县现代学校 高 智分析与反思： 山东省宁阳县教科研中心 柏义伟【案例背景】对课堂教学如何进行评价与研究，在中国教育学会小学数学教学专业委员会第十一届年会上，孔企平教授曾指出：“学生的主体作用是否突出；教师的引导是否有效；教学过程是否合理并富有思考性”（“发展小学数学教师的教学决策能力”，1）作为进一步的思考与研究，这事实上是教师课堂上应如何发挥重要指导作用的问题。自新一轮课程改革以来，教学方式与学习方式的变革一直是教师努力追求的目标，它在一定程度上已经内化为教师自我评价的重要指标。但随之而来暴露出的新问题
2、，如学生两极分化现象的加剧，课堂教学效率的低下等等，长期以来制约着数学课堂教学向纵深方向发展，引发了广大教师对自身作用认识的思考。在义务教育课程标准实验教科书 数学）（青岛版）四年级（下）备课研讨会上，“平角与周角的认识”一课，为我们研究上述问题提供了一个交流的平台。【案例描述】一、创设情境，提炼问题：同学们请看屏幕。仔细观察，你能发现什么？生1：这是一片工地。生2：有很多挖掘机在工作。从图中我们可以看到，繁忙的工地上，挖掘机正在紧张地工作着。谁知道挖掘机是怎样工作的？通过上面的观察，我们知道了铲斗臂是怎样工作的。请小朋友再仔细观察，你能发现哪些数学信息？生1：挖掘机上有角。生2：有的角大，有
3、的角小。正是因为铲斗臂能够自由地拉直与弯曲，所以也就能够形成各种各样大大小小的角，也就是说，“铲斗臂上的角能大能小”（在屏幕情境图中呈现）。那么，小朋友能提出哪些关于角的数学问题呢？生1：它们都是什么角。生2：为什么有的角大，有的角小。生3：怎样画角小朋友提出的问题还真不少，今天我们首先来研究“挖掘机在工作时，铲斗臂可以形成什么样的角？”（屏幕上呈现问题，同时定格例题一中的四个铲斗臂模型图）二、学习例题1：1、指一指：请同学们伸出右手食指，试一试，能不能将铲斗臂形成的角指出来？哪位同学愿意到台上来指出这些角？大家可要看清楚了，看能有哪些发现！教师指名一位同学上台，他分别指出了前3个角所在的位置
4、，既用“数”的方法指出了3个角，而非指出角的两条边；同时说明“第4个不是角”。听听同学们怎么评价。大家有什么不同意见？要指出一个角，正确的方法应该是：从顶点开始，分别指出两条边（教师同时利用动作语言说明）。请同学们一起随老师指出这些角：第一个角（动作与语言描述相结合）从顶点出发，先指出一条边，再指出另一条边，这是一个锐角。第二、三个角结合动作分别说明是“钝角”与“直角”。第四个角它的顶点在哪儿呀？原来藏在了“关节”处，这是一条边，这是另一条边；原来它也是一个角，谁知道这是什么角？这是一个“平角”（板书）。2、做一做：上面呢我们分别指出了这些角。请小朋友认真思考一下，想一个什么办法，能让我们进一
5、步来研究角？生1：想一想生活中哪里有角。生2：画角。生3：用三角板画角。这样好不好，我们先来做一个角，通过做一个活动角，来帮助我们进一步研究。请大家想一想，通过做一个活动角，我们要研究什么数学问题？伴随学生回答，屏幕呈现活动要求转动一下，可以形成什么样的角？那么，请同学们猜想一下，到底可以形成什么样的角？学生猜想“可以形成锐角、钝角、直角与平角”。教师组织交流：哪个组的同学愿意告诉我们大家，通过做活动角，转动角的两条边，可以形成什么样的角？生：（结合动作描述自己的发现）用图钉将两根纸条的一端钉住，然后通过转动解释形成的分别是锐角、直角、钝角与平角。再转动将两根纸条重合在一起，学生解释“这就不是
