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1、奥数：完全平方数1、把150这50个数的平方数从小到大排成一个多位数149162536，请问这个多位数共有（ ）位数字。分析与解答：1-3的平方只有一位数，共3个数字；4-9的平方有两位数字，共26=12个数字；10-31的平方有三位数字，共有322=66个数字；32-50的平方有四位数字，共有419=76个数字；合计：3+12+66+76=157个数字。2、46305乘以一个自然数a，积是一个完全平方数，则最小的a是（ ）。分析与解答：46305=5333777所以a最小是537=105。3、祖孙三人，孙子和爷爷的年龄之积是1512，而爷爷，父亲，孙子三人的年龄之积是完全平方数，父亲的年龄是
2、（ ）岁。分析与解答：1512=3332227要使1521乘一个数的积是完全平方数，那么这个数最小是：327=42。所以父亲的年龄是42岁。4、把一个两位数的个位与十位数字交换后得到一个新数，它与原来的数字加起来恰好是某个自然数的平方，这个和数是（ ）。分析与解答：我们设这个数原来为10a+b，那么现在是10b+a，它们的和为11（a+b）是一个完全平方数，所以a+b必等于11，那么这个和数就为1111=121。5、已知n/2是完全平方数，n/3是立方数，则n的最小值为（ ）。分析与解答：根据n/2是完全平方数，我们知道n里面有奇数个质因数2，而联系n/3是立方数，所以我们知道n里至少有3个质
3、因数2；同样的道理我们知道n里至少有4个质因数3，那么n最小值为2223333=648。6、已知一个自然数的平方的十位数是8，这个完全平方数的个位数字是（ ）。分析与解答：一个整数的完全平方数的末两位数字只能由这个整数的末两位数字所决定。我们设这个自然数N的末两位数字为10a+b，那么（10a+b)2=100a2+20a+b2=100a2+2ab10+b2因为2ab是偶数，8也是偶数，那么b2要么不进位，要么进位为偶数。如果不进位，那么只能是b2=0，1，4，9，如果进位那么只能是b2=25，49，64，81。我们又知道如果一个完全平方数的末尾是0，那么必须是成对出现（偶数个），所以0可以排除
4、；如果末尾是5，那么十位必须是2，所以5也可以排除。所以一个自然数的平方的十位数是8，这个完全平方数的个位数字是：1，4，9。比如：92=81；222=484；332=1089。7、如n减58是完全平方数，n加31也是完全平方数，则n是（ ）。分析与解答：这题目小学里有点麻烦，但是如果知道平方差公式，那么就非常简单了。平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)58+31=89，89是素数，只能是189，所以a+b=89,a-b=1我们可以知道a=45，所以n=4545-31=1994。8、从1986，1989，1992，1995，1998这五个数中挑出不能写成两个自然数的平方差的数是（ ）。
5、分析与解答：我们从上题只知道了平方差公式，我们还可以知道a+b与a-b的奇偶性是相同的。1986=11986=2993=6331；1989=11989；1992=2996；1995=11995；1998=11998=2999=.从上面我们发现1986与1998不能写成两个奇偶性相同的数的乘积，所以1986和1998不能写成两个自然数平方差的形式。9、用240个5和若干个0组成的数，是否为完全平方数？分析与解答：我们知道240个5与若干个0组成的数的数字和是1200，1200能被3整除，所以这240个5和若干个0组成的数是3的倍数，如果它是完全平方数，那么它就必须是9的倍数，但是1200不能被9
6、整除，所以用240个5和若干个0组成的数，不是完全平方数。10、是否存在自然数a,b使得2ab117是完全平方数？分析与解答：由于2ab117是完全平方数，所以2ab11必是一个完全平方数7，又由于37=21，所以这个完全平方数的尾数是3，而我们知道：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9，所以不存在自然数a,b使得2ab117是完全平方数。11一所小学开运动会，全体学生在操场上排队，如果每行24人，26行排不完，27行又有余；如果每行23人，27行排不完，28行又有余。后来体育老师调整了队形，正好排成每行人数和行数相等的队形，问这所小学共有学生多少人？ 分析与解答：从“如果每行24人
7、，26行排不完，27行又有余”可以知道人数超过2426=624而小于2427=648；从“如果每行23人，27行排不完，28行又有余”知道人数超过2327=621，小于2328=644。所以人数在624到644之间。又由于“正好排成每行人数和行数相等的队形”，所以知道人数是一个完全平方数。我们知道2424=576，2525=625，2626=676，所以这所小学共有625人。12小东和小明一起到果园去栽树，准备好的树苗正好可以把这些果树栽成每行每列相同棵数的方阵，每人栽好8棵就休息一次，当他们把300多棵树苗都栽好时，每人休息的次数相同，但最后一次小明栽的树不到8棵。问他们共栽了多少树？分析与
