《【2017年整理】数字电路基础_D01-02数制与二进制编码》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【2017年整理】数字电路基础_D01-02数制与二进制编码（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.2 数制与二进制编码1.2.1 数制数制是构成多位数码中每一位的方法和由低位向高位的进位规则，它也是人们在日常生活和科学研究中采用的计数方法。如十进制是人们常用的进位计数制，十二进制是日常钟表的计时制。在计算机和数字通信设备中广泛使用二进制、八进制和十六进制计数制。 1.十进制在十进制中，每一位有 0、l、2、3、4、5、6、7、8、9 十个数码，超过 9 的数应“逢十进一” ，即用多位数表示，这种方法称为位置计数法。例如，十进制数 32825 可写成：(32825) l0310 2十 2 X101十 8100十 210-1十 510-2上式各数位的乘数即 102，10 1，10 0，10
2、 -1，l0 -2称为各相应数位的“权” ，与“ 位权”相乘的数称为系数。因此，任意一个十进制数均可按权展开为(1-2-1)10)()(nmiiikS其中，K i是第 i 位的系数，它可以是 09 这十个数码中的任何一个，整数部分为 n 位，小数部分为 m 位。式中使用的下脚注 10 表示括号中的数为十进制数，有时也可用 D(decimal)代替。若用 N 取代上式中的 10，即可得到任意进制(N 进制)的按权展开式为(1-2-2)10)()(nmiiik式中，(N) i称为第 i 位的权值。2.二进制在数字系统中，广泛地采用二进制计数制。主要原因是二进制的每一位数只有两种可能取值，即“0 ”
3、或“1” ，可以用具有两个不同稳定状态的电子开关来表示，使数据的存储和传送用简单而可靠的方式进行。二进制数的特点是：(1)每位二进制数只有两个数码 0 或 1；(2)二进制数的计数规则是“逢二进一” ，与十进制数一样，采用位置计数法表示。二进制各位的“权”是基数 2 的幂。一个任意二进制数 (S)2的按权展开式为(S)2K n-1 2 n-1十 Kn-2 2 n-2十十 K1 2 1十 K 0 2 0十 K-1 2 -1十十 K-m 2 m (1-2-3)式中，K i、n、m 的定义与十进制相同，只是 Ki的取值为 0 或 1，二进制有时用B(Binary)表示。3.八进制和十六进制对于计算机
4、、数字通信、数据通信等数字系统来说，采用二进制计数制运算、存储和传输信息极为方便，但书写起来由于数码过长很不方便，并且极易产生错误。为此经常需要采用八进制或十六进制表示数字系统单元间的数据转发、存储和传送。 八进制有时用 O(Octal)表示，有 0、l、2、3、4、5、6、7 共 8 个数码，基数(权)为8，计数规则为“逢八进一” 。其按权展开式为(1-2-4)18)()(nmiikS十六进制计数规则为“逢十六进一” 。其按权展开式为(1-2-5)16)()(nmiiik十六进制采用的数码为 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F。数码AF 分别代表十进制数 10 1
5、5。十六进制有时用 H(Hexadecimal)表示。数 10 15 十六进制有时用 H(Hexadecimal)表示。1.2.2 数制间的转换由于数字系统采用二进制计数，而人们的习惯用法是十进制计数，在向数字系统写入数据时又常常需要八进制或十六进制计数，因此，必然存在各种数制间的相互转换问题。1各种进制-十进制转换 把二进制、八进制、十六进制以及 N 进制数转换为等值的十进制数，通常采用“加权法” 。也就是按照各种进制的权值展开式，求出系数与位权的乘积，然后把诸项乘积求和，即可得到转换结果。例 1-2-1 将二进制数 1011101 转换为十进制数、 ；解：将二进制数按权展开如下：(1011
