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1、应用数学和力学 , 第?卷第?期?年 ?月? ? ? ? !? ? ? ? ? 应用 数学和力学 编委会编 四川人民出版社出版 非线性弹性理论的泛变分原理 郑泉水 ?江西工学院土建系 ? ?马 ? ?年遵月? ?日收到? 摘要 本文从泛能量泛函 注?出发 , 提出并证明了非线性弹性理论静力学?或动力学?的非保守 、 有跳变和分区问题的统一变分原理泛变分原理?注 ? 由泛能量待定泛函出发可直接得出各种变 分原理 ? 一 、 前 ?, ?月 ?山 ? ? 扭习 近代 , 由于新材料 、 新工艺的采 用提出了大量非线性问 题 , 促使国际范围内对非线性力 学研究的蓬勃发展和普遍重视 ? 在古典弹性理
2、论中 , 为简化讨论起见 , 常常假设体系是保 守 的 , 即荷载做功与路径无关 ? 经过几十年的努力 , 现在对这一类问题已建立了一套较完整的 变分理论 ”一, ? 但是 , 对非线性问题 , 尤其是大位移问题 , 体系却 常常是非保 守的 , 即荷 载在使物体发生位移和变形的过程中 , 其 “ 输入功 ” 与路径有关 ? 严格来讲 , 力学 问题绝大 多数是非保 守的 。 本文认为 , 能够将这一类荷载表征出来 , 从而仍然可借助于变分 法这一数 学工具 ? 虽然这样做又将增加一 些变分意义下的近 似项 , 但却提出了解决非 线性力学非保守 问题的一条新途径 ? 巳见文 献?也 是 沿这一
3、思路对古典线性弹性理论中非保守 问题作了讨 论 , 故沿 用文献?的叫法 , 称这种 变分原理为 拟变分 原理 ? 本文 尚进一 步导 出包含有跳变 项的分区 的泛变分原理 , 可望 用于位错理论 、 断裂理论 ? 可有助于建立有关上述方面的非线 性问题的有限元理论 ? 泛变分原理是 无约束的变分原理 , 它的建立是通过 用? ? ? ? ? ?待定乘子构造出泛能量待 定泛函 , 取拟驻值完成的 ? 我们 尚进 一步对 各种 变分原理 ? 广义的?或 经典的? 、 完全的?或 非完全的?作了统一论述 , 看出它们 出自一体 ? 一 泛能 量待定泛函 ? 我 们还将看到如何用拟 变分原理来构造混
4、合边界问题的变分泛函 ? 相应于动力学问 题则给 出各种泛? ? ? ? ! 原理 。 本文所用符号主要引自文献【?【? , 文中一般不再另加说明 ? 二 、 非线性弹性理论的泛变分原理 我们称分区的 、 有跳变的 、 广义完全的和非保守的变分原理为泛变分原理 ? 本节只对静 朴 郭仲衡推荐 ? 注 此系作者所命名的术语 ? ?后郑泉水 力学 问题作出讨 论 。 研究初始在面? 。 紧邻的两个体域 域 问题 ? ? 犷 , 厂给出结果 , 但不难推广到?个分 ? ? 基 本关系与边界条件 本文一律采 用? ? ? ? ? 。坐标 描述法 ? 设?为? ? ?加? ?应力张量, ?二? ?为?
5、? ? 应力张 量 , 变形梯度?四? , ?为应变张量、? , 。和? 分别为单位张量 、 位移矢量 和? ? ? ? ? ? 微 分算子 , ? ?代表拖带体积 元素质量密度 ? 我们知道 , 处于真实状 态下的应力? , ?和位移 ? 与 应 变?满足下列关系和条件 ? 平衡条件 平衡方程 ? 甘? 刀。? ?在犷内 , ? ? , ? 下面为了简化起见 , 不至于混淆问题 , 有时省写方程 中的顶标 “? ”, 故 上式写成 或 力的边界条件 ? 甘? ? ? ? ? 甘? ? ? ? ?在犷内? ?在犷内? ? ? 二 ?在? ? 上? 或? ? ? 、 ?在? ? 上? 其中月 ?
