《科学计算与数学建模第2章 城市供水量的预测模型-插值与拟合算法-2.6-求函数近似表达式的拟合法(2)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《科学计算与数学建模第2章 城市供水量的预测模型-插值与拟合算法-2.6-求函数近似表达式的拟合法(2)（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.6 求函数近似值的拟合算法(2),2.6.2 加权最小二乘法,中，寻求一个函数,实际问题中测得的所有实验数据，并不是总是等精度、等地位 的。对于精度较高或地位较重要的那些数据，应当给予较大的权。 在这种情况下，求给定数据的拟合曲线，就要采用加权最小二乘法。 用加权最小二乘法进行曲线拟合的要求与原则：对于给定的一 组实验数据 (xi , yi )(i 1, 2, m)，在某个函数类 0 (x),1(x),n (x)(n m),* * * *,o o,n n, ( x) a ( x) a ( x) a ( x),使,( x ),i 1 i 1,W * ( x ) y 2 m in,W ( x
2、) y 2,m i i i,1 1 m i i i,其中, ( x ) aoo ( x ) a11 ( x ) ann ( x )为函数类 中任一函数; Wi (i 1,2,m) 是一列正数，称为权，它的大小反映了数据地位的强弱。,求加权最小二乘拟合* (x) 的问题可归结为求多元函数：,i,i 1 k 0,m n W a ( x ) y 2 k k i i,S (ao , a1 , an ) ,的极小值点,。,* *,*,o 1 n,(a , a , , a ),同理可得出求解加权最小二乘问题的法方程组，其形式与（2.6.7） 完全一样，只是其中的内积为赋权的内积，即,m (k ,j ) W
3、ik ( xi )j ( xi )(k , j 0,1, n) i 1,m (k , f ) Wik ( xi ) yi ( k 0 ,1, n ) i 1,为拟合函数，则相应的法方程为：,n,若选用多项式 n (x) ao a1x anx,o,i i,i i,m,m,i i,i i,i i,m,m,i i,i i,i i,W,W,x n,W y,W x,W,x 2,W,W x y,W,x n,W,W,x 2 n,W x n y,a,i 1,i 1,x n 1,i 1,i 1,i 1,x n 1,a, , , , , a , , ,i i i , n ,i 1,i 1,m m i,m i 1
4、m,m , i 1 m i 1,1 ,m i 1,m i 1,W i x i , , ,i i i ,（2.6.17）,例2.6.3 已知一组实验数据 ( xi , y i ) 及权 Wi 如表2.6.7。,若 x 与 y 之间有线性关系，试用最小二乘法确定系数 a 和 b 。,故相应的法方程组如（2.6.17）。将表中 各已知数据代入，即得法方程组 54a 216b 701,216a 984b 3580,解之得, a 12.885,b 6.467,从而得相应的拟合函数为1 (x) 12.885 6.467x 。,表2.6.7,解 因为拟合曲线为一次多项式曲线（直线） 1 (x) a bx,满
5、足条件：,虽然已经从原则上解决了最小二乘意义下的曲线拟合问题，但 在实际计算中，由于当 n 较大，例如 n 7，法方程组往往是病态的， 因而给求解带来了困难。近年来，产生了许多解决这一困难的新方 法。这里简要介绍利用正交函数作最小二乘拟合的基本原理，以及 利用正交多项式拟合的一种行之有效的方法。 对于xi 和权 Wi (i 1,2,m)，若一组函数 o (x),1 (x),n (x)(n m),2.6.3 利用正交函数作最小二乘法拟合,m,k i j,(xi ),i1,A 0 k j, k,(,j ) Wik (x ),0 k j (k, j 0,1, n),（2.6.18）,则称 o(x),
6、1(x),n(x) 是关于点集xi 带权Wi 的正交函数族。 特别，当k (x)(k 0,1,n) 都是多项式时，就称o (x),1(x),n (x) 是关于 点集 xi 带权 Wi 的一组正交多项式。,若所考虑的函数类 o ( x),1 ( x),n ( x) 中的基函数是 关于给定点集 xi 和权Wi (i 1,2,m) 的正交函数族，则由正交 条件(2.6.18)知，法方程组(2.6.7)的系数矩阵中，非对角线 上元素 (k ,j ) 0(k j) 。此时法方程组简化为：,(1,1 ),ao ,(o , f ), ,a1 (1, f ) , ,(o ,o ) ,(n ,n )a n (n
7、 , f ), ,（2.6.19）,k,k,k k,由此非常容易解出 a,(, f ),(,),a* k , (k 0,1, n),就可得到最小二乘法解：,* *,*,*,1 1,o o,n n,(x) a (x) a (x) a (x),（2.6.20）,由条件(2.6.18)，知 (k ,k ) 0(k 0,1, n) 故易解方程组（2.6.19)，且有： m,k,a *,(k , f ),(k , k ),W ( x )2,Wik ( xi ) yi i 1 m, i k i,( k 0 ,1, n ),（2.6.21）,权 的正交函数族，则可以直接由(2.6.21)式算出待定参数,，,
8、i,W,i 1 这样就避免了求解病态方程组的问题。 若函数类 的基函数 o(x),1(x),n(x) 是关于给定点集xi 和 *,k,a,进而写出最小二乘解(2.6.20)。因此，问题归结为对给定的函数 类 ，寻求一组由正交函数族组成基函数的问题。 构造正交函数组的方法很多。下面以多项式为例，介绍一种 具体的方法。,多项式,且,是 次多项式，其最高次项 的系数为1。,k,(x)(k 1,2,n),k x,i i k i,i k i,W x ( x ) 2,W ( x ) 2,i 1 m,k 1,i 1,（2.6.23）,i k i,k,m,W ( x )2,W ( x )2,i 1 构造的函数
9、族 o (x),1(x),n (x) 是关于点集xi 和权Wi 的一组正交 k, ,m i 1, i k 1 i,( k 1, 2 , n 1; n m ),（2.6.24）,定理2.6.2 对于给定的点集xi 和权 Wi (i 1, 2, m) ,利用,k 1 k,k k 1,o ( x ) 1 1 ( x ) x 1, , ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) m, k 1,（2.6.22）,递推公式：,乘解系数 的顺序来求拟合曲线。,例2.6.4 已知一组实验数据如表2.6.8，试用 最小二乘法求一条二次拟合曲线。 解 采用边构造正交多项式k ( x) 边求最小二 *,k,a,
10、由公式(2.6.22)及(2.6.21)立即可得：,o (x) 1,*,280,6 6,o,a , 46.667,yi,表2.6.8,由公式(2.6.23)、(2.6.22)及（2.6.21)依次可得：,1 (x) x 2.45,*,1,2,392,17.615,1 i,(x ),a ,22.254,1(xi )yi,14.7,6,6,xi,1 , 2.45,故所求拟合曲线为：,*,*,* 2,1,2 2,o o,y a (x)a (x)a (x) 2.247x 110.9x0.5888,由公式(2.6.23), (2.6.22)、 (2.6.24)及(2.6.21)依次可得：,1,17.615,6,(x )2,(x )2, 2.9358, 1 i,2,2,(x) (x 2.5183)(x 2.45) 2.9385 x 4.9683x 3.2340,2,2 i,(x )2,82.8926 2.247 36.8916,a* 2 (xi ) yi,2,2,44.359,17.615,i 1 i,(x ), , 2.5183 ,x (x )2, 1 i o i,？ 基于f (x) 在足够多点处的函数值信息，可求出 f (x) 的近似 函数 (x)，若误差 f (x) (x) 足够小，是否可以用 (x) 代替 f (x) 作相应近似函数？,
