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1、2 0 1 4年 2月 Fe b ，2 01 4 计 算 数 学 M ATHEM ATI CA NUM ERI CA SI NI CA 第 3 6卷第 1期 Vo 1 3 6 No 1 非定常 S t o k e s方程的全离 有限元格式冰 1 ) 散稳定化 赵智慧 李 宏 方志朝 ( 内蒙古大学数学科学学院， 呼和浩特0 1 0 0 2 1 ) 摘 要 本文研究二维非定常 S t o k e s方程全离散稳定化有限元方法 首先给出关于时间向后一步 E u l e r半离散格式， 然后直接从该时间半离散格式出发， 构造基于两局部高斯积分的稳定化全离 散有限元格式， 其中空间用 P 1 一P 1
2、元逼近， 证明有限元解的误差估计 本文的研究方法使得理论 证明变得更加简便， 也是处理非定常 S t o k e s方程的一种新的途径 关键词： 有限元方法； 非定常 S t o k e s方程； 全离散稳定化格式； 误差估计 MR ( 2 0 0 0 )主题分类：6 5 M0 8 ， 6 5 M6 0 1 引 言 利用有限元方法求解不可压缩非定常 S t o k e s方程 的相关理论及数值模拟一直是计算流 体力学和计算数学等领域研究 的热点问题 1 5 J ， 为得到关于此类问题收敛稳定的有 限元逼近 格式， 关键是要求构造的流速空间和压力空间满足 i n f - s u p条件， 而这一
3、条件 限制了计算方便 的低阶有限元空间的使用 为了避免离散 B B 条件对定常或非定常 S t o k e s 方程有限元方法 的限制， 提出了一些稳定化有限元方法， 如多项式压力投影方法 6 J B r e z z i P i t k a r a n t a 方法 I7 J 逆风流 P e t r o v Ga l e r k i n方法 I S J ， 宏元方法 【 9 J 等 然而大部分稳定化方法都需要引入稳定化的 参数， 同时有些稳定化方法是条件稳定而且是次优 的 因此， 发展高效的与参数无关 的稳定化 方法变得尤为重要 基于两局部高斯积分的稳定化技术 【 l 0 J 具有不需要引入稳
4、定化参数， 不用计算高阶导数， 并且能最终生成一个线性系统等优点， 因此在计算流体力学中越来越受到相关学者的重视 同 时由于高阶协调元满足 L B B条件， 但总体刚度矩 阵维数大， 计算量增大， 所以实际应用 比较 广泛的是低阶协调元， 本文所研究的关于不可压非定常 S t o k e s 方程 的基于两局部高斯积分的 稳定化全离散有限元格式， 空间采用 元逼近， 抛开了传统的先做空间离散， 然后在此 基础上对时间进行离散 的全离散格式构造方法， 这里研究的思路是： 先给 出关于时间向后一步 E u l e r 半离散格式， 然后直接从该时间半离散格式出发， 构造基于两个局部高斯积分的稳定化
5、 全离散有限元格式 这种构造全离散格式的方法， 避开了传统的空间半离散格式 从而无需对 该半离散格式进行误差估计， 因而使得误差估计等理论证明变得更加简便， 这也是处理非定常 S t o k e s 方程 的一种新的途径 本文第 2节给出了不可压缩非定常 S t o k e s 方程 的关于时间的半离散格式， 并证明近似解 误差估计， 第 3 节讨论稳定化有限元方法及双线性型的相关性质， 第 4节给出稳定化全离散 2 0 1 3年 5月 1 1日收到 ) 基金项目： 国家 自然科学基金 ( 1 1 0 6 1 0 2 1 ， 1 1 3 6 1 0 3 5 ) ， 内蒙古自然科学基金 ( 2
6、0 1 2 MS 0 1 0 6 ) 。 ) 通讯作者： 李宏， E ma i l ： ma l h o n g i m u e d u a n 研究方向： 有限元方法 计 算 数 学 2 0 1 4住 有限元格式， 并证明全离散有限元的误差估计， 第 5 节是结论和展望 2 非定常 S t o k e s方程关于时间的半离散格式及误差估计 本文考虑如下不可压非定常 S t o k e s方程 f t 一 +V p =f ， ( ， t ) Q ( 0 ， ， l d iv u = 0 ， ( ，t) Q (0 ， 1， 1 ( ， ) ：0 ， ( ， ) Q( 0 ， 】 ， ( 2 )
7、【 u ( x ， 0 ) =U 0 ，XQ ， 其中 Q c R 。是一个有界 区域， 并且具有 L i p s c h i l z连续边界 a Q， 并进一步满足下面的条件 ( A 1 ) ， =( U l ， ?2 2 ) 是流速向量， P 是压力， 是总时间， 7=1， R e 是 R e y n o l d s 数， f=( f x ， f 2 ) 是 已知的体力向量， u 0是一个初值 向量函数 本文用到的 s o b o l v e空间都是标准的， ( ， -) 和 lI _ IIo分别表示 L 。 ( Q ) ( i = 1 ， 2 )的内积 和范数 对于V u ， V硎 (
8、Q ) i ( =1 ， 2 ) ， 我们分别用 ( V u ， Vv ) 和 IIVu llo=( V u ， V u ) 来表示 明 ( Q ) i ( =1 ， 2 ) 中的内积和范数 引进希尔伯特空间 【 ， 。 ， 。 X=H o1 ( Q ) 。 ， Y= L 。 ( Q ) ， M=L o ( a ) = q L 。 ( Q ) ： q d =0 ) 定义 中的闭集 和 y 中的闭集 日 如下： V= u ； d i v v =0 ， H= uy ； d i v v=0 ， u - 几la n =0 ) 我们用 A=一 表示 la p l a c e 算子， A： X y， 其中