6、 和?分别为力边界界面和边 界面外法 向单位矢量 。 ? 。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 连续条件 应变位 移关 系 ?艺 在犷 , 厂内无跳变 , ?和? 是连续的 尸 ? , ? ? ? ? ? 、, 一漂 , ? 、 ? 万、 ?“十“?十? “?气仕厂 网, ? ? ? 位移边 界条件 跳变条件 ? ?在月 。上? ? ? ? 位 移跳变条件 应力跳变条件 ?艺 ?一? ? ? ? ? ? 名 ? ? ? ? ?在? 。上? ? ? ? ? ? ? 关于跳变条件? ? ? 、 ? ? ?, 我们约定 , ?笋? , 则? ? ? ? 和? , ?子? , 则? ? ? ?
7、本构关系假设只讨论 超弹性体 “, 和余能 ?密度?刃 。 ? ? ?在? 。上? ? ? ? 在? 。上? ? ? ? ? ? ? 此时下?为可逆对应 , 存在应变能 ?密度?万 ” ? ? 万户? ?十万 口 ? ? ? ? ? 二 ? ? ? 应变能型 , 本构方 程? ?在犷内? ? ? ? ?刃户? ? ?在厂内? ? ? ? 余能型 , 本构方 程 ?亚? 。 一兰 认几 ?在声内, ? ? ? 非线性弹性理论的泛变分原理 ? 我们时 常用到的几个数学公式如下 ? ? ? ? 积分公 式 对任意连 续可微的张量场甲 ? ? 甲 , 扩 一 手 , 甲 ? ? 一 手 , 甲 ? ?
8、 ? ? ? ,? 一 一 ? ? , 一 、, ? 、 ? ,甲 ? ? , 一 ? 、 , 但寺熟 ? ? 气 ? ?气 ? ? ? ? ? ? 一 ,? 广 ? ? ? ? ? ? 乙 ? 。 ? ? ?甘?己 ? ? ? ? 占 ? ? ? ! #! 最后指出 , 由于作了(2 .7) 的假设 , 跳变条件(2.6 ) :I。】 今 O和 (2.e ) : 【T刃祷 O将不会同 时出现 。 但为了讨论方便 、 协调起见 , 总是对(2.5 )和(2 .6 ) 一并加于论述 。 2 . 全能量泛函n “鑫 I , T:U, “ 厂一 I ; 二, 。犷一 I 刁。 “N“A一 L 。 “
9、 “ (2 .13) 利用 (2 .8 )和 (2 .11), 可将1 7分成刀 , 和汀 ”两部分: H , 丝鑫 工 ; E :一“ (,“犷一 ,。 。 。 F一 L 一 “ (2 .14a ) 二 。丝全 ; T :E 一 “,(E)d厂+ , 含 , , : Td犷一 J , 。 “一NdA ) 2 ,b, 分别 叫作势能 (型)泛函和余能 (型)泛函 。 可以证明 , 对无跳变:时=IT刁= O的真实应 力 、 应变和位移情况 , 上述泛函必定 满足 互补关 系H二H ” + 刀 。三 。 ( 2 . 15 ) 拟驻值条件 d万,+dQ+占 尸鑫。 (2 .26 ) d刀o一6Q一
10、 j P主。 (2 .1 7 ) 其中 护 一 钊 , 二 饰0 d V “Q一 军I , 。 占千 d “ (2 .lsa ) (2 .18b ) 反之 , 若满是(2 .16 ) 、 ( 2 . 1 7 )式 , 则约束条件(2.1)(2 。 4 ) , ( 2 。 8 )和(2 .9 )得以满足 , 故u , E和T必为真实的 。 方程 (2 .16 ) 和 (2.17 )分别叫势能拟变分原 理和余能拟变分原理 。 在保守 问题中 , 可设盯= 占下,=O , 则 (2 .16 )和(2 .17 )化为经典变分原理 。 3 . 泛能量待 定泛函 采 用La g range待定乘 子法”,
