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1、一、内容提要：圆的轴对称性：过圆心的任一条直线（直径所在的直线）都是它的对称轴。垂径定理垂径定理包含两个条件和三个结论，即CDABOE条件结论符号语言：推论1：在（1）、（2）、（3）、（4）、（5）中，任意两个成立，都可以推出另外三个都成立。推论2：平行的两弦之间所夹的两弧相等。相关概念：弦心距：圆心到弦的距离（垂线段OE）。应用链接：垂径定理常和勾股定理联系在一起综合应用解题（利用弦心距、半径、半弦构造RtOAE）。二、概念辨析题：1下面四个命题中正确的一个是（）A平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D在一个圆内平分一条
2、弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2下列命题中，正确的是（）A过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B过弦的中点的直线必过圆心C弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 D弦的垂线平分弦所对的弧三、典型例题分析：例题1、在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm，那么油面宽度AB是_cm.说明：本题主要考查垂径定理易错点是忘记油面宽度是的2倍例题2、在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，如果油面宽度是48cm，那么油的最大深度为_cm.说明：此题的目的主要是培养学生的严密性思维和解题方法：确定图形分析图形数形结合解决问题；作辅助线的能力例题3、已知
3、：在中，弦，点到的距离等于的一半，求：的度数和圆的半径. 说明：作出弦的弦心距，构成垂径定理的基本图形是解决本题的关键.例题4、如图，已知在中，弦，且，垂足为，于，于.（1）求证：四边形是正方形.（2）若，求圆心到弦和的距离.例题5、如图，已知O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=6cm，EB=2cm，BED=30，求CD的长.ABDCEO说明：此题是利用垂径定理的计算问题，要充分利用条件BED=30，构造出以弦心距、半径、半弦组成的一个直角三角形，通过解直角三角形求解。例题6、已知：ABC内接于O，AB=AC，半径OB=5cm，圆心O到BC的距离为3cm，求AB的长说明：此题没有图形，在解题
4、时应考虑到满足条件的图形，此题有两种情况；利用条件构造垂径定理的基本图形解题例题7、在直径为50cm的O中，弦AB=40cm，弦CD=48cm，且ABCD，求：AB与CD之间的距离.说明：此题没有图形，在解题时应考虑到满足条件的两弦可能在圆心的同侧，也可能在在圆心的两侧，即有两解.OAPBC例题8、如图所示，P为弦AB上一点，CPOP交O于点C，AB8，AP:PB1:3，求PC的长。例题9、如图所示，O的直径AB和弦CD相交于点E，已知，AE6cm，EB2cm，CEA300，求CD的长。OABCDE例题10、如图所示，在RtABC中，C900，AC3，BC4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB
5、、BC分别交于点D、E，求AB和AD的长。CABDE例题8、如图，F是以O为圆心，BC为直径的半圆上任意一点，A是的中点，ADBC于D，求证：AD=BF.例题9、如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB，交小圆于C、D两点，设大圆和小圆的半径分别为.求证：.例题10、已知：如图，是的直径，是弦，于.求证：.说明：本题考查垂径定理的应用，解题关键是正确作出辅助线，易错点是忽视证例题11、某机械传动装置在静止状态时，如图所示，连杆PB与点B运动所形成的圆O交于点A，测得PA4cm，AB5cm，O半径为4.5cm，求点P到圆心O的距离。OABP四、检测与反馈：1如图1，如果AB为O的直径，弦CDAB，垂足
6、为E，那么下列结论中，错误的是（ ）ACE=DE B CBAC=BAD DACAD (图1) (图2) (图3) （图4） 2如图2，O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（ ）A4 B6 C7 D83如图3，已知O的半径为5mm，弦AB=8mm，则圆心O到AB的距离是（ ） A1mm B2mmm C3mm D4mm4P为O内一点，OP=3cm，O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为_；最长弦长为_5如图4，OEAB、OFCD，如果OE=OF，那么_（只需写一个正确的结论）6、已知，如图所示，点O是EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于点A、和C、D
7、。求证：7、如图，在中，是弦，于.若，求的长； 若，求的长；若，求的半径； 若，OA =10，求的长。8、如图所示，在中，、是弦延长线的两点，且.求证：9、如图，在中，是弦，为的中点，若，到的距离为1.求的半径.11、如图，一个圆弧形桥拱，其跨度为10米，拱高为1米.求桥拱的半径.五、畅所欲言对这节课的内容你有新想法的地方是：_作 业：一、填空题1、过O内一点P的最长弦为10cm，最短的弦为6cm，则OP的长为 .2.在中，弦长为，圆心到弦的距离为，则半径长为 3半径是的圆中，圆心到长的弦的距离是 4. 圆的两互相平行的弦长分别和，又两弦之间距离为，则圆的半径长是 5. 在半径为的圆内有两条互
8、相平行的弦，弦长分别为、，则这两条弦之间的距离为_6如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径，桥拱的距度m，则拱高m.7如图，O的直径CD与弦AB交于点M，添加条件：_（写出一个即可），就可得到M是AB的中点.8一水平放置的圆柱型水管的横截面如图所示，如果水管横截面的半径是13cm，水面宽，则水管中水深是_cm.二、选择题1下列命题中错误的有（）（1）弦的垂直平分线经过圆心（2）平分弦的直径垂直于弦（3）梯形的对角线互相平分（4）圆的对称轴是直径A1个B2个C3个D4个2、O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（ ）（A） （B）（C） （D）3如图，如果为直径，弦
9、，垂足为，那么下列结论中错误的是（ ）ABCD4如图，是直径，是的弦，于，则图中不大于半圆的相等弧有（ ）对。A1对B2对C3对D4对5如图，O的直径AB，垂足为点E，若，则（ ）A2 B4 C8 D166过O内一点M的最长的弦长为4cm，最短的弦长为2cm，则OM的长为（ ）Acm Bcm C1 D3cm7已知：如图，O中直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若，则BE的长是（ ）A1 B2 C3 D48已知O的弦AB长8cm，弦心距为3cm，则O的直径是（ ）A5cm B10cm Ccm Dcm9已知O的半径为2cm，弦AB长cm，则这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为（ ）A1cm B2cm
10、 Ccm Dcm10如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，则AC的长为（ ）A0.5cm B1cm C1.5cm D2cm11如图，AB为O的一固定直径，它把O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦，的平分线交O于点P，当点C在上半圆（不包括A、B两点）上移动时，点P（ ）A到CD的距离保持不变 B位置不变 C等分 D随C点的移动而移动12圆的弦与直径相交成30角，并且分直径为6cm和4cm两部分，则弦心距为（ ）A B C D13如图，已知的半径为，两弦与垂直相交于，若，则（）ABCD14在中，是弦，是的中点，延长交于若，则的度数是（）ABCD三、解答题1如图，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为米，拱顶高出水面米，现有一艘宽米，船仓顶部为方形并高出水面米的货船要经过这里问货船能否顺利通过这座拱桥？ 2如图，已知：在中，是直径，是弦，交于，交于求证：7