6、一个角了”。下面请同学们做好准备，随屏幕上的演示，分别做出几种角：固定一条边不动，转动角的另一条边，分别得到锐角、直角、钝角、平角；继续转动，最后角的两条边重合在一起，这是不是角？是什么角？生1：直线角。生2：线段角。生3：射线角。在数学上，我们把这样的角叫做“周角”。伴随着计算机演示与学生的同步活动，屏幕分别定格呈现用纸条做成的锐角、直角、钝角、平角、周角象形图与数学图，并同时呈现每种角的名称。3、画一画：上面我们通过做活动角，发现了两种新的角平角和周角。如果我们再进一步研究角，接下来该干什么了？有的同学在前面已经想到了-是不是应该画角？下面请小朋友试一试，先画出锐角、直角和钝角。再请同学们
7、试一试，看能不能画出平角和周角。指名学生上台展示，交流画法：生1：先画一条直线，然后在中间点上一个“点”，就画出了一个平角。生2：我觉得周角只画一条射线就可以了。我们听听其他同学的意见。你们觉得这样画角有什么问题没有？生1：在直线中间点上一个“点”，它还是一条直线，我觉得不像是平角，只是平角的两条边成了一条直线。生2：射线就是射线，怎么会是周角呢？那么，想一个什么办法，能使它们看起来像平角与周角？（学生表情告诉老师“他们没能想到办法”）还记得我们是用什么方法得到平角与周角的吗？生1：是用转动的方法。生2：当角的两条边成一条直线时，就成了一个平角；当角的另一条边转动一周，两条边重合时，就成了一个
8、周角。看来，只有在图中把“旋转”表示出来，看起来才像是平角与周角。那么，用什么符号来表示“旋转”呢？生1：用箭头。生2：画阴影。教师演示：一般情况下，是在角的两条边之间画一条“弧线”来表示旋转所成的角。同时让学生修改图形，既在自己画的平角与周角图上添加“弧线”。4、说一说：通过上面的学习，我们知道了除锐角、直角、钝角以外，还有另外两个新的角平角和周角。请同学们仔细观察，这几种角有什么相同的地方？生1：都是旋转得到的。生2：都有顶点。生3：还有两条边。请同学们想一想，能不能把角的两条边延长与缩短？（计算机动态演示）也就是说，“从一点起，画两条射线，就组成一个角”（屏幕呈现）。请小朋友用动作告诉老
9、师，角可以用哪一个符号来表示？不管是哪种角，都可以用符号“ ”来表示（教师板书）。为了能区别每一个角，通常我们要用数字给每个角作编号，像屏幕上的5个角，每个角分别记作1（在教师分别板书的同时，学生随教师一起写出每个角的记法）。它们分别读作角一（学生随教师读）。5、练一练：（1）三角板上有几个角？分别是什么角？提出问题交流认识呈现结论：三角板上有三个角，其中有一个直角，两个锐角。（2）连线：呈现五种角的图形，与它们各自的名称连一连。（3）呈现5个钟表图：说一说分针与时针所成的角分别是什么角。三、学习例题2：1、比一比：呈现例题2：请大家猜想一下，角1和角2到底哪个大？说一下你是怎么想的？生：角2
10、大。因为要是把两个角重合起来，好象是角2要大。要知道角1和角2哪个大，光凭猜想还不行，接下来还应该怎么办？是不是要验证我们的猜想了？请小朋友认真思考一下，想一个什么办法，能验证我们的猜想？学生想到“用三角板比一比”。请小朋友拿出练习纸（将例题二呈现在纸上，角1和角2分别为60度和70度），下面呢我们就利用三角板试一试，看是不是角2比角1大。学生尝试后，积极要求发言，教师指名学生交流认识：生1：（先用三角板上60度的角测量角1）角1和三角板上的这个角一样大；（再用三角板上60度的角测量角2）角2比三角板上的这个角要大。所以角2比角1大。生2：角2的边离三角板要远一些，而角1的边正好靠近三角板，所
11、以角2比角1大。（计算机动态演示上述学生想到的测量方法，同时将角2比角1大的部分呈现为阴影）角2的边离三角板要远一些，而角1的边正好与三角板上的边重合，这说明，两个角相比较，角2两条边张开的要大一些，而角1两条边张开的要小一些，所以角2比角1大。看来，要比较角的大小，就要看角的两条边张开的大小角的两条边张开的越大，这个角就越大。2、想一想：（屏幕呈现3行3列角的图形案例：3行角的大小分别是30度、60度和90度，每行中三个角的边长不同，每一列角的边长相同而角的大小不同）仔细观察，你能发现什么？为什么？生1：横着看，角一样大。因为角的两边张开的同样大。生2：竖着看，角越来越大。因为角的两边张开的