8、解答 ：从“当他们把300多棵树苗都栽好时”，我们可以知道这个数是一个为300多的完全平方数，在300多的完全平方数里只有1818=324，1919=361符合条件。又从“每人休息的次数相同，但最后一次小明栽的树不到8棵”知道比16的倍数少，但是少的部分比8小，而324=1620+（16-12），显然12比8大，所以不是324；361=1622+（16-7），7比8小，所以他们共栽了361棵。 13小亮邀请小强一起玩弹子游戏，小亮拿出一盒弹子，弹子的数量是一个完全平方数。他们每人10个、10个的轮流取出，但到最后一轮，小强只拿到6个。为了平均分配，小亮给了小强2个，这样两人拿到的弹子就一样多了
9、。问这盒弹子共有多少个？分析与解答： 从“他们每人10个、10个的轮流取出，但到最后一轮，小强只拿到6个”我们可以知道这个完全平方数的尾数为6，根据”如果一个完全平方数的个位是6，那么这个数的十位一定是奇数”，这题目好象有点问题，只要尾数是6的完全平方数：16，36，196，256，.都符合条件。14两个正整数的和比积小1997，并且其中一个是完全平方数，求较大数与较小数的差。分析与解答：我们设这两个数为a,b(ab)，根据题意得：ab-a-b=1997a(b-1)-b=1997a(b-1)-b+1-1=1997(a-1)(b-1)-1=1997(a-1)(b-1)=1998根据ab-a-b=
10、1997=ab-(a+b)，我们知道a,b的奇偶性肯定不同，所以a-1与b-1的奇偶性也不相同。1998=2999=3666=6333=9222=18111=5437由于有一个数是完全平方数，很显然只有3+1=4才是完全平方数，所以另一个数为667，那么较大数-较小数=667-4=663。15设p,m,n为一组勾股数，其中p为奇质数，且np, nm。求证：2n-1必为完全平方数。分析与解答：由于p,m,n为一组勾股数，且np, nm，所以n2=m2+p2n2-m2=p2(n+m)(n-m)=p2又由于p为奇质数，所以n+m=p2,n-m=1那么(n+m)+(n-m)=p2+12n-1=p2所以
11、设p,m,n为一组勾股数，其中p为奇质数，且np, nm。那么2n-1必为完全平方数。16设平方数y2是11个相继整数的平方和，求y的最小值。分析与解答：我们设这11个数分别为（x-5),(x-4),(x-3),(x-2),(x-1),x,(x+1),(x+2),(x+3),(x+4),(x+5)那么他们的平方和就是（x-5)2+(x-4)2+(x-3)2+(x-2)2+(x-1)2+x2+(x+1)2+(x+2)2+(x+3)2+(x+4)2+(x+5)2=11x2+110=11（x2+10)要使11（x2+10)是完全平方数，那么x2+10最小是11，即x=1，y=1+10=11 。但是如
12、果在小学里显然x不能等于1，那么x至少等于23，即y=77。 17求自然数n，使Sn=9+17+25+（8n+1）=4n2+5n为完全平方数。分析与解答：4n2+5n=n(4n+5)若4n2+5n=n(4n+5)是完全平方数，那么4n+5就必是n的倍数，并且还是完全平方倍，我们设它为k2倍（k为自然数），即4n+5=k2n,4n+5=k2n(k2-4)n=5由于5是素数，所以k2-4与n里必有一个为5，一个为1，若k2-4=1，那么k2=5，显然k就不能为自然数，不符合；那么k2-4=5,则k2=9,k=3,符合条件，在这种情况下n只能等于1，所以只有n=1时， Sn=9+17+25+（8n+
13、1）=4n2+5n才能为完全平方数。18是否存在一个2000位的整数，它是某整数的平方，且在十进制中至少有1999个数字是5?分析与解答：假如这2000位数字都是5，那么肯定不是完全平方数；假如有1999位是数字5，其他一位不是数字5，有如下情况：假如个位不是5，那么个位只能是0，1，4，6，9。如果个位是0，那么必须至少是2个才有可能是完全平方数，所以0可以排除；如果个位是1，4，9，那么必须十位是偶数才有可能是完全平方数，所以1，4，9也可以排除；如果个位是6，那么这2000个数的数字和为10001，可以写成3k+2的形式，而完全平方数只能是3k或3k+1的形式，所以6也可以排除；假如个位
14、数字是5，那么十位只能是2，否则就不可能是完全平方数；如果十位数字是2，个位数字是5，那么这数为一个末位是5的奇数的平方我们可以表示为(5k)2=25k2,我们知道奇数的平方都是8的倍数+1，所以25k2=25(8n+1)=200n+25,所以百位上是偶数，但是百位上是5，所以也不是完全平方数。综上所述，不存在一个2000位的整数，它是某整数的平方，且在十进制中至少有1999个数字是5。 19是否存在两个正整数a,b，使得（a2+2b）与（b2+2a）同为完全平方数？分析与解答:我们设ab,那么a2a2+2ba2+2a(a+1)2根据两个连续自然数之间不存在其他完全平方数,所以在a2与(a+1)2之间不存在a2+2b为完全平方数,同理也不存在（b2+2a）为完全平方数. 20若a,b为整数，求证：a4+b4+(a+b)4/2是完全平方数。分析与解答:a4+b4+(a+b)4=a4+2a2b2+b4+(a+b)4-2a2b2=(a2+b2)2+(a+b)4-2a2b2=(a2+b2)2-a2b2+(a+b)4-a2b2=(a2+b2+ab)(a2+b2-ab)+(a+b)2+ab(a+b)2-ab=(a2+b2+ab)(a2+b2-ab)+(a2+b2+ab)(a2+b2+3ab)=(a2+b2+ab)(a2+b2-ab+a2+b2+3ab)=(a2+b2+ab)(2a