6、101) 2l2 3十 022十 l21十 120十 l2-1十 02-2十 l2-3 (11625) l0其他进制数转换为十进制的方法与上类似，如下例。例 1-2-2将十六进制数(FA59) l6转换为十进制数。解 (FA59)l6F16 3十 A162十 5161十 9160=(64089)102. 十进制-二进制转换十进制数转换为等值的二进制数时，整数与小数部分应分别转换。(1)整数部分的转换通常采用“除 2 取余法” 。即将要转换的十进制整数被 2 除，得到一个余数（0 或 1） ，商再被 2 除又得到一个余数为（0 或 1） ，一直进行到商数为 0 为止，然后将余数倒排。从而实现整数
7、部分的转换。例 123把十进制数 116 转换为二进制数。解 ：其除法算式如下： 于是得(116) l0(1110100)2(2)小数部分的转换通常采用“乘 2 取整法” 。即将要转换的十进制小数乘 2，得到一个整数（0 或 1） ，再将小数部分再乘 2 又得到一个整数为（0 或 1），一直进行到足够的位数-所得乘积的小数部分为零，或达到转换精度为止。然后将所得到的整数顺排。从而实现小数部分的转换。例 124将十进制小数 0.625 转换成等值的二进制数。 解 乘积整数部分0.6252 1.25 0.252 0.5 0.521.0 需要说明的是，不是所有的十进制小数都能转换成有限位的二进制小数
8、，当演算不能使小数部分为零时，往往采用“留位截余” 的办法处理，因此将产生转换误差。例 125将十进制数 1939 转换成二进制数。解整数部分用“除 2 取余” 法进行转换。故 (19) l0(10011) 2小数部分用“乘 2 取整” 法进行转换。乘积整数部分0.392 0.78 0 0.782 1.56 1 0.562 1.12 1 0.122 0.24 0 0.242 0.48 0 0.482 0.96 0 0.9621.92 1 故 (0.39) l0(0.0110001) 2将整数与小数部分求和，得转换结果为(19.39)l0(10011.0110001) 2十 e误差 e 的大小往
9、往与进行转换的计算机字长(位数)有关。3二进制数八进制、十六进制数的转换由于 2 38，2 416，所以一位八进制所能表示的数值恰好相当于 3 位二进制数能表示的数值，而一位十六进制数与四位二进制数能表示的数值正好相当，因此八进制、十六进制与二进制数之间的转换极为方便。转换的方法是：将二进制数整数和小数以小数点为中心，分别以三位(或四位)二进制数分为一组，当整数部分的高位和小数部分的低位不足三位(或四位)时，可分别在高位和低位添加 0，每组用一位等值的八进制(或十六进制)数代替，即可得到相应的八进制(或十六进制)数。按上述规则进行逆变换，八进制(或十六进制)数可转换成等值的二进制数。例 1-2
10、-6求(110101.100001111) 2等值八进制数和等值十六进制数。解(110101.100001111) 2 =(65.417)8(00110101.100001111000)2(35.878) l6例 127求(5B3.DCF) 16和(2567.134) 8的等值二进制数。解 (5B3.DCF) 16(10110110011.110111001111) 2 (2567.134)8(10101110111.0010111) 2 1.2.3 二进制编码 通常数字系统中所携带的信息分为两类，一类是字符信息，另一类是数值信息。在对各类信息进行处理时，需要用一定位数的二进制数码表示。这组特