12、越来越大。（计算机演示：每列3个角不能完全重合）角的两条边张开的大小不同，所以纵向看3个角大小不同。（计算机演示：每行3个角能够完全重合）角的两条边张开的大小是一样的，所以3个角同样大。再仔细观察边的长短，有没有新的发现？生1：边长不同。生2：边越来越长。每一行3个角同样大，但是它们的边长不同，这说明角的大小与边的长短有没有关系？那么，角的大小与边的长短为什么没有关系？学生表情告诉教师“不能回答”。想像一下，如果将角的两条边无限延长，两边张开的大小变了没有？再想像一下，如果将角的两条边缩短，两边张开的大小变了没有？正是因为不能改变角的两边张开的大小，所以不论将边延长还是缩短，都不会改变角的大小
13、。（屏幕呈现）角的大小要看两条边张开的大小，张开的越大，角越大。角的大小与角的两边画出的长短没有关系。通过上面的学习，我们知道了角2比角1大。那么，角2和角1分别有多大？角2比角1大多少？这就是我们下节课将要研究的内容。【分析与反思】一个优秀的教学案例，带给我们的不仅仅是视觉上的享受，更重要的是它能够触动我们的心灵，这是案例值得反思的基础。当然，对案例进行反思，目的不是对教师的教学做出优劣评价，更重要的是将案例中的有效要素提炼出来，使广大教师能够从“为什么”的角度理解案例，也即“用别人这面镜子反射自己的教学认识与教学行为”，使之在更大范围内产生广泛而深远的影响。就课堂上教师应如何发挥重要的指导
14、作用而言，本案例能够带给我们以下几个方面的启迪：一、以实践活动为主线突出学生学习的主体作用。指一指、做一做、画一画、说一说、练一练、比一比、想一想等构成了学生学习的课堂活动基本柜架，改变了学生仅凭眼看耳听获取知识的学习方式，真正实现了“在游泳中学习游泳”的学习要求。二、以提出启发性的问题为手段突出教师的引导作用。在角的认识阶段，启发学生想到“做一个活动的角、画角能帮助我们进一步研究”，并且不要忘记“我们要研究的数学问题-转动一下，可以形成什么样的角”；在角的大小比较学习中，启发学生想到“用三角板比一比，能验证我们的猜想”。正如美国学者巴拉布与达菲所指出的，“教师的工作是通过向学生问他们应当自己
15、问自己的问题来对学习和问题解决进行指导。这是参与性的，不是指示性的；其基础不是要寻找正确答案，而是针对专业的问题解决者当时会向自己提出的那些问题。”（“从实习场到实践共同体”，2第31页）三、以理论为指导设计符合儿童认知规律的教学过程。从学生现有的发展水平（锐角、直角与钝角是学生已有的认识）到潜在的发展水平（用图形表征平角与周角）之间，是学生的最近发展区；指一指、做一做、画一画三步曲，是为帮助学生达到潜在的发展水平所架设的“脚手架”，同样也遵循了布鲁纳关于儿童智力发展从动作水平，到表象水平，到分析水平的心理过程。四、以提供适当的案例为基础帮助学生破解学习的难点。作为“空间与图形”领域的学习内容，角的认识是在平面二维空间内进行的，角所包含的平面空间的大小决定了角的大小，既“角的大小要看两条边叉开的大小”。这也就是说，利用三角板探究角1和角2的大小关系，学生实际上是在对两个角所包含的平面空间进行大小比较，进而获得新的认识。这样的学习活动其实已经改变了学生已有的认知结构与经验，例如测量线段的长短是学生熟悉的-线段所包含的数量的多少就是它的长短。为此，教师为学生提供了3行3列角的图形案例，通过寻找“不变中的变”（纵向看3个角的边长相同
