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1、工程数学（本）模拟试题 一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1. 设为矩阵，为矩阵，当为（B）矩阵时，乘积有意义A. B. C. D. 2. 向量组的极大线性无关组是（A ）A B C D.3. 若线性方程组的增广矩阵为，则当（D）时线性方程组有无穷多解 A1 B4 C2 D4. 掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为4”的概率是（C ）.A. B. C. D. 5. 在对单正态总体的假设检验问题中，检验法解决的问题是（. B ）A. 已知方差，检验均值 B. 未知方差，检验均值 C. 已知均值，检验方差 D. 未知均值，检验方差6. 若，则（A）A. 3 B. 2 C. D. 7. 已知2
2、维向量组，则至多是（B）A B C D 8. 设为阶矩阵，则下列等式成立的是（C）A. B. C. D. 9. 若满足（.B），则与是相互独立A. B. C. D. 10. 若随机变量的期望和方差分别为和，则等式（D）成立A. B. C. D. 11若是对称矩阵，则等式（B ）成立A. B. C. D. 12（D ）A. B. C. D. 13若（A）成立，则元线性方程组有唯一解A. B. C. D. 的行向量线性相关 14. 若条件（C ）成立，则随机事件，互为对立事件A. 或 B. 或C. 且 D. 且 15对来自正态总体（未知）的一个样本，记，则下列各式中（C）不是统计量A. B. C.
3、 D. 16设都是n阶方阵，则下列命题正确的是( A ) A B C D若，则或 17向量组的秩是（ B ）A. 1 B. 3 C. 2 D. 4 18元线性方程组有解的充分必要条件是（A）A. B. 不是行满秩矩阵C. D. 19. 袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球都是红球的概率是（ D ）A. B. C. D. 20设是来自正态总体的样本，则（C ）是无偏估计A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分）1. 设均为3阶矩阵，且，则2.设，则23. 设是三个事件，那么发生，但至少有一个不发生的事件表示为 .4. 设随机变量，则155. 设是
4、来自正态总体的一个样本，则 6. 设均为n阶可逆矩阵，逆矩阵分别为，则7. 向量组线性相关，则=.8. 已知，则9. 已知随机变量，那么10. 设是来自正态总体的一个样本，则 11设均为3阶方阵，则8 12设为n阶方阵，若存在数l和非零n维向量，使得 ，则称为相应于特征值l的特征向量 13若，则0.3 14如果随机变量的期望，那么20 15不含未知参数的样本函数称为统计量16设均为3阶方阵，则-18 17设为n阶方阵，若存在数l和非零n维向量，使得 ，则称l为的特征值 18设随机变量，则a =0.3 19设为随机变量，已知，此时27 20设是未知参数的一个无偏估计量，则有 三、计算题（每小题1
5、6分，共64分）1已知，其中，求解：利用初等行变换得即 2设矩阵，求（1），（2）解： ，利用初等行变换得即 3设矩阵，求解：利用初等行变换得即 由矩阵乘法得4设矩阵，且有，求解：利用初等行变换得即 由矩阵乘法和转置运算得5.求线性方程组的全部解 .解： 将方程组的增广矩阵化为阶梯形方程组的一般解为（其中为自由未知量） 令=0，得到方程的一个特解. 方程组相应的齐次方程的一般解为 （其中为自由未知量）令=1，得到方程的一个基础解系. 于是，方程组的全部解为 （其中为任意常数） 6. 当取何值时，线性方程组有解，在有解的情况下求方程组的全部解解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形由此可知当时，方程组无
6、解。当时，方程组有解。此时相应齐次方程组的一般解为 （是自由未知量）分别令及，得齐次方程组的一个基础解系令，得非齐次方程组的一个特解由此得原方程组的全部解为（其中为任意常数 7当取何值时，线性方程组有解，在有解的情况下求方程组的全部解解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形由此可知当时，方程组无解。当时，方程组有解。此时齐次方程组化为分别令及，得齐次方程组的一个基础解系 令，得非齐次方程组的一个特解 由此得原方程组的全部解为（其中为任意常数）8 设，求和.（其中,）解：设 =9. 设，试求；（已知）解： 8分 10设，试求：(1)；(2)（已知）解：(1) (2)11设，试求: (1)；(2)（已知）
7、解：(1) (2) 12. 某一批零件重量，随机抽取4个测得重量（单位：千克）为14.7, 15.1, 14.8, 15.2 可否认为这批零件的平均重量为15千克(已知)？解：零假设由于已知，故选取样本函数经计算得，已知，故接受零假设，即可以认为这批零件的平均重量为15千克.13. 已知某种零件重量，采用新技术后，取了9个样品，测得重量（单位：kg）的平均值为14.9，已知方差不变，问平均重量是否仍为15（）？解： 零假设由于已知，故选取样本函数已知，经计算得， 由已知条件，故接受零假设，即零件平均重量仍为1514某车间生产滚珠，已知滚珠直径服从正态分布今从一批产品里随机取出9个，测得直径平均
8、值为15.1mm，若已知这批滚珠直径的方差为，试找出滚珠直径均值的置信度为0.95的置信区间解：由于已知，故选取样本函数 已知，经计算得 滚珠直径均值的置信度为0.95的置信区间为，又由已知条件，故此置信区间为15据资料分析，某厂生产的一批砖，其抗断强度，今从这批砖中随机地抽取了9块，测得抗断强度（单位：kgcm2）的平均值为31.12，问这批砖的抗断强度是否合格（）解： 零假设由于已知，故选取样本函数 已知，经计算得， 由已知条件，故拒绝零假设，即这批砖的抗断强度不合格。 四、证明题（本题6分）1）设,为随机事件，试证：证明：由事件的关系可知而，故由概率的性质可知即 证毕 2）设,是两个随机事件，试证： 证明：由事件的关系可知而，故由加法公式和乘法公式可知证毕 3）3设随机事件,相互独立，试证：也相互独立证明： 所以也相互独立证毕 4设是阶对称矩阵，试证：也是对称矩阵证明：是同阶矩阵，由矩阵的运算性质可知已知是对称矩阵，故有，即由此可知也是对称矩阵，证毕