11、定的二进制数码称为代码。一般的一个代码由若干个信息位组成，当各信息位用二进制数 0 或 l 代表时，这个过程称为二进制编码。字符和数值信息可以用上述的十进制、二进制、八进制或十六进制计数制表示。为便于机器识别，必须把十进制数的各个数码用二进制代码(或一组二进制数码)表示出来，这就是二一十进制编码，简称 BCD 码(BinaryCodedDecimals)。n 位代码可以组合成 2n个代码(码字或码组)，也就是说它们可以代表 2n种不同的信息。指定二进制代码代表的信息不同，将有多种编码方案。1二进制编码 在二进制编码中，采用结构形式与二进制数完全相同的自然二进制码是最简单的编码方式。表 1-2-
12、l 中列出了四位自然二进制码，其中每个信息位都有固定权值，这种代码称为有权码，各信息位的权值为 2i(i 是码元位序，i0，1，2 n - 1)。另一种二进制编码是单位距离码。距离码简单地来说是指两个二进制码组对应位的变化数，也称为汉明(Hamming)距离。例如，10110 和 01101 两个码组，从左起只有第 3 个码元相同，其余 4 个码元不同，说明其汉明距离为 4。当任意两个相邻码组中只有一位码元不同时， 即为单位距离码，循环码(或称格雷码 Gray)是一种常用的单位距离码，如表 l-2-1 所示。格雷码具有反射特性，即按表中所示的对称轴为界，除最高位数码互补反射外，其余低位数沿对称
13、轴镜象对称。利用这一反射特性可以方便地构成位数不同的格雷码。格雷码的每一位码元都没有固定的权值，所以又称为无权码。2二一十进制编码(BCD)一位十进制数有 09 个不同的信息，必须至少使用 4 位二进制数字。因为 2416，即4 位二进制数字有 16 个组合，可以代表 16 个状态，而 238，只有 8 个状态。如果用 4位二进制的一个组合来代表一位十进制数，将有 6 个二进制数组不用，并称为冗余码组。选取 10 个码组分配的方案有多种，因而产生了多种 BCD 码，其编码如表 l-2-l 所示。8421 编码是靠取自然二进制数的前 10 个数码并付给等值的十进制数字而获得的，权值分别为 23，
14、2 2，2 1，l。例如，十进制数(462) l0可以用(010001100010) 8421BCD来表示。2421 码也属有权码，权值分别为 21，2 2，2 1，l。这样的有权码可以有很多，不再赘述。在无权码方案中，用得较多的是余 3 码和格雷码。 余 3 码是在 8421 码的基础上把每个代码都加(0011)z(3) l0而形成的。余 3 码是一种自补码，即表 l2l 中以虚线为中心 04 和 95 的代码互为反码。这种码的优点是求补方便，所以在计算机系统中得到广泛的应用。用格雷码来表示十进制数时，为使 09 的相邻码组只能有一个码位不同，可采用表 12l 中所示的编码方式，此处格雷码是
15、取循环码中的上 5 个代码和下 5 个代码，它的特点是最高位的 0 和 1 只改变一次。它的优点是能避免在码组转换的过渡过程中产生瞬时误码，因此在通信和测量技术中得到了广泛的应用。用格雷码作运算时，必须首先将它转换成二进制。下面就来讨论格雷码与二进制数之间相互转换的方法。首先，定义两码元的模二加的运算规则。设两码元模二加为 a b，有0 00 1 010 ll l l0由此可知，如果两个码元相同，和为 0；两个码元相异，和为 l。设二进制数和格雷码分别用(b n-1bn-2 bi+1bi b0)2，(g n-1gn-2 gi+1gi g0)2 表示，二进制数与格雷码的转换方法如下：二进制数转换成格雷码：g i b i bi+1格雷码转换为二进制码: b ib i+1 gi式中，当 bi+1 不存在时可认为等于 0。3可靠性编码为使数字电路不因代码传送出错而发生故障，通常使用可靠性代码。如采用格雷码传送信息，电路不易出错；用奇偶校验码可以检查出错误；用汉明码能够检查出错误并能加以改正。下面主要介绍奇偶校验码。奇偶校验分为奇校验和偶校验两种。奇偶校验码是数字系统中最为常用的、简单方便的检错编码。奇偶校验码包括两个部分：信息位十校验位，信息位为位数不限的任一种二进制代码；校验位又称为冗余位，仅有一位。校验位数码有两种编码方式，当采用
