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1、第一章 实数集与函数1 实数例1 设a，b为任意实数，证明： （1.2）证 我们将从函数的性质着手证明不等式.设=，x0，若0-1） （1.5）证 n=1时不等式（1.5）显然成立.现设n=m时不等式成立，即1+ ，其中符号相同且.当n=m+1时，因为1+0，利用n=m时的不等式，有=,其中最后不等式成立是由于与同号.再在不等式（1.5）中令，x-1，则有伯努利不等式1+nx （x-1）.例4 证明柯西（Cauchy）不等式：设为两组实数，则有 （1.6）证 本例中将应用中学数学中二次三项式恒正的判别式来完成证明.设t为任何实数，t的二次三项式0，于是有0， 即 例5 设p，n，m. 证明：（
2、1）. (1.7)（2）. (1.8)（3）试用归纳法证明： （1.9）证 （1） = =.（2）在（1.7）中设b=n+1，a=n，m=p+1，有，于是，这样就证得.（3）易证n=2时，当p为正整数时，.现设不等式（1.9）不n=m时成立，有， （1.10）当n=m+1时，由（1.8），（1.10）可得=.同样可证=.于是不等式（1.9）当n=m+1时也成立.2 数集确界原理例1 求数集S=的上、下确界.分析 当n=2k时，是偶数项中的最大数.当n=2k+1时，当k充分大时，奇数项与数1充分靠近.因为=是S中最大数，于是sup S=，由上面分析可以看出inf S=1.解 因为是S中最大数，于
3、是sup S=.再证inf S=1，这是因为（i）1；（ii）设a=，由等式可知，于是（只要），使得，即，这样便证得inf S=1.例2 设数集S=，求sup S，inf S.解 不妨取验证相应数值，可以发现一些规律. 取得到数集S的子集S=；取又得到子集S=；因为是无上界数集，是无下界数集，所以sup S=+，inf S=-.例3 设数集S=，试求inf S,sup S.分析 因为数集S无上界，所以sup S=+.又因数1是S的下界，当有理数x充分小时，与1很靠近，于是可以推测1是S的下确界.解 先验证sup S=+.，有理数（设M1，只要），使得，于是S是无上界数集.按定义，sup S=+
4、.再验证inf S=1：（i）1（x为有理数）；（ii），由有理数的稠密性，有理数，使得，于是.由此可见infS=1.例4 设a为任意实数，A为R中非空有界数集，证明：sup(a+A) = a+sup A，inf(a+A) = a+inf A，其中.证 先证sup(a+A) = a+supA.由supA的定义，满足：（i），xsup A；（ii）.于是又满足：（i），a+xa+sup A；（ii）.因而证得.同理可证inf(a+A) = a+infA.例5 设A，B是数轴上位于原点右方的非空有界数集，记AB=，证明：sup AB = sup Asup B.证 先证sup ABsup Asup
5、B.由上确界定义，xsup A，ysup B，因为x0，y0，所以xysup AsupB，这说明sup Asup B是AB的一个上界，于是sup ABsup Asup B.再证sup Asup Bsup AB.按上确界定义，（不妨设0，于是仍为一任意小的正数.这样证得sup ABsup Asup B.由此得到sup AB = sup Asup B.3 函数概念例1 模拟一个三级火箭，设各级质量分别为8000kg，4000kg，2000kg，燃料均匀消耗率为10kg/s，各级火箭燃烧时间分别为600s，300s，150s.每级火箭的燃料耗完后，外壳自行脱落，下一级火箭就开始燃烧，最后一级火箭燃烧
6、完后成为人造卫星，绕地球运行.试写出火箭质量随时间变化的规律，并作图像.解 三级火箭初始总质量为14000kg，用G（t）表示火箭在时刻t时的质量.在开始600s内，即0t600时，有G（t）=14000-10t；在t=600s时，第一级火箭脱落，火箭瞬时质量变为6000kg.当600t1050时，G（t）=500.综上所述：14000-10t， 0t600，G（t）= 6000-10（t-600）， 600t900，2000-10（t-900）， 900t1050，500， 1050t.其图像如图1-1所示.例2 设，求.解 因为函数的值域包含于的定义域内，所以与可以复合，于是有；.由此可猜
7、测，下面用数学归纳法证明.若，则.例3 设函数试求y=.解 首先观察到函数的值域包含在函数的定义域中，因而与可以复合.先求集合，解不等式1可得1|x|，此时有=1.又当|x|时，有，于是=0，这就得到= 1，1|x|,0， |x|.例4 证明恒等式arcsin x+arcos x = ,|x|1.证 当x=0时，等式显然成立.当0x1时，设=arcsin x,=arcos x,有sin=x,cos=x，于是，=1.因为0,0有0,所以，即，0x1.同理可证当-1x或a）都是对称的，则函数必为周期函数.证 因为函数的图形关于竖直线对称，于是，必有. （4.5）同理又有， （4.6）并可随之推得 由（4.6） 由（4.5）这表明是以为周期的周期函数.