9、A通过 ( A u ， u ) =( V u ， v v ) ， ( V u ， E X) 来定义 1 9 】 此外， 用 =一 P A表示 S t o k e s 算子， 其中 P表示由 y到 日 的 正交投影， 且 由下面的式子定义 ( P u ， V ) =( U ， u ) ， V u V vH 为了以后的分析， 我们需要进一步假设： ( A1 ) 如果 Q是光滑的， 那么对任意给定的 gY， 下面的定常 S t o k e s方程 I 一“+ v q= g，z E Q， 札 d i v ： u 。 = ， 0 ,x a E Q Q， 存在唯一解 ( 札 ， q ) X X M， 并满
10、足 ll u ll2 +fIq ll 1 e llg llo ， 这里 C 表示仅与 Q和 有关的正 常数， 而且在不同的地方代表不同的值 如果 Q E C。或者 Q是一个二维凸区域， 那么由 ( A1 ) 可知下面的式子成立 1 3 1 。 ， 【IA II o 2 c llA v l Lo ， uD( A ) =H。 ( 【 2 ) n ( 2 2 ) fIv llo “ y o IlV v ll0 ， “ E X， IIV v llo o llv l12 c llA v llo ， V E H。 ( Q ) n X， ( 2 3 ) 这里 是一个仅依赖于 Q的正常数 ( A 2 ) 乱
11、0 E J ) ( A ) ， ， ， L 2 ( 0 ， ； y ) ， 满足 Ilu 0 I J 2 +( IIf ( t ) ll +_l( ) 2 “ ， i1 c 1期 赵智慧 等： 非定常 S t o k e s方程的全离散稳定化有限元格式 8 7 为给出问题 ( 2 1 ) 的变分形式， 分别如下定义双线型 0 ( - ， ) 和 d ( ， ) a ( u ， V ) =v ( Vu ， v v ) ， d ( v ， q ) ：( d i v v ， q ) =一 ( V q ， ) ， V u ， VX， V q M 如果引入 X M 上 的广义双线性型 B( ( 钆 ，
12、p ) ； ( V ， q ) ) =a ( u ， V ) 一d ( u ， P ) +d ( u ， q ) 则问题 ( 2 1 ) 相应的变分形式可以写为下面的紧致格式： 对 Y t ( 0 ， 】 ， 求 ( 钆 ， P ) M 满 足 U，t 、 + B (，“ ，p )； ( ，q ) = (， u )，V ( ，q ) ， (2 4 ) 【 乱 ( 0 ) = 其中双线性型 B( ( ， ) ； ( ， ) ) 有下面的性质 1 7 1 】 B ( ( Ju ， p ) ； ( ， p ) ) = l Ii ， v ( u ， P ) XM， ( 2 5 ) IB( ( ， p
13、) ； ( ， 口 ) ) l c ( 1lu 1 +llp l0 ) ( fI 【l 1 +fIq ll o ) ， ( 乱 ， p ) ， ( ， q ) XM， ( 2 6 ) M) 1 o ( 11u l 1 +fp II。 ) ， V ( ) ， ( 2 7 ) 其 中 3 o 0是与 h无关的常数 引理 2 1 1 3 】 如果 QC。 或者 Q是一个二维凸区域， 在 ( A1 ) 和 ( A 2 ) 成立的条件下， 对 V t ( 0 ， ， 问题 ( 2 4 ) 存在唯一解 ( 札 ， p ) ， 且满足下面的正则性： s u p 0 ( DIA u ( t ) ll3 +II
14、p ( t ) l l + ( 3 ) c ， s u p 0 t T c r ( t ) llu t ( t ) l l + ( t ) ( 1lu t t ( t ) ll5 +Ip t ( t ) ll +IA u t ( t ) ll ) d t c ， 这里 ( ) =min 1 ， 为了得到时间半离散解的误差估计， 首先对 ( ， P ) 进行下面的估计 引理 2 2 。 在引理 2 1 和 ( 2 5 ) 一 ( 2 7 ) 成立的条件下， 且 ( ， P ) ( 日。 ( Q ) n ) ( H ( Q ) n ) ： 则对 V t ( 0 ， ) ， ( ， P ) 满足 I
15、I t + IWu t ll d 8 + I ln u t 1 d s c ， ( 2 8 ) fl ( t t +V p t ) ll2 d s + ( ) I ( t +V p t ) d s c ( 2 9 ) 证明 对 ( 2 4 ) 关于 t 求导， 得 ( U t t ， V ) +a ( u t ， V ) 一d ( v ， P t ) +d ( u t ， q ) =( ， fj) ( 2 1 0 ) 在 ( 2 1 0 ) 中取 ( V ， q ) =( U t ， ) ， 然后对两边关于 t 积分， 并由 ( A 2 ) 和引理 2 1 及 g r o n w a l l 引 理， 得 Ct + llV ，“ t lir a s c ( 2 1 1 ) 0 在 ( 2 1 0 ) 中取 V =一A u t ， q =0 ， 对两边关于 t 积分， 并由 ( A 2 ) ， 得 ，t fIV u t 惦+ li t II d s c ( 2 1 2 ) 计 算 数 学 由 ( 2 1 2 ) 和 ( 2 1 1 ) 得 ( 2 8 ) 此外， 由 ( 2