11、 我们 可将(2 .13 )推广至不受任何约束的泛能量泛函 . 注意 到此 时独立变量u , E和下两个域共3 0 个分量 , 约束 方程(2 .1 ) (2 .的 共3 6 个 . 取L agrang e 待 定乘子: 郑泉水 : 定义在犷内的对 称二阶张量场 , : 定义在犷内的矢量场; n , 乙 : 分别定 义在A 。 , A 上的矢 量场 , 入 , 卜:定义在月 。上的矢 量场 . 共s 6 个分量来解除全部约束 , 并构造得 泛能盆待定泛函: 刀二习 J ;一, d 犷一 I ;。 f p 。、 : 一 I + I ;【 含 , + , + , , 卜 。 。 于 二d ,一 T
12、 。 , . N d, A , J A 。 : o d犷+ ;(T , +p 。 ) ; d犷 + 刁 。 。一, ” d “+ , . , 一 N ) : d“ + J , 。 【 ,一 舀 一 舀 ,“+ , 。林 ,一(奋 自 + ; 肉 )d“ 兰寿 , + 寿 (2. 19 ) .* 其中刀 , , 万 ” 分别叫作泛势能待定泛函和泛余能待定泛 函: 方 , 一乙 J ; E:一, (,“ 厂一 J ;二 p od 犷一 丁 , ,。 十 d “ + ; 告 (, + , +,。一, ,一 “ l :“ 厂+ , 。 ( 卜 , ”“ + :;。,一(公一舀) 、, JA。 ( 2
13、. 2 0 a ) 寿一二 仃 。:E一“ , ( E )d厂+ ; 音 (, 。二, ) : , d 卜L . “Nd“ + T ,+ 。f : :、: + ( (卞 二一T .N ) .;J , ) J v JA , 可 ; : : 二卜 (奋 . 肉 + 导 . 甸 d A J月。 ( 2 . 2 0 b ) 4 . 泛能量变分原 理 下面就来确定 上述待定乘子 . 对(2 .2oa ) 作变分 d刀乡二一 f 尸 d刃 。 T ) 少 . 吃 11匕 e e , e s e s一二二 二 t JFL 以 皿 : “ T d 厂+ ; (T一 。):“ Ed 厂 可李 (, u+u, +
14、v U 乙 。, 。一 E : “d厂 + ;“。,: (F 。 )d厂 非线性弹性理论 的泛变分原理 20马 一 ; “ “ ,p od 厂一 , U “,p 。“厂 一 ! , , “ 。 二“一 ,。 乙, N“ 一 A 。 “二”“ + , (。一, “”“A + 月 。 【 , 一(“一 “ , 占 “ + , 。 “【 ,一(“ 一)、, 因为 一 (占 。, ) : (。 .。 )、 : 一 币 。 . (。 .。 ) . N d,一 。 。. (; .。 ) ., 、: JVJ 才 J y 故可将上式整理写成 占H p二又万 。卫里二 梦 工1:占T d 。 (下一。) :。 E d : tJyL“. J J V + ; 合 ( , +。, + , u “v ,一 E : ,d犷+ , . “ “ (F “) N一 d“ + , . 。 F “,一 ”, dA一 ;“ (F “,+。 ,d犷 + , 。“ 。,一 舀 一舀 ,“ A + A 。“ (户 , 肉 一 、“ “ 十 A 。“ 乙 (户 去 , 肉 +,d“一乙 ,。 “,p od 厂一乙 ) , 二 “, “ + , 。 “【 “】 、, 令 占H , + 占 P +占Q+ 占 R = =0 其中 。
